Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Оптимальное п авление п и о аничениях на коо динаты 663 теоремы П1.9, а (х (т),Ь (г)) -любая другая оптимальная траектория, то (х'(г),Ь'(г)) =(х*'(г),Ь**(г)) . Для задания достаточных условий в случае варианта ). необходимо к теореме П1.9 присоединить условие трансверсальности Ч„„,(г,)=О,У=~, . При этом теоремы П1.7 и П1.8 сохраняют свою силу. Доказательство теорем П1.9 и П1.10 аналогично доказательству теоремы П1.4, причем в силу частных особенностей объекта (П! .91), (П!.93) оно сильно упрошается.
Легко видеть, что на каждом простом граничном интервале вектор Чг(г) опреде- (П!.100) ляется условием оптимальности на границе с точностью до слагаемого Чзо(г) =О, Чз'(г) =О, Чгз(г) = ~)з 8гас$я,(Ь())). геп аг)ь, — э<0; (П1.98) Й 3) выполнено условие нетривиальности, т.е. решения системы (П1.96) вида Чзо(Г) мО, Чг (т) мО, Ч'(г)='"„н,8 б 8,(Ь(г)), /еп где )з — произвольные действительные числа, не допускаются. I Рассмотрим точку стыка т . Условие скачка в этой точке зададим уравнениями Чзо(т+0) = Чзо(т — 0), Чг'(т+0) = Чз'(т — 0), зрз(с+0) = зрз(т — 0)+ ~)г,бгаг)8 (Ь(т)), (П1.99) /еа здесь р — произвольные действительные чисЛа. ТеоРема П1.9. ПУсть ц(Г),)о <)<О, — кУсочно-непРеРывное, кУсочно-гладкое управление, переводящее фазовую точку (к,б) системы (П1.91), (П1.93) из заданно- го начального положения (х,б ) в начало координат, т.е.
в точку х = О, Ь = О. о о 1 Если соответствующая управлению и(г) траектория (х(г),б(г)) удовлетворяет на внутренних интервалак движения принципу максимума Понтрягина (теорема 2.!), на каждом простом граничном интервале — условию оптимальности на границе, а в точках стыка — условиям скачка, то на траектории (х(г),Ь(т)) функционал (П1.36) достигает абсолютного минимума. Теорема П1.9 задает достаточные условия. Однако эти условия являются, по- видимому, также и необходимыми.
Нетрудно видеть, что в случае скалярного 5 тео- рема П1.9 совпадает с теоремой П!.3. Теорема П1.10. Если (х (г),б (г)) — траекторид удовлетворяющая условиям ' если т — простая точка стыка, то соотношения типа дя„(т-О) =О, чгя„(тв о) = 0 следуют нз непрерывности функннн Н(чг(з),х(з),б(г),п(г)) в точке стыка, а услоане непрерывности, в свою очередь, вытекает нз возможноств варьирования момента т.
В силу особенностей системы (П)9!), (П)93) в сложной точке стыка, например, прн з,=г„=г =зв, моменты времени г,я„,г„пв варьируются незавнснмо друг от друга. Это позволяет записать последнне два условна (П) 99) 664 П уложения Это позволяет условие скачка в форме (П1.99) заменить условием скачка вида ус(т-0) = ц~ь(т+0), цз'(т-0) ='цю'(т+0), цг'(т+0) = цю~(т-0)+ ~!з,йгабд (б(т)), /че цап„~ ('г — 0) = О, / е у„„(т ь 0) = О, / н О. Условие скачка в форме (П!.101) часто оказывается более удобным при практическом применении, нежели условие (П1.99). Будем предполагать, что матрица А имеет действительные собственные числа. Тогда матрица А также имеет действительные собственные числа.
Теорема П1.11 (теорема о числе переключений). Если все собственные числа матрицы А — действительны, а траектория (х(!),Ь(!)) удовлетворяет условиям теоремы П1.7, то оптимальные по быстродействию управления и (!), У = 1, г, представляют собой кусочно-постоянные функции, принимающие значения А, О, — А, и каждое управление и (!) изменяет знак не более и раз, если рассматривается вариант Е, и не более (и — !) раз, если рассматривается вариант !., здесь п -порядок системы (П!.91).
Доказательство теоремы П!.11. Из условия максимума функции Н(ч1(!), х(!), б(!), н(!)) находим, что при движении в открытом ядре области В оптимальное управление и,(!) = А,з18п ц~„„(!), ! =1,г, (П!.102) а при движении по границе области В и (!) = О, ! н р, и,(!)=А,з(йп у„„(!), !'нр. Далее, в соответствии с (П1.97) Х,(!) = Цзлю(!)з18п б, и условие (П1.98) принимает вид а тгн.з ~з!8п 6<0, унр. (П1.103) а! При доказательстве теоремы будем использовать условие скачка в форме (П1.10!). В соответствии с (П1.101) и (П1.96) вектор цз'(!) непрерывен и задается вторым уравнением (П1.96).
Далее, как следует из (П1.101), (П1.95) и (П1.96), точка стыка т вносит изменение лишь во вспомогательные функции у„, (!) для всех ! ай и оставляет без изменения остальные компоненты вектора у(!). Итак, если рассматривать вспомогательную функцию у„„(!), то она определяется, кроме урав- нений (П1.92), только точками схода с границы 5 . Пусть у,,уз,...,у — попарно различные собственные числа матрицы -А . Прелт положим, далее, что собственное число уь имеет кратность й„, так что ~с, + йз + ... + й,„= п . Тогда на любом интервале, не содержащем точек стыка, Цз„„(!)=8,'(!) е"ч+8'(!) е"'+...+8~(!) е" +с, 1'=1,г, (П1.104) П пложение 1.
Оптимальное п авление и о аничениях на коо динаты 665 здесь я„'(г), и =1,т, — многочлены, причем степень многочлена л„',(г) (для любого у ) не превосходит А„— 1, с — некоторые константы. Равенство (П1. 104) соответст- вует случаю, когда собственные значения матрицы А отличны от нуля. Если среди собственных значений имеется число О, то вид равенства (П!.104) изменится, однако полностью сохраняются все приводимые ниже рассуждения. Так как лля любого У вектор ав(г)=(ц~с(г), чг (!), а(г (г)) =(О, О, р, ( дд(х(г),Ь(г))) где р — произвольная константа, является тривиальным решением системы (П!.96), то, как следует из (П!.101) и (П1.104), в интервале 16 < г < Ц~ уа, (е) = д э(г)еп + л„(г)е"' + ... + д~ (г)ега + с, + а д, (б(гг~)) дб, (П1.105) здесь (О прн г<!а1, 1(г-г,') = '(1 при г>гзэ, с — некоторая константа.
о / Обозначим у~„(г) функцию ~уа, (г), задаваемую равенством (П1.104), если в нем положить с, = с,. В соответствии с леммой 22.3 квазимногочлен у„, (г) имеет о о не более, чем (А! — 1) + (1кз — 1) + ... + (1г„, — 1) + лг = л корней, а квазимногочлен — у„„(г) не более (л — 1) корней. Таким образом, функция ы„„(г) имеет не более о о чем (л-!) точек экстремума и, следовательно, не более л участков монотонности.
График функции у~„(г) при п = 4 изображен на рис. П1.1. График функции у„„(г) позволяет задать функцию у„, (г) . При этом, как следует из (П1.105) и последнего равенства (П!.1О1), условие скачка в момент схода г,,' может быть учтено параллельным переносом оси абсцисс так, чтобы она проходила через точку у~„,(г ') .
Этот перенос, очевидно, следует выполнять в каждой точке схода с поверхности 5 . В соответствии с (П1.!02) знак управления л,(г)совпадает со знаком функции ~Р„, (г), если (б !'г)( < Я, . Далее, т.к. и (7зэ — О) = -и, (72 + О), то движение по границе 5, всегда приводит к смене знака управления. Если траектория движения системы (П!.91), (П1.93) такова, что (б,(г) ! < Л,, 16 < г < г,, то переключение управления и,(Г) осуществляется в нулях функции у„, (Г)жд„„(г), и, следовательно, управление и (г) может изменять знак не более и раз. Отметим, что функция у„, (г) имеет максимальное число нулей, равное л, если 6 каждый участок монотонности этой функции содержит один нуль, как это изображе- 42 эак.
666 П иложения 666 но на рис. П1.1. Далее, в соответствии с (П1.103) в интервале гзг < г < гег функция су„„(г) и, следовательно, функция зр„, (1) монотонна. Таким образом, число гра- о ничных участков функции 6 (1) не может превышать число участков монотонности функции ту~„,(г) .
Если некоторый участок монотонности функции зр„„(1) занят нулем 1, таким, что ~6,1'г )~< )т,, то, как следует из предпоследнего равенства (П1.101), он не может соответствовать граничному участку функции 6,(г). Рнс. П1.1. График фупкпии Чгя~ (1) о Таким образом, число изменений знака управления и,(1) не может превышать числа участков монотонности функции зр~, (г) . Отсюда следует доказательство теоремы для варианта Е. Попутно было доказано также, что функция 6 (г) не может иметь более чем и граничных участков. Для доказательства теоремы П1.11 в случае варианта 6 необходимо принять во внимание условие трансверсальности (П!.100). Это условие занимает нуль на последнем участке монотонности функции зр„, (1), т.е. на последнем участке монотонности функции гр„„(г) теперь невозможно изменение знака управления.
В этом случае, как легко видеть, функция 6,(1) может иметь не более (п — 1) граничных участков. Замечание. Теорема П1.11, естественно, остается справедливой и в том случае, когда конечная'точка х' либо (х',б') не совпадает с началом координат, но принадлежит открытому ядру области В.
При г = 1, т.е, в случае одного управляюшего воздействия, теорема П 1.11 позволяет весьма просто осушествлять синтез оптимального управления. Именно, сохраняет свою силу классический способ построения поверхности переключения, предложенный в (201 для задач без ограничений на фазовый, вектор. Пример П1.1. Рассмотрим систему к+ах+пах=кб, (П1 106) 6=в при ограничениях 5 < л, и я А Будем решать задачу о наибыстрейшем переводе фазовой точки системы (П1.106) в начало координат(случай б) Для данной системы поверхность переключения образуется исходяшнми (в обратном времени Х ) из начала координат фазовыми траекториями, на которых координата 6(х) имеет вид ломаной линии ОМФ либо ОМ'У' (рнс.
П! 2) Возможные положения линий МУ и Мвп показаны пунктиром С помошью этой поверхности задаетсв управление при движении фазоаой точки в открытом ядре области В П пложеиие 1. Оптимальное п авление п и ог аннчениях на коо дннаты 667 Рис П1.2. К аршмру П1.1 П1.4. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ И УСКОРЕНИЕ 1.
Ограничение на ускорение. Рассмотрим обьект третьего порядка у+ ау+ азу+ азу = и. [П1.1071 Пусть заданы ограничения !» !< А,!у! < О. и(!) = Аз!Вп Чзз(1) . Прн движении по границе области В !23«! Ь !22 «2 + 221«3 (П1 111! Движение на границе области В возможно лишь в полосе ! »3Х! +»2Х2 + и! Хз !. й А . (П!.1!З) В соответствии с условиями регулярности ограничимся рассмотрениями в открытой полосе (П1.110) ! азх!+азхз+а!Хз! < А.
Вспомогательная вектор-функция Чз(!) определяется в открытом ядре области В уравнениями ~Ч'О "% 4'2 43Ч 3 — =О,— = »зЧзз — = -Ч3! + »2Чзз — = -Чзз+ »!3Рз с(! с!! ' 42! с7! на границе области  — уравнениями 42' (П1.113) Будем, далее, предполагать, что характеристическое уравнение 3 +а!5 +»25+»3 =0 (П1.10ГП имеет только действительные корни. Представим уравнение (П1.107) в виде системы дифференциальных уравнений х! = хз, хз = хз, хз = и — »3«! — »2хз — »1х! . (П1.109) Область В допустимых значений фазового вектора а задается неравенствол! ! «3 ! — О ' Сначала будут рассмотрены только регулярные оптимальные траектории. Поэтому для синтеза оптимального по быстродействию управления воспользуемся тепрел!ой П1<х Выпишем функции Р,(х и) =(»-»зх! -»2«2 — и!Хз)5)йпхз И(Чзх,и) = Чзо+Чз!«2+Ч!2«3+Чзз(» — азх, -с!эхо — а хз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
