Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 13
Текст из файла (страница 13)
2.19) имеет семь контуров.. 9. Контурные токи. Токи, проходящие в контурах, называют контурными токами. Например, в цепях, показанных иа рис. 2.16, токи 1 являются контурными токами. Аналогичные контурные /' е Рис. 2ДО. Схема питиугольиика 5! токи существуют и в двухконтурных цепях, показанных на рис. 2.17, а, б. В таких цепях, не имеющих ветвей, следует говорить о сугцествовании именно контурных токов. Однако в цепях, содержащих ветви, реально существуют токи ветвей. Сами же ветви, как отмечалось, могут входить в состав нескольких контуров. Тем не менее это обстоятельство не препят. ствует использованию понятия контурных токов и для таких цепей.
Действительно, если ветвь входит в состав нескольких контуров, то ток этой ветви может быть разложен на соответствующее количгство контурных токов. 1!ри этом реальный ток ветви получается равным алгебраической сумме контурных токов, проходящих через эту ветвь. Само же понятие контурных токов приобретает в этом случае условный смысл. Например, выделив в цепи с шестью ветвями (см, рис. 2.17, е) три контура 1 — 2 — 3, 3 — 4 — 5 — б — 8 — 7 и 8 — 9 — !О, получим для них три контурных тока й, сь ць При этом реальные токи ветвей равны разности условных контурных токов й, (г для ветви 3 и токов ць ~з для ветви 8.
Однако для остальных ветвей, входящих только в один из контуров, токи ветвей и контурные токи тождественны друг другу. Например, ток 1 ветвей 4 — 5 — б и 7 равен контурному току 12, а токи ветвей ! — 2 и 9 — 10 равны соответственно контурным токам й и 1ть 1О. Двухполюсники и четырехполюсники. Понятия двухполюсииков и четырехполюсников, введенные для отдельных элементов, распространяются на произвольные цепи с любым количеством элементов. Д'вухполюсники с произвольной схемой подключают к остальной части цепи двумя зажимами.
В частности, любая ветвь цепи является двухполюсником. Если схема двухполюсника не раскрывается, то для него используют общее обозначение, как на рис. 1.1, а. Обычно применяют общее изображение двухполюсника, как на рис. 2.1, а. Соединения двухполюсников общего вида бывают такими же, как и в случае элемептовдвухполюсников. Четырехполюсники с произвольной схемой подключают к остальной части цепи парой входных и парой выходных зажимов. Например, в цепи рис. 2.17, е два левых узла можно рассматривать как входные зажимы, а два правых узла — как выходные.
Тогда цепь из элементов 3, 4, 5, б, 7, 8 является четырехполюсником, подключенным входными зажимами к ветви 1 — 2, а выходными зажимами к ветви 9 — 10. Аналогично в мостовой схеме (см. рис. 2.19) ветви 1, 2, 3, 4 образуют четырехполюсник, в котором пара входных зажимов (верхний и нижний узлы) подключена к ветви б — 7, а пара выходных зажимов (левый и правый узлы) — к элементу 5. Если схема четырехполюсника не раскрывается, то для него используют общее обозначение, как иа рис. 2.1, б.
Цепь, подключаемую к остальной части цепи и зажимами, называют и-полюсником или многополюсником (и ) 3) . 11оэтому четырехлучевая звезда, например, показанная на рис. 2.18, мо- 52 жег быть также названа четырехполюсником. Однако не исключен случай, когда в таком четырехполюсиике ток втекает только через один зажим, как показано на рис. 2.!8, что противоречит определению четырехполюсника с парными входными и выходными эажимамн. Поэтому во избежание различных толкований ниже всюду под четырехполюсником будем понимать цепь вида, как на рис.
2.1, б. Такие четырехпол/веники имеют пару входных зажимов, через котс/рые втткпет и вытекает один и тот же ток й, и пару выходнь/х зажимов, через которые вытекае~ и втекает один и тот же ток /ь ь 2л. ОснОБнь/е ЗАКОны ТОкОПРОХОждения Знкоиы токонрохождеякя рстоннолизоют связь между ноирялсенилмо и таками в цели. Для отдсльных нассивнык элементов такнс связи рассмотрсны в $2.1. Здесь выясняются зависимости мсжду нанряжсниями и токами н различных участках цепи, которыс устанзвлнваются законами Кнрхгофа и вытекающими из них сасдствиями.
!. Первый закон,Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами л ветвей, сходяи1имися в произвольном узле цели (рис. 2.21). Изображенная здесь цепь может не являться звездой, поскольку все узлы 1, 2, ..., л или часть из них могут быть соединены накоротко между собой. Притекание токов //, /з, ..., /„к узлу 0 означает перемещение положительных зарядов к этому узлу. Заряды же не могут скапливаться в узле, который является по существу математической точкой, а не физическим телом, способным накапливать заряды. Поэтому в любой момент времени некоторые токи (например, й, /т, ..., //) должны оттекать от узла.
Остальные же токи (//.ь/, //ч.т, ..., /„) будем считать притекающими к этому узлу. При этом сумма всех оттекающих зарядов /)/, дт, д/, образующих оттекающие токи, должна равняться сумме прнтекающих зарядов /)/+ /, /)/е ь ..., /т„образуюп/их прнтекающие токи: / Хус а=/ или / тл Чь ь=/ь/ Это равенство можно записать в другом виде, объединив две арифметические суммы в одну алгебраическую сумму: ~„ '/)с = О, (2.34) ь=/ где оттекающим положительным зарядам приписан положительный знак, а притекающим положительным зарядам — отрицательный знак. Рис.
221. Схема участка цс. ци с общим узлом Продифференцировав уравнение (2.34), с учетом определения (1.2) получаем математическое выражение первого закона Кирхгофа: ~ ге=О. (2.35) Этот закон справедлив для любого узла электрической цепи. Поэтому для произвольной цепи с п„узлами можно составить и, уравнений вида (2.35).
Соответственно знакам, приписанным зарядам в.соотношении (2.34), в уравнении (2.35) токи ветвей, оттекаюшие от узла, являются положительными, а притекающие к узлу токи — отрицательным)». Такое правило знаков соответствует физическому определению тока как' перемещения положительных зарядов от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом.
Первый закон Кирхгофа (2.35) следует записывать в ином виде, если некоторые ветви содержат идеальные источники тона. В равенстве (2.35) ток й является отрицательным, как притекаюший ток (рис. 2.21). Однако й = )ь а по установленному ранее правилу знаков задающий ток и является положительным, поскольку он направлен к узлу с большим потенциалом. Поэтому с целью сохранения правила знаков для задающих токов их следует перенести в правую часть равенства (2.35): (2.35) Х 1л = Х 1л е= ~ Еач Действительно, для узла 0 (см. рис. 2.2!) равенство (2.35) имеет вид Пл — 1+ й + ее + ...
+ 1„=,0, что равносильно соотношению (2.37), Параллельно соединенные ветви могут содержать только по одному пассивному элементу (рис. 2.22, 6). Если все эти элементы являются Рнс. 2.22. Параллельное соелн- ненне ветвей где для рассматриваемого узла с и сходящимися ветвями п,— число ветвей без источников тока, и; — число источников тока, и = и;+и,. 2. Сложение тонин н параметров цепи. Из первого закона Кирхгофа следует, в частности, что общий ток двухполюсника, ' составленного из т париллельныл ветвей (рис.
2.22, а), равен сумме гоков ветвей: е с= ~ ее, (2.37) е=! диссипативными проводимостями 6!, 6г, ..., 6, то для каждой из них справедливо второе равенство (2.1): »!=6!и, гг=6ги, ...,1 =6 и. Подставив эти равенства н второе равенство (2.1) в формулу (2.37), найдем после сокрашения на и: 6= ~", 6». »=! Таким образом, при параллельном соединении диссипативных элементов их проводимости складываются. Другими словами, такой составной двухполюсник эквивалентен одному диссипативному элементу с суммарной проводимостью (2.38) .
Аналогично, для параллельно соединенных емкостей С!, Сг, ..., С или индуктивностей Е!, Ег, ..., Е из формулы (2.37) и первого равенства (2.6) или второго равенства (2.!1) находим С=ХС, 1=Х (2.39) »=! »-! Таким образом, при параллельном соединении емкостных элементов складываются их емкости, а при параллельном соединении индуктивных элементов — величины, обратные индуктивностям. Если две нндуктивности Е!, Ег соединены параллельно и связаны между собой взаимоиндуктивностью М, то прн ! = г!+ 1г и и! = иг= и из формул (2.22) определяется результирующая индуктивность Е = (Е! Ег — М')/(Е! + Ег ~ 2М).
(2.40) В знаменателе дроби (2.40) верхний знак соответствует согласному, а нижний — встречному включению катушек. Согласно формулам Е2.38) — (2.40) одноименные параллельно соединеннь»е элементы могут быть объединены в один элемент. 3. Закон сохранения зарядов. Существует специфический случай так называемых изолированных узлов, к которым первый закон Кирхгофа (2.38)' неприменим. Узел называется изолированным, если все сходящиеся в нем ветви содержат емкости, а в цели деиствуют только постоянные задающие напряжения и токи.
При этом в таких ветвях постоянный ток проходить не может, но на емкостях скапливаются постоянные заряды Оь Щ, ..., Я„ и устанавливаются соответствующие постоянные напряжения (/!, ЕГг, ..., (/„(рис. 2.23). Из-за отсутствия токов, проходящих через изолированный узел, как раз и невозможно применять первый закон Кирхгофа. Однако при этом можно использовать исходное соотношение (2.34), в котором протекающие через узел заряды д» следует заменить статическими зарядами Я».. » 2; »ч'»=О, (2.41) » ! 55 Рис. 2.23. Изолиро ванный узел % сг» = ~.~ »го» ° »=ч »-~ (2.42) .
Уравнение ('2.42) и частный его случай — уравнение (2.4!) выражают закон сохранения зарядов для изолированного узла. 4. Второй закон Кирхгофа для ветвей контура. Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между напряжениями ветвей, образующих замкнутый контур. Для произвольного контура„ ветви которого подключены к узлам с потенциалами оь оь ..., ок (рис. 2.24), очевидно следующее тождество: о| — о~ + оз — оз + оз оз + " + он — г о — г + он ок = О. Перегруппируем слагаемые в этом тождестве: (оз о!) + (оз — оз) + ... + (оа о„— 1) + (о! — ок) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
