Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 120
Текст из файла (страница 120)
!5 151) Отсюда получается выражение для оптимальною регулятора и(г) = и (г) — К(г)( х(г) — х (г)~ !5 152) П иложения 638 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ФАЗОВЫЕ КООРДИНАТЫ В данной главе работы по-прежнему рассматривается решение задачи оптимального управления, Однако в отличие от главы 2 теперь предполагается, что ограничения заданы как на вектор управления, так и на фазовые переменные системы. Ограни ~ения на фазовые координаты существенным образом усложняют определение оптимального управления н оптимальной траектории. Большое внимание уделяется изложению необходимых условий оптимальности. Изложение начинается с рассмотрения условий оптимальности при ограничениях на фазовые координаты произвольного порядка, а затем указываются те упрощения, которые имеют место при ограничениях на фазовые координаты первого порядка.
Такой способ изложения позволяет избежать ненужной тавтологии, которая обязательно имела бы место, если бы в начале рассматривались ограничения первого порядка, а потом — любого порядка. Как и в главе 2, большое место отводится оптимальному по быстродействию управлению линейными объектами. Для таких задач формируются достаточные условия оптимальности, рассматривается управление объектом с помощью инерционного руля, приводятся примеры решения задачи синтеза оптимального по быстродействию управления со специально подобранными модельными объектами.
П1.1. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ФАЗОВЫЕ КООРДИНАТЫ При определении оптимального управления, наряду с ограничениями на управле- ние, часто необходимо учитывать также ограничения на фазовый вектор системы. При управлении двигателем постоянного тока, например, ограничения могут быть наложены: на величину управляющего напряжения, на величину тока якорной цепи, на скорость вращения двигателя. Ограничения на фазовые координаты существенно усложняют определение оптимального управления. Необходимые условия оптимальности при ограничениях на фазовые координаты в форме принципа максимума были получены Р.В.
Гамкрелидзе [15] (см. также (3)). По современной терминологии указанные условия относятся к случаю, когда ограни- чения на фазовые координаты имеют первый порядок. Вообще следует отметить, что установлению условий оптимальности при ограничениях на фазовые координаты посвящено много работ (39), причем в подавляющем большинстве этих работ рас- сматриваются ограничения первого порядка.
При управлении техническими объек- тами ограничения на фазовые координаты выше первого порядка встречаются весьма часто. В настоящем параграфе излагаются необходимые условия оптимальности при ог- раничениях на фазовые координаты произвольного порядка. При этом мы не будем останавливаться на доказательстве формулируемых теорем ввиду их громоздкости. Рассмотрим объект, движение которого определяется уравнением — = Г(х,в), Ых (П1.1) Нг здесь х =(х,,хз,...,х„), (=(/ц/м...,у„) — л-мерные векторы, и =(ициз,...,и„)— г-мерный вектор управления. Вектор х будем называть в дальнейшем вектором со- П уложение 1. Оптимальное авление и о аничениях на кос динаты 639 стояния или фазовым вектором системы (П1.1). Область (/ допустимых значений управления зададим неравенствами В (в)йб, у=0. (П1.2) Предположим далее, что заданы ограничения на область значений фазового вектора х.
Именно, будем считать, что вектор х может принимать свои значения из некоторой ограниченной области В, определяемой неравенствами я, (х) < О, / = 1,/с . Граница области В образована /г поверхностями 5,, заданными уравнениями д (х) =О, /'=1,/г.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть в фазовом пространстве Х системы (П1.!) заданы две точки х =(х,,хз,...„х„) и х =(хыхз,...„х„), каждая из которых прио о а о надлежит области В. Требуется среди управлений в(/)е(/, ге </<П, переводящих фазовую точку х системы (П!.1) из начального положения х(/е) =х в конечное о положение х(/!) = х и притом так, что соответствующая траектория х(/) е В, найти ! такое, которое доставляет минимум функционалу ь ,/=) /е(х,н)г//.
(П!.4) и Управление и траекторию, решающие поставленную задачу, будем называть оптимальными. Обозначим г точку выхода фазовой траектории х(г) на границу области В, а (П1.3) через / — точку схода траектории х(/) с границы области В в открытое ядро об- Ы Если траектория х(/) лежит на границе 5 области В, то производная — я (х), з й вычисленная в силу уравнений (П1,1), должна равняться нулю, т.е. имеет место ра- венство ,/ дя (х) — я (х)= з /(х,ц)=0. гй ' ах Будем предполагать, что каждая из функций д,(х) дифференцируема по / — 9, раз, где д, — порядок производной, в которой впервые (в силу (П1.1)) появляется явно управление ц .
При этих условиях ограничение я,(х) < О назовем ограничением порядка д,. Обозначим ~ч — я (х)=Ф"(х), ч=!,9 -1, ласти. Точку отражения, как и точку выхода, обозначим г . Точки /,/ (точкн выхода, схода и отражения) называются также точками стыка траектории х(/). Ниже рассматриваются только такие оптимальные траектории х(г), которые имеют конечное число точек стыка. Далее, будем предполагать, что каждый граничный участок оптимальной траектории х(г) не имеет точек, лежащих на пересечении двух и более ограничивающих поверхностей. 640 П иложения и будем предполагать, что для любого 1 а < п, ибо в противном случае система уравнений я (х)=0, П!.5 ( ) Ф" (х) = О, ч =1,су — 1 может оказаться противоречивой.
Ниже широко используется понятие регулярной точки х . Это понятие относится к переменной области управления и его удобно ввести для некоторой абстрактной области, которая в работе конкретно нигде не используется. Рассмотрим такую об- ласть. Обозначим ее через У(х) и зададим соотношениями й,(х,и)<0, у=1,1, (П! .6) Р„(х, и) = О, и = 1, к, где функции Я„и Р„у =1,1, а= 1,к, непрерывно дифференцируемы по х и и. Пусть (х,н) — произвольная пара, удовлетворяющая условиям (П1.6). Индекс у, у = 1,1, назовем активным в точке (х,и), если Я„(х,и) = О. Множество всех активных в точке (х,н) индексов у обозначим 1(х,и).
Точку х назовем регулярной, если для любого и и У(х ) следующие векторы агаднра(х,н), й = 1,к, я гад„й„(х, ц), у и У(х, и) линейно независимы. Множество регулярных точек хи Х назовем областью регулярности. Справедливо следующее утверждение. Лемма. Если х — некоторая регулярная точка илгнажества У(х ) ограничено, о о та найдетсл такое е> О, чта окрестность ~х-х ~ <а принадлежит области регуо! лярности. Доказательство леммы приводится в (16). Предполагается, что функции 1 (х,и); уо (х, и); Е„(и), у = О, непрерывно дифференцируемы по своим аргументам.
В качестве допустимых управлений будем рассматривать кусочно-непрерывные вектор-функции и(г), принимающие свои значения из области У, определяемой неравенствами (П!.2). Пусть, далее, соотношения (П!.2) удовлетворяют условию общности положения, т.е. для любого и и У слео луюшие векторы лгад)г,(и ), уи1(ио) линейно независимы. Введем функции Р(х,и)= — а (х)=~агадФ~' (х)) 7(х,и).
(П1.7) Обозначим го (х) переменную область управления, заданную неравенствами К„(н) <О, у=!,1, Р,(х, и) < О. П иложение1.Оптимальное п авлениеп ио аниченияхнакоо динаты 64! Символом ез, (х) будем обозначать область управления, определяемую соотноще! ннямн Л„(в) <О, у =1,!, Р (х,в) <0, а через го (х) обозначим область управления, заданную условиями Я (в) <О, у =1,1, Р,(х,п) =О. Так как соотношения (П!.2) удовлетворяют условию общности положения, то отсю- да следует: если х — некоторая точка, регулярная относительно области а (х), то она регулярна одновременно и относительно областей гс (х) и гя (х).
Это позволяет единообразно ввести понятие регулярной траектории. Если в некотоРый момент га выполнЯютсЯ Равенства Я, (х(!а)) = О, Ф"(х(!о))=0, т=1,9 -1, а в интервале гс < ! < 1, управление в(!) удовлетворяет неравенству Р (х(!),в(!)) < О, (П1.8) то, как легко видеть я, (х(!)) < О, г, < ! < !, . Если неравенство (П! .8) заменить равенством Р (х(!),в(!)) = О, то траектория х(!) целиком лежит на границе 5!. Очевидно, в каждой точке г„выхода на ограничение и в каждой точке ! * схода с ограничения должны выполняться соотношения (П1.5).
Однако в точке отражения траектории нет необходимости требовать выполнения всех равенств (П1.5). Точку 1„ назовем точкой отражения порядка д Я, < д ), если Ф,"(х(г„)) =О, т=! !) -1, су <!7!, Ф,"'(х(г,)) и 0 Ф"(х(г„))=0, т=!,б,-!, б =о Если !7, <д!,то д должнобытьчетнои,крометого, Ф~'(х(г„)) < О. (П1.9) Уравнения (П1.5) задают в фазовом пространстве Х некоторое многообразие.
Будем считать, что для любого 7' указанное многообразие является гладким, т.е, в каждой точке многообразия векторы Огайо,(х)„8габФ!(х),.,,,8гадФ~' (х) линейно независимы. Положим, далее, что функции Р,(х,в), определяемые соотношением (П!.7), имеют непрерывные производные по переменным х и в. 642 П уложения Пусть х(г), го <« <1, — оптимальнаятраекторня,соединяющая заданныеточки х и о х' и принадлежащая допустимой области В . Точками стыков траектория х(г) разбивается на ряд участков. Каждый из таких участков будем называть элементарным процессом, Траекторию х(г) можно рассматривать, таким образом, как сложный процесс, со. стоящий из нескольких последовательно протекающих элементарных процессов. Рассмотрим следующую вспомогательную задачу.
Пусть сложный процесс х(г), «о < «< «,, точками г«,««,...,г,.,г, разбит на элементарные процессы. Каждый из этих элементарных процессов описывается системой дифференциальных уравнений (П!.1), причем на отрезках «, <г<«,, а=1,л, управление в(г) может принимать значения из области «о,(х), а в остальных случаях — из области (/. В точках г„переключения элементарных процессов должны выполняться соотношения (П!.5), если г,„ — точка выхода на ограничения или точка отражения порядка «),, или соотношения д,(х(г„)) = О, Ф,"(х(г,"))=О, о=14,-1, если г — точка отражения порядка д, «] <«),.
Относительно моментов г,, а=1,з будем предполагать, что они могут выбираться свободно. Требуется так выбрать управление в(«), го <г <«,, и моменты времени го,гп...,г„,г,, а=),х, чтобы соот- ветствующая фазовая траектория х(г), соединяющая точки х и х, доставляла мно нимум функционалу (П!.4). При выводе необходимых условий оптимальности оптимальную траекгорию сравнивают с близкими (варьируемыми) траекториями. Обозначим г, + бг„г, + бг, точки стыка варьируемой траектории. Если х(«) н В, то в соответствии с (П1.5) и (П1.8) близкие траектории х(«)ч бх(г) на отрезках г, +Ьг < г < г, +бг„* также при- надлежат области В .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
