Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Переход от гармонических колебаний Я5) к их комплексному значению (3.4) и дбратный переход ~и й) называют символическим методом расчета гармонических колебаний, а величину й — их символическим отображением. Символический метод упрощает расчеты за счет использования показательной функции, описывающей комплексную величину (3.4). 2.
Метод комплексных амплитуд. В ряде случаев расчеты упрощаются еще больше, если комплексное напряжение (3.3) представить в другом виде: й= () е'ыс»", или (3.7) (3.8) где Величину И"' назьйвают временнь»м множителем, е» вЂ” фазовым множителем, а 0 — комплексной амплитудой еармонических колебаний. Для любых гармонических колебаний с заданной частотой ы, кбторая в линейной цепи нс изменяется (см. $ !.4.5), временнбй множитель одинаков.
Таким образом, комплексная амплитуда дает полную информацию'о параметрах гармонических колебаний и их изменениях в линейной цепи. Поэтому на векторной диаграмме вместо вращающегося вектора длиной П (рис. 3.2, а) принято показывать неподвижный вектор, обозначаемый () (рис. 3.2, б).
Угол поворота этого вектора на плоскости комплексной переменной й соответствует начальной фазе колебаний ф Рассмотрение вместо гармонических колебаний (3.5) их комплексной амплитуды (З.В) называют методом комплексных амплитуд. При пользовании этим методом все промежуточные замены переменных могут не производиться. В этом случае делается непосредственный переход и О . 3. Законы Кирхгофа в комплексной форме. Покажем на примере законов Кирхгофа применение символического метода и метода комплексных амплитуд. В соответствии с символическим методом уравнения (2.36) и (2.48) могут быть переписаны для комплексных значений токов и напряжений; «, и ;Р 1 «Ы" = Х 1 «д",' »чо «чн «, л, 2", 0..«с~"л = ~ Й.«И".
«=1 «=1 где 1„« = ««Ив', «)» = 0„»еь«"' — комплексные амплитуды и-х токов и напряжений: 1» =1 «Фм', Е «= Е»Р" — комплексные амплитуды и-х задающих токов и напряжений. аз После сокращения на времсннбй множитель полученные уравнения принимают вид Х(х= ~) и л — ~ а=~ а„ ~ ()ж,= ХЕ„„. х=~ а=~ (3.9) (3.10) Уравнения (3.9), (3.10) могли быть записаны и сразу на основании законов Кирхгофа (2.36), (2.48) в соответствии с методом комплексных амплитуд.
Аналогично суммарный ток двухполюсника (2.37) при параллельном соединении элементов и суммарное напряжение (2.44) при последовательном соединении элементов могут быть записаны в комплексной форме: ! ч~ 7.= Х 7., ()ч, = ~ й„„. х =1 е=! Рис. 3.3. Векторное слаженно гармонических колебаний 4. Закон Ома в комглексной форме.
Закон Ома (2.!) может быть переписан в комплексной форме: и. = М., !. = о ()., (3.12) где (7м= Стжсит', 7 =!и,снч' — комплексные амплитУды напРЯже- ния и тока в диссипативном элементе: ф„, т(т, — их начальные фазы. 84 Сложение комплексных амплитуд в соответствии с формулами (3,1!) может производиться и в векторной форме с учетом векторного изображения гармонических колебаний (рис.
3.2, б). Такое сложение производится по правилу параллелограмма. Для примера на рнс. 3.3, а показано векторное сложение двух гармонических колебаний в соответствии с формулой (3.1!). Это сложение можно производить также, совместив начало одного вектора с концом другого (рис. 3.3, б). Закон Ома (3.12) справедлив не только для отдельного диссипативного элемента, но и для любого диссипативного двухполюсника, составленного из различных диссипативньчх сопротивлений, которые соединены друг с другом в тех или иных сочетаниях. В частности, при последовательном и параллельном соединении диссипативных элементов параметры Я и 6 в равенствах (3.12) определяются формулами (2.45), (2.38). Закон Ома (3.12) может быть переписан раздельно для амплитуд и начальных фаз напряжения и тока.
Учитывая, что )х и Й являются вещественными положительными величинами и агд В = ага 6 = О, из равенств (3.12) получаем Г~ = ВГ, 1 = В Г).и ф. = фь (3.13) Согласно последнему равенству напряжение и ток в диссипативном двукполюснике совпадают по фазе, т. е. являются синфазными колебаниялш. Таким фазовым соотношениям соответствует 'векторная диаграмма, показанная на рис. 3.4, а.
4п Кп я,т Вп а) Ап гГ) г) д) Рис. ЗЛ. Векториые диаграммы напряжения и тока при различных фазовых сааигах Рассмотрим соотношения между гармоническими напряжениями и токами в реактивных элементах. Г1редваритсльно заметим, что дифференцирование' комплексного напряжения (3.7) и комплексного тока г =),„е'"и означает их умножение на оператор )ы: или — =!ыГг' е"" =!гвй, — =!ы),„е"' = !ьз!. ег 'ш (3.14) Подставляя указанные комплексные величины и их производные (3.14) в первые равенства (2.6) и (2.11), получаем после сокращения на временной множитель: и.
= )Х)., !. = ! В Г)., где Х = Хг = го(., Х = Хс = — —, В = Вг = — —, В = Вс = озС. ! 1 еш ' еи'. (3.16) Учитывая знаки величин (3.16), равенства (3.!5) можно переписать раздельно для амплитуд и начальных фаз напряжения и тока; И = !Х!1, 1 = ! В !(1, ф,=»р,~п/2. (3.17) В последнем равенстве учтено, что ага) =и/2 и ага( — 1)= = — и/2. Прн этом верхний знак относится к индуктивности, а нижний — к емкости. Полученные соотношения (3.15) — (3.17) н их сравнение с равенствами (2.6), (2.11) и законом Ома (3.12), (3.14) позволяют сделать три вывода.
Во-первых, при использовании символического метода вместо дифференциальных уравнений получаются алгебраические уравнения. Это положение относится к любым соотношениям, описывающим процессы в линейных цепях, н существенно упрощает их расчеты. Во-вторых, по аналогии с равенствами (3.12), (3.13) соотношения (3.15), (3.17) следует рассматривать как закон Ома для реактивных элементов при гармонических колебаниях. При этом в закон Ома (3.15) входит мнимое реактивное сопротивление )Х и мнимая реактивная проводимость 1В. Мнимость реактивных параметров означает сдвиг по фазе между напряжением и током на угол ~п/2, что и отражается последним равенством (3.17). В случае индуктивности напряжение опережает ток по фазе (рис. 3.4, б), а в случае емкости напряжение отстает по фазе от тока (рис.
3.4, в). Физически такие фазовые сдвиги объясняются природой реактивных сопротивлений и проводимостей (см. $ 2.1.5). В-третьих, вещественные значения (3.15) реактивных сопротивлений и проводимостей являются функциями частоты, обращаясь в нуль или в бесконечность либо на нулевой, либо на бесконечно большой частоте. Частотные зависимости этих величин для индуктивности показаны на рис. 3.5, а, а для емкости — на рис. 3.5, б. Такой характер частотных зависимостей обусловлен физической природой реактивных сопротивлений и проводимостей (см. $2.1.5). Закон Ома (3.15) справедлив для любь»х реактивных двухполюсников, состоящих иэ произвольно соединенных реактивных элементов. В этом случае вместо равенств (3.16) получаются более сложные соотношения. В частности, если двухполюсник содержит последовательно или параллельно соединенные реактивные элементы, то соответственно их реактивные сопротивления или проводимости складываются: Х= 2, Х», В= ~'„В», (3.!8) »-! »=! Эти формулы получаются аналогично равенствам (2.45), (2.38) на основании соотношений (3.!1).
Однако следует учесть, что в формулах (2.45), (2.38) сопротивления и проводимости складываются арифметически, а в формулах (3.18) — алгебраи- аб чески, поскольку реактивные со- т противления и проводимостимогут быть как положительными, так и отрицательными. 0 Диссипативные или реактивные элементы могут соединяться д друг с другом не только раздельно. Возможны также комбинированные соединения этих элементов в различных сочетаниях, в частности, последовательное или параллельное соединение двухполюсников с диссипативными и реактивными сопротивлениями или проводимостями, как показано на рис. 3.6, а, б. На этих рисунках К„„1, и 0 „1, — ам- уп а) плитуды активных и реактивных найряжений и токов, которые соответственно или совпадают по фазе (см.
рнс, 3.4, а), или сдвинуты по фазе на угол -+-я/2 (см, рис. й) 3.4, б, в)с При этом, учитывая значения (г' = 1/лы + Оя, (рис. 3.6, а) и' 1 =1, +1, (рис. 3.6, б), из формул (3.13) и (3.15) получаем закон Ома в комплексной форме; О„=л1 ', 1 Здесь Х и У являются соответственно комплг тивлением и комплексной проводимостью сосгавно яика: а) л) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
