Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Аналогична также структура подматриц (А,)'„„(А„)пм На рис. 2.33 изображены фрагменты графа некоторой цепи. Здесь пунктирными окружностями показаны секущие линии для некоторых главных сечений, а пунктирными овалами — соответствующие главные контуры. Из рис. 2.33, а видно, что если й-я г й ! с ! ! Рис. 2.33. Фрагменты графа цепи ветвь дерева не принадлежит 7-му главному контуру, то и (-я хорда не входит н состав й-го главного сечения. При этом одноименные коэффициенты Ам подматриц (А,)„„и (А„)'„, равны нулю.
На рис. 2.33, б, в показаны й-я ветвь дерева и (-я хорда, входящие в состав как 7г-го главного сечения, так и (-го главного контура. При этом, если в матрице (А,),„коэффициент Ам = — 1, то в матрице (А„)'„одноименный коэффициент Ам= ! (рис. 2.33, б). Наоборот, если Ам=! в матрице (А,)„„, то в матрице (А„)ы соответственно Ам= — 1 (рис, 2.33, в) . Аналогично соотношения имеют место и в матрицах (А,)'„, (А„)„.
Таким образом, а любых возможных случаях одноименные коэффициенты в складываемых подматрицах (2.82) дают в сумме нуль. Тем самым доказана справедливость соотношений (2.82). В рассмотренном частном случае справедливость этих соотношений подтверждается значениями матриц (2.80) и (2.74), где о — ! у о — ! (А,)„„= ( ! ! — !, (А„)„= ! — ! о~, откуда '! — ! О ! †! ! †! 77 о ! — 1! ( о (.4х)гх = — ! 1 % (А,)гс = ~-1 1 — ! 1 1 Π— 1 Из первого равенства (2.82) определяют искомую подматрицу дерева главных контуров (А,)„= — (А.)~, = — (А„)'(Ая ')'.
(2.83) Здесь последнее равенство написано на основании второго равенства (2.77) с учетом того, что прн транспонировании произведения матриц транспонированные матрицытсомножители изменяют порядок следования на обратный. Таким образом, как и в случае матрицы главных сечений, 1)?ормализованное составление матрицы главных контуров возможно с помощью нодматриц узловой матрицы, В заключение отметим, что на основании равенств (2.82) можно доказать еше одно свойство топологических матриц (2.75) и (2.8!): (А,.) (А „)' = (О), (А„) (А„)" = (О).
(2.84) Доказательство равенств (2.84) предоставляется читателю сделать самостоятельно. Ранее отмечалось, что построение дерева графа можно осушествлять машинным способом. Поскольку матрицы главных сечений и главных контуров однозначно соответствуют выбранному дереву, можно составить программу определения этих матриц на ЭВМ. Такое определение предельно упрошается при использовании соотношений (2.75), (2.77) и (2.8!), (2.83).
Таким образом, в конечном счете матричные уравнения (2.73) и (2.79) могут быть составлены машинным способом. Для решения же таких уравнений ЭВМ обеспечиваются специальными стандартными программами. Вопросы для самоконтроля 2.1. Какими уравнениям связаны напряжения н токи в линейных, параметрическик и нелипеиных пассивных элементах? 2.2. й1огут ли иметь форму прямоугольных импульсов напряжение на ем. кости и ток в индуктивности? '2.3. Какое сойрагивление прн и ( О имеет элемент с вальт-ампернай харак.
теристикой, показанной на рис. 2.3, г? 2.4. Какую форме имеет ток в диссипативном элементе и в индуктивности при напряжении, заданном графиком на рнс. 2.б? 2.5. Как трансформируются задающие напряжения и токи в идеальном трансформаторе? 2.б. Как изменятся напряжения на каждом из элементов цепи 'с источником тока (см.
рис. 2.14, б), если последовательно с ним включить идеальный источник напряжения е? 2.7, Какое входное сопротивление в режимах холастога хода и короткого замыкания имеют трансформатор, конвертор и инвертор сопротивлений? 2.а Как можно упростить цепь, содержащую последовательно включенные идеальный источник напряжения и идеальный источник тока? 2.9. Кан можно упростить цепь, содержашую параллельно включенныс идеальный источник напряжения и идеальный источник тока? 2.10. Как изменится напрнженне на идеальном источнике тона, если последовательна с ним включить сопротивление ??? 2.11.
Как изменится ток через идеальный источник напряжения, если параллельно с ним включить индуктивность 7.? 2.!2. При какам условии цепь может содержать треугольник, составленный нз идеальных источников напряженна? 2.13. Можно ли элементы 2 н 3 на рнс, 2.!7, е считать соединенными последовательно, если через них проходит одинаковый тон? 2.14.
Могут ли активные элементы на рис. 2!7, г являться илеальнымп источниками напряжения? 2.15. Почему нельзя соединять последовательно идеальныс источники тока> 2.!6. Какие линейные двухполюсники, не содержащие нзтушки шшуктиинасти, обладают свойствами идеального индуктивного элечента? 2,!7. Какие линейные лвухполюсннки обладают сеайстнз* и отрицательного диссипативного сопротивлении, отрицательной диссипативной пп ~водшюсти. отрицательной индуктивностн и отрицательной емкости? 2.!В. Канне 35 двухполюсников содержит цепь, Изображенная на ппс. 2.17, т? 2.!9. Какими 60-ю способачи можно выделить четырехполюсник в пепи, нзо браженной на рис.
2.17, е? 2.20. Спальне треугольнинов содержкт цепь, изображенная на рпс. 3 !7, й? 2.21. Сколько звезд содержит цепь, изображенная на рис. 2.17, а? 2.22. Какой энергетический смысл имеют первый и второй законы Киртгофа? 2.23. Можно лн все возможные деревья графа построить нз одного корня? 2.24.
Сколько различных деревьев имеет граф мостовой цепи? 2.25. Какие главные сечения и главные контуры имеет граф мостовой цепи с деревьями, изображенными на рис. 2.2В? ГЛОВО Основные методы расчета электрических цепей Задачи по расчету цепей бывают двух типов. В одних задачах задаются свойства цепи, которые обеспечивают необходимые изменения сигналов. При этом могут быть заданы, например, допустимые нормы искажения сигналов, частотные свойства цепей и т. п.
По заданным свойствам должны быть определены требуемые схема цепи и параметры ее элементов. Такие задачи называют задачами синтеза целей. Задачи синтеза квляюхся весьма важными прн конструировании устройств свпзи. Они относятся к категории наиболее сложных задач и рассмагриваются в последней главе настоящего курса. В других задачах схема цепи и параметры ее элементов задаются в качестве исходных данных.
В этом случае подлежа~ анализу свойства цени, например степень искажений сигналов, частотные свойства н т. п. Такие задачи называют задачами пмллпза целей. На них базируется и синтез цепей. Эти задачи рассматриваются в последующих главах курса. Анализ свойств цепей связан с определением напряжений н токов в заданной цени.
Такое определение составляет содержание основных методов расчета цепей, которые рассматриваются в настоящей главе. й 3.1. РАСЧЕТ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В электрических цепях, используемых в устройствах связи, сигналы могут иметь сколь угодно сложную форму. Расчез цепей при этом упрощается, если сигналы представляюхся в виде спектра, содержащего гармонические спектральные составлпющис (см. й 1.3.2). Тогда линейные цепи следует рассчитывать при гармонических напряжениях и токах в соответствии с принципом суперпозицин (см. й 1.4.2).
Именно поэхому в настоящей главе будем акцентировать внимание на расчете гармонических напряжений и токов, включая постоянные напряжения и токи, как предельный (вырожденный) случай гармонических колебаний (см. й 1.3.2). указанное упрогцение расчета получается вследствие того, что в линейных цепях ~армоннческие колебании не изменяются по форме и по частоте (см. й 1.4.5).
Однако сам расчет гармонических напряжений н токов в линейных пенях получается достаточно простым только в том случае, когда используется представление гармонических колебаний в комплексной форме. !. Символический метод. Для представления гармонических колебаний в комплексной форме введем понятие операторов поворота векторов. Рассмотрим единичный вектор 1, направленный в декартовой системе координат вдоль положительной оси (рис. 3.1, а). Поворот вектора на угол и/2 будем рассматривать как его умножение на оператор поворота 1; ! ° !.
Здесь поворот вектора осуществляется в положительном направлении, за которое принято направление, противоположное направлению вращении часовой стрелки. в) Рис 3.1. Операторы поворота векторов Еще один поворот единичного вектора на угол и/2 дает единичный вектор, направленный вдоль отрицательной оси, т. е. вектор — 1 = ! ( — 1) =1 ! 1= ! 1'.
Отсюда следует, что 1'= — 1 и 1=-~/ — 1, т. е. оператор поворота вектора на угол и/2 представляет собой мнимую единицу. Это позволяет рассматривать плоскость, в которой поворачивается вектор, как комплексную плоскость с вещественной осью абсцисс и мнимой осью ординат. Поворот единичного вектора ! ни произвольньш угол Ф будем рассматривать как его умножение на обобщенный оператор поворота е в (рис. 3.1, б).
Тогда ! =М'"~', — 1 = е'-е'" и — )=егыг' = =е '"г'. Здесь отрицательный знак угла Ф = — и и Ф = — и/2 означает поворот вектора в отрицательном направлении, т. е. в направлении вращения часовой стрелки. Если на операторы поворотов распространить правило сложения векторов (правило параллелограмма), то оператор может быть представлен в виде суммы векторов, являющихся его проекциями на вещественную и мнимую оси. Следовательно, на комплексной плоскости оператор поворота ем является комплексной величиной, что и выражается формулой Эйлера: е"а = сов Ф+)з)п Ф.
(3.1) 81 Модулем и аргументом этой комплексной величины являются ! соответственно длина повернутого единичного вектора и угол его поворота: ~Е'~ — зГ-*оЗ.. *а= ~ .,з." =„Ее — """,' =Е. (Зд) Следует обратить внимание, что нри нахождении модуля (3.2) комплексной величины (3.1) берут сумму квадратов ев вещественной и мнимой составляющих без учета множителя !з= — 1. Это вытекает из геометрического правила сложения сторон параллелограмма (или прямоугольного треугольника) на рис.
3.1, б, где оператор 1 определяет лишь ориентацию соответствующей стороны параллелограмма (нли прямоугольного треугольника). Для перехода к гармоническим колебаниям (1.14) опустим нулевые индексы и примем угол Ф в формуле (3.1) равным фазе колебаний (1.10): ез~ ' ~ гп = сон (со!+ зр) + ! з(п (оз1+ зр). (З.З) Умножив обе части равенства (З.З) на Е/„, получим комплексную величину, которую называют комплексным напряжением и отмечают точкой над буквенным обозначением величины: й = (/ ез" ее'= и+)и, (3.4) где и = ()„сон(Ы+ зр), (3.5) и= ().з!п( !+ф). (3.6) Комплексное напряжение (3.4) отображают на плоскости комплексной переменной й вращающимся вектором длиной () (рис. 3.2, а).
Вращение этого вектора происходит с угловой скоростью со, определяемой соотношением (1.11), поскольку угол его поворота Ф увеличивается с течением времени пропорционально со. Такое изображение колебаний называется векторной диаграммой. Формула (3,5) повторяет соотношения (1.9), (1,10) для гармонических колебаний и представляет здесь проекцию вращающегося вектора на вещественную ось. Проекция (З.б) этого вектора на мнимую ось тоже описывает гармонические колебания, Рнс. 3.2. Векторное изображение гкрмоннческнк колебаний сдвинутые по фазе на угол и/2. Эти колебания будем называть сопряженными по фазе относительно колебаний (3.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
