Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 117
Текст из файла (страница 117)
е Введем в рассмотрение матрицу М: гг т" ' т м=)(сь +САС ., с,,\' 1А ) с ) о х(СеС+С~гСА+...+С„11" 1СА" ~)й. Представим матрицу М в виде 623 Глава 5. Методы математического о мми ования м-1[с /ж с 1..1А ) с ]* С,1 С,г! (5.108) СА ~С%~!1 /.../С„,!"-'1~ С Аь-1 С гл-!1 ь-! В (5.108) 1-(рх р) — единичная матрица. Перепишем (5.108) в форме С СА и=[с [А с '1.11А ) с ]!ты СА" ' Пусть Р(!) = -А(!); С(!) = В (!) . (5.1 12) Системы (5.109), (5.110) и (5.111) называются сопряженными, если выполнены условия (5.112).
Для разрешимости задачи наблюдения системы (5.109) необходимо и достаточно, чтобы была разрешима двойственная ей задача управления, т.е. чтобы система Х(!) = -Р (!)Х(!)+С (!)1)(!) (5.1! 3) была вполне управляемой. Воспользовавшись критерием (5.92), получим лля случая стационарной системы: система (5.109) и (5.110) является полностью наблюдаемой в том и только том случае, если выполнено условие Блочная матрица Т (прх пр) состоит из (рх р) диагональных блоков с элементами (С!С; ! ! ); й, ! = 0,1,2,...,п-1.
Потребуем, чтобы матрица М была невырожденной. Воспользовавшись известными фактами из теории матриц, можно показать справедливость следуюшего утверждения: для того, чтобы выполнялось равенство гал)г М = и, необходимо и достаточно, чтобы тай)ь =и. Рассмотрим следуюшую систему — = Р(!)Х; аХ (5.109) г!! (5.110) 1)(!) = С(!)Х(!); 2(0) = Х'. Можно показать (49), что для любой задачи управления можно построить такую задачу наблюдения, что решение последней будет являться и решением задачи управления и, наоборот, для любой задачи наблюдения можно построить соответствующую задачу управления, причем решение последней будет решать первую задачу.
Приведенное положение составляет содержание приникла двойственности. В соответствии с принципом двойственности вопросы наблюдаемости для наблюдаемой системы превращаются в вопросы управляемости для двойственной ей управляемой системы. Приведем уравнение управляемой системы Х(!) = А(!)Х+ В(!)1). (5.1! 1) Методы тео ин оптимального авления. Часть )П б24 «[с'л'с'..](л') с']-, где и — порядок наблюдаемой системы. Понятие наблюдаемости для нестацнонарных систем характеризует возможность по выходу системы судить о ее состоянии. Как и в управляемости, существует несколько разновидностей понятия наблюдаемости. Система называется полностью наблюдаемой на интервале [!о,ге), если при заданных 1о и га начальное состоЯние Х(го) свободной системы можно опРеделить по известномУ на [!о,!я) выходУ Х,(1), когда настУпит момент гь . Критерий б.т — первая форма критерия наблюдаемости ЛНС.
Система полностью наблюдаема на интервале [гс г«] тогда и только тогда, когда столбцы матрицы И(г,ге)хС(Г)Ф(! Ге) линейно независимы на интервале [гр,!«] . Доказательство достаточности. Из уравнения выхода системы с учетом приведенных выше формул при Х,(1) = О имеем а) (1) = С(1) Ф(1,1,) Х(1,) = Н(1,1,) Х(1,) (5.114) (и 1) (гхи) ( и) (их!) («л) (и «) (снизу в скобках указаны размерности соответствующих выражений), откуда вектор Х(1о) определен быть не может в силу того, что выражение (5.114) представляет собой систему из г уравнений с л неизвестными, где г с н .
Умножив левую и правую части (5.114) слева на Ф «««с «): ( ц Ф (!!о)С (1)Х(1)=Ф (! 1о)С (1)С (1)Ф (!1о)Х(го) (5115) (- ) (-О (и и) (л и) (и л) получим систему нз л уравнений, но вектор Х(!) нз нее все-таки не может быть найден, т.к. линейно независимых уравнений в ней лишь г (линейная безынерционная операция, описываемая матрицей Ф (1,1о)Ст (1), может дать лишь линейную комбинацию исходных соотношений). Недостающая информация может быть найдена, если использовать значения выхода, полученные и в другие моменты времени, например с помощью суммирования членов типа (5.115) при различных 1,, включающих значения выхода в эти моменты времени: Хв (1г) = Хв (го+ !111), 1= б, 1,2,5„,.„)У 1У«51 = !а -1о ( Ьг — интервал, с которым производится наблюдение за выходом). В случае непрерывного наблюдения сумма примет вид интегралов !« г« )Ф (1,1о)С~(!)Х(1)г(1= ) Ф (1,1,)С ЯСЯФ(1,1 )г!г Х(! ).
(5.116) ь ги 625 Глава 5. Методы математического п о амми ования Свидетельством того, что в сформированном таким образом выражении содержится достаточное для определения Х(Го) количество информации, явится тот факт, что квадратная (пип) матрица Аг(гс,гг) = ] Ф (г го)С (г)С(г)Ф(г го)ог неособая, т.к. тогда из уравнения (5.116) Хо(г)=А1 (го.ге)(]Ф (г го)С (г)Хв(г)с(д Но если матрица А, (го,га) неособая, то матрица имеет линейно независимые строки, а матрица С(г) Ф(Ага ) — линейно независимые столбцы, что и требовалось доказать.
Доказательство необходимости критерия 5.7 приведены в [39]. Сравнивая содержание следствия и только что доказанного критерия, можно заметить очень важное свойство ЛНС. Своаство ЛНС. Система полностью набяюдаема ка [гь,гь] тогда и только тогда, когда сояряжеякая система наякагтью уняасяягна но состоянию яа [гь,гь] . Действительно, согласно следствию! и формуле (5.75) для полной управляемости по состоянию сопряженной системы необходимо и достаточно линейной независимости строк матрицы Ф, (г„,г,)В, (1,). Но в соответствии с полученными выше результатами, В, (г,) = С (г,); Ф, (г„, г,) = Ф (г„гг„), поэтому линейная независимость строк матрицы Ф, (г, г, )В (г, ) = Ф (г„г )С (г, ) = [ С(г, ) Ф(г„г, )] означает линейную независимость столбцов матрицы С(г)Ф(бго), что совпадает с требованиями критерия 5.7 полной наблюдаемости исходной системы на (го,гг ] .
Это свойство ЛНС отражает, как и для стационарных систем, так называемую ду- ольную связь (дуольность) между наблюдоемостью и управляемостью по состоя- нию, согласно которой, используя известные уже алгебраические критерии управ- ляемости к сопряженной системе, нетрудно получить вторую форму критерия на- блюдоемости. критерия 58. система, где А(г),В(с)- матрицы, дифференцируемые соответственно (н-2),(я-!) рп на интервале [гь,гь], абсолютно наблюдаема на интервале [гь,гь] тогда и только тогла, котла (ни нг) составная матрипа наблюдаемости Ан(г) =[гс'(г) А]С'(г)].:....:А"-'(С'(~)Ц, !где Ь = А (г) + — ) имеет ранг и почти везде на интсрваае [гь, г,] г гв В определении 5.1 предполагается, что систему начинают исследовать в момент с, тго, т.е.
понятие наблюдаемости связывается с возможностью определения со- 4! зак. зва 626 Методы тео ии оптимального авления. Часть 1П стояния по будушим значениям сигнала. Калман поставил задачу по-другому, более естественно — определять состояние по прошлым значениям выхода, связав возможность ее решения с понятием идвнтифинирувмасти, илн васстанавливавмости. Определение восстанавливаемости имеет вид определения полностью наблюдаемой системы, в котором последняя фраза «....когда момент 1 наступит» заменена на фра- зУ «если момент 1с Уже настУпил» (т.е. исследование восстанавливаемости системы начато при ь =ге ).
Пусть исследование системы начато при 4 = го, и оказалось, что она наблюдаема; ясно, что отсюда не следует ее восстанавливаемость, т.к. для оценки восстанавливаемости требуется располагать выходом системы при г, <1о, а факт наблюдаемости информации о ее выходе для этих моментов не содержит. Так как матрицы стационарной системы неизменны во времени, ее наблюдаемость означает н ее восстанавливаемость и наоборот. Развивая понятие инверсной системы дх„(1„) = А, (1„) Х„(1„)+ В„(1„) Щг„), (5.117) можно заметить, что инверсная система (5.117) в будушем (начиная с момента 1„= г„е = -1„) пРинимает значениЯ, Равные пРошлым значениЯм исходной системы, а в прошлом — будушие (рис.
5.25), поэтому: если исходная система полностью наблюдаема на (1о,гс], то инверсная система (5.117) полностью восстанавливаема на [го,гс ]; верно и обратное утверждение. 1 го гио "гв 1и 1ис 1е Рнс. блб. К понсненню работы инверсная системы Экспериментальный способ анализа наблюдаемости ЛНС. Поскольку исследование наблюдаемости по приведенным критериям связано с необходимостью определять ранг матрицы наблюдаемости (а эта операция в реальных условиях неконструктивна), в практических работах все чаше применяется довольно оригинальное конструктивное решение этого вопроса. Правда, весьма громоздкое: необходимо работать со сложной моделью, для реализации которой дополнительно требуется два источника нормальных векторных гауссовых белых шумов с((1) и г(1) размерностью соответственно (ах 1) и (г х1) с нулевыми средними значениями и известными МатрИцаМИ ИХ ИНтЕНСИВНОСтЕй 0(1) И 1е(1) .
(н е) (с с) Экспериментальный способ состоит в следуюшем. Поставим в соответствие исхолной системе новчю стохастическую модель Глава 5. Методы математического о амми ования 627 = А(4) Х(г)+В(4)41(!), Х(г) =С(г)х(г)+г(г), (5.118) (5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
