Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 124
Текст из файла (страница 124)
» Ы!хз) = О. Момент г * переключения уравнений движения с (П1.81) на (П!.78) выбирается сво- бодно. В точках г и г** фазовые координаты связаны соотношениями х,(г +0)=х,(г -0), г'=1,п-2, х,(г* +0)=х,(г -О), 1=!,п-2, (П!. 82) л(х(г +0)) = О, Ф1(х(г +0)) =0 (П1. 83) г(г' <гбг") Н(ф(г), х(г), с) = шах Н(ф(г), х(г), И') = 0 и'=«и (П1.85) чо(г) < О. Далее, участок траектории х(г), целиком лежащий в открытом ядре области В, дол- жен удовлетворять теореме 2.1 (принципу максимума Понтрягина). Будем говорить, что в точке выхода Г выполнено условие скачка, если ц~»(г — 0)=!ус(г +0), ц~,(г — 0)=ц~,(г +0)+ра +р>, г'=1,» — 2, дх, дх, д8(х(г )) дФ'(х(г )) 'т',-~(г -0) = Ро» Р1 дх„, дх„, дд(х(г )) дФ'(х(г )) +н! дх« дх„ (П!.86) Последние два равенства (П!.83) определяют координаты х„, (г + 0), х„(г + 0) . Для указанного «эстафетного» процесса необходимые условия оптимальности задаются теоремой 4.4 [5). Введем (л-2)-мерный вектор х=(х,,хз,...,х„з) и (н-1)-мерный вспомогательный вектор ф = (уе,~уп...,у„з), который определяется уравнениями йод й~, дН(ф, х, с) ~й гй дх, здесь Н(ф, х, с) — функция Гамильтона, записанная относительно уравнений (П!.81) и функционала (П1.36).
Будем говорить, что траектория х(г) = (х,(г), хз(г),..., х„(г)), г <! э!, целиком лежащая на границе области В, удовлетворяет условию оптимальности на границе, если найдется такая ненулевая непрерывная вектор-функция ф(г), определяемая уравнениями (П1.84), что в каждый момент времени П иложение 1. Оптимальное авление п и о аничениях на коо динаты 659 Если à — точка отражения, то условие скачка будем задавать одним из соотношений: у(г -0)=~ю(г +0), (П!.87) либо уо(г' - 0) = уе(г' + 0), у,(г'-0) = у,(1'+0)+ро +р,, ! = 1,п, (П!.88) дх, ' дх, цаз!8пснО„ц~з!8пс>0.
Равенство (П1.87) относится к точке отражения первого порядка, равенство (П1.88) — к точке отражения второго порядка. Причем в условии (П!.88) неравенство р, з18п с > 0 выливается в равенство (П! . 89) р1 =О, если выполняется хотя бы одно из условий: Р(х(г ),н(г*-0)) ='О, Р(х(1 ),н(г ч.О)) = О. Аналогично, в точке схода 1 * выполняется условие скачка, если Чо(г +О) = Ч О(1 — О), Ч~,(г +0) =цз,(г -0)+рз +рз, ! =1,л-2, дя(х(г *)) дФ'(х(г )) дх, дх, дя(х(1 )) дФ'(х(г )) 'т~-1(г +0) = Нз +Нз дх„, дх„, дл(х(г )) дФ'(х(г )) уя(г +0)=р, +р, дх„ дх, В равенствах (П!.86) — (П1.90) рш р,, рз, рз — произвольные действительные числа.
Выписанные выше УсловиЯ, кРоме неРавенства Регййпс< О, вытекают из теоРе- мы 4.4 15), записанной для сформулированного выше «эстафетного» процесса, а в случае точки отражения — также из теоремы П! .!. Правда, условия скачка приводятся здесь лишь в главной форме. Будем предполагать, что в точке выхода 1* и в точке схода г * выполняются со- отношения 72 (2 — д(х(г)) и О, — д(х(г)) и О. ~,2 ' ~12 4З* Эти соотношения, в известном смысле, эквивалентны требованию регулярносзи или слабой регулярности граничного участка траектории х(1) .
Теорема П1.7. Пусть управление ц(г) и траектория х(г), гс <г<б, переводят фазовую точку х из заданного начального положения х = (х,,...,х„) в начало кое о о ординат. Если траектория х(г) удовлетворяет на внутренних интервалах движения теореме 2.1, на граничных интервалах — условию оптимальности (П!.85), а в точках стыка — условиям скачка (П1.86) — (П1.88), (П1.90), то на траектории х(г) функционал (П1.36) достигает абсолютного минимума. 660 П уложения х (г)их (1). Теорема П1.7 задает достаточные условия оптимальности. В случае достаточных условий обычно важно знать, не являются ли эти условия чрезмерно жесткими. Опыт применения теоремы П1.7 показывает, что она с успехом может быть использована для синтеза оптимального управления. Доказательство теорем П1.7 и П1.8 аналогично доказательству теоремы П1.4.
Оно подробно приводится в (19).. П1.3. ОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЕ В СЛУЧАЕ ИНЕРЦИОННОГО РУЛЯ В теории оптимального по быстродействию управления особое место занимает теорема о числе переключений, полученная еше А.А. Фельдбаумом (20! н обобщенная в известной монографии (3]. Именно на основании этой теоремы решено большинство практических примеров по синтезу оптимального по быстродействию управления. В данном параграфе (см. также [21!) теорема о числе переключений распространяется на случай, когда управление объектом осуществляется с помощью инерционного руля.
Итак, пусть движение объекта описывается уравнением — =АхеРЬ, дх (П!.91) с!г здесь Ь = (Ьпбз,...,б„)-г -мерный вектор, каждая координата которого задает перемещение соответствующего рулевого органа. На перемещение рулей наложены огра- ничения (Ь ) < !1,, У = 1, г. (П1.92) Будем считать рули инерционными, полагая, что их движение описывается урав- нением — =и, дб (П1.93) аг где п=(и,,из,.,.,и,)-г-мерный вектор, задающий. безынерционное управление. Пусть, далее, вектор и момгет принимать свои значения из:области (7, которая задается неравенствами )и)<А, /=!,г. (П!.94) В неравенствах (П1.92) и (П! .94) !1, и А, — некоторые числа.
Ниже предполагается, что система уравнений (П1.91) является нормальной. Именно, будем считать, что для любого 7', 7' = 1, г, следующие векторы: Ад Агд А! -пд з — линейно независимы, здесь д — о -мерный вектор, представляющий собой 7' столе бец матрицы Р. В этом случае, как показано в 92.3,'управление в(г) находится нз условия максимума функции Гамильтона (за исключением конечного числа точек) однозначно. В соответствии с уравнением (П!.93) каждый из рулей описывается интегрирующим звеном, и, следовательно, о его инерционности можно говорить лишь условно.
Теорема П1.8. Пусть х (г) =(х~ (1),...,х„(г)) — траектория, удовлетворяющая утэовиял~ теоремы П1.7, а х (г) -любая другая оптимальная траектория. Тогда П уложение 1. Оптимальное авление и о аничениях на кое динаты . 661 Однако во многих технических системах переходные процессы в приводе руля окан- чиваются весьма быстро (по сравнению с временем движения с постоянной скоро- стью). В этом случае инерционный руль с достаточной для практики точностью мо- жет быть описан соотношением (П1.93). Рассмотрим задачу о наибыстрейшем переводе фазовой точки системы (П1.91), (П1.93) из некоторого начального положения в начало координат.
Будем рассматри- вать эту задачу в двух вариантах. В первом варианте (назовем его вариантом Е) ко- нечное значение задается как для вектора х, так и для вектора Ь, т.е. х =О, Ь~ =О. Во втором варианте (вариант 1.) конечное значение задается только для вектора х (х = 0) . Что же касается начального состояния, то оно предполагается полностью 1 заданным, т.е. в начальный момент времени заданы векторы х и Ь . Приняв переменные Ь,, у = 1, г за фазовые переменные, а вектор н — за безынер- ционное управление, сформулированную выше задачу оптимального «инерционно- го» управления сведем к задаче об оптимальном безынерционном управлении, но при ограничениях на фазовые координаты системы.
Сформулируем сначала достаточные условия оптимальности. Ограничения (П1.92) выделяют в фазовом пространстве Х системы (П1.91), (П!.93) допустимую область В, ограниченную поверхностями Я~ и Я~~ ((=1,«), причем поверхность Я, задается уравнением 1 я,'(6)=б,-В, =О, а поверхность  — уравнением 2 l я 2 (Ь) = -Ь вЂ” В = О, В дальнейшем наряду с обозначением Я~ и Я~ будет широко использоваться обозначение Я, где под поверхностью В, понимается любая из поверхностей 5,, 1 В,. Уравнение поверхности В, условимся записывать в виде 2 я (6)=0.
(П1.95) В отличие от рассмотренного выше здесь допускается движение фазовой точки по пересечению двух и более ограничивающих поверхностей В, . Обозначим через р множество индексов у, таких, что ~б,(=В,, если у и р . При движении по границе области В (( Р (б((),п(()) = — я (б(()) = и (()з(яп6, = 0 для любого / н р . Область управления, определяемую соотношениями ) и )<А, (=1,г, Р(б,н)=0, /нр, обозначим «2 . Будем считать, что при движении фазовой точки по границе области В управление н принимает свои значения из области (» . Обозначим (( точку выхода на поверхность Я, а через ( ( — точку схода с по- верхности Я, . Точку отражения от поверхности, как и точку выхода, будем обозна- 662 П иложения чать г!.
Так как возможен одновременный выход на две и более ограничивающие поверхности, то допускаются соотношения !' = !" = !' . Аналогичные соображения справедливы и для точек схода и отражения. Более того, одна и та же точка может совмещать в себе, например, выход на границы 5,5„н сход с границ 5, и 5л, т.е. возможны соотношения !» а Р Точки выхода, схода и отражения называют еще точками стыка траектории. Если точка стыка представляет собой только точку выхода, или только точку схода, или только точку отражения относительно некоторой ограничивающей поверхности 5, то соответствующую точку стыка назовем простой.
Каждую точку стыка, которая не является простой, будем называть сложной. Будем, далее, предполагать, что сложная точка стыка является точкой выхода на поверхности 5, для всех ! н Е, точкой схода с поверхностей 5 лля 2н9 и точкой отражения от поверхностей 5 для !нГ, здесь Е, 9 и à — некоторые множества. Участок т, < ! < 22, на котором траектория (х(!), Ь(!)) принадлежит границе области В и не имеет других точек стыка, кроме т, и 22, назовем простым граничным интервалом. Введем векторы ! 2 Ч! =М Ч22 ''' Ч!») Ч! =(Ш»м Ш»»2 ''' Ш»»») Ч =(ШО,Ш',Ш') =(ШО,Ш,",Ш...), и составим функцию Н(Ч2,х,б,н)=Шв+(Ш') (Ах+РЬ)+(Ш2) и.
Вектор Ш(!) определим уравнениями — =О, — =-А Ч! с !(Шо ' '!Ш т г(! с!Ш т 2 Р Ч'. г(! При движении по границе области В нам понадобятся также вспомогательные функции к (!), ! и р, которые зададим уравнениями дН(Ш(!),х(!),Ь(!),и(!)) ЬР,(Ь(!),ц(!)) ди ди, Пусть т, < ! < т, — простой граничный интервал. Будем говорить, что в интервале т~ < ! < 22 выполнено условие оптимальности на границе, если найдется такая ненулевая непрерывная вектор-функция Ч2(!) и такие вспомогательные функции Х, (!), ! и р, что; 1) в каждый. момент времени г, 21 < ! < т2, выполняется условие максимума Н(Ч2(!), х(!),Ь(!), н(!)) = шах Н(Ч2(!), х(!),Ь(!), и) - =О; »»ь 21 для л2обого ! н о в каждой точке диффеоенцируемости П вложение 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
