Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Пусть г,' и г,'„— две соседние точки, в которых происходит переключение множителя ) (!) . Из обобщенного условия общности положения вытекает, что в интервале Г,' <! < г,'„определен только один множитель Лагранжа, например )с (!) . Разобьем точками переключения множителя Цг) отрезок [г,! ) на сумму отрезков: и [! ,г ) = ~~) бя, с=! здесь Ф вЂ” конечное число, т.к.
н(Г) — кусочно-непрерывная, кусочно-гладкая вектор- функция. Если множитель )с соответствует отрезку гЬ, то будем обозначать его ) м. В силу непрерывности функции Н(Чг(!), х(!),н(!)) Н(!Р(г -0),х(! ),н(! -0)) = Н(!Р(! +0),х(! ),в(г +0)). (П!.52) Из (П1.52), условия скачка (П!.12), соотношений (П1.5) и равенства Р(х(! ),н(!*+0))=0 найдем ~> с(„!у,(! — 0)(и,(! -0) — и,(! +0))+...+ (П1.53) + ~ о!,„!у, (г' - 0)(и„(1' — 0) - и„(г' + 0)) = О. ~=! В соответствии с условием максимума (П!.24) каждое из слагаемых (П!.53) неотрицательно, т.е. равенство (П1.53) возможно, если каждое слагаемое равно нулю.
° Пусть в момент г определен множитель)с„(!). Тогда ~с(, !!!,(г' -0) = О. ~=! определен множитель )с„(! ), то аналогичным образом можно Если в момент г доказать, что ,') б,„ЧР,(!" ч-О) = О, ~=! Пусть и (г) и х (г), Гв < ! < г,, — соответственно управление и траектория, удовлетворяющие условиям теоремы П1.3, причем предполагается, что Ч/0(г) Фо го < ! < г! (П1.56) П иложение 1. Оптимальное веление и о аничениях на коо динаты 653 В соответствии с замечанием 3 ВП!.1) в этом случае условия скачка допускаются только в главной форме (П1.12), (П1.15), (П1.18). Будем говорить, что траектория х (г) доставляет слабый относительный минимум функционалу (П1.36), если ,У(х'(г)) <,У(х(г)) для любых траекторий х(г), принадлежащих «классу» варьируемых траекторий теоремы П!.3. Отличительными чертами этого «класса» траекторий являются: 1) траектория х(г) выходит на границу области В в близкие моменты г + 6(, причем выход на границу области В обязателен, если траектория х (г) имеет граничный участок; 2) винтервалах ! +Ьт <!<! +Ьг выполняется неравенство Фо )(х(г)) <О; (П!.57) 3) если ! — точка отражения порядка !7 Я<с)), то траектория х(т) удовлетворяет соотношениям 8(х(г" +Ьг")) = О, Фт(х(г +Ьг ))=О, у=!,е)-1.
Теорема П1.4. Пусть н (г) и х (г) — управление и траектория, переводящие фазовую точку х системы (П1.33) из заданного начального положения х в начало о координат. Если траектория х (г) слабо регулярна и удовлетворяет условиям теоре- мы П1.3 и равенству (П1.56), то на траектории х (г) функционал (П!.36) достигает слабого относительного минимума. Доказательство теоремы. Условимся простоты ради считать, что траектория х (г) имеет один участок, лежащий на границе области В . Положим для определен- ности, что при г <( <Г * траектория х (г) лежит на границе ~~) к,х, — И =О.
Введем обозначение у = ~~)~к х, . ~=! Для доказательства теоремы воспользуемся методом, изложенным в (16). Запишем равенство — ~~> !р,(х, -х,) = ) !р,(х, — х,)о~ (х, — х,) — ', (П!.58) г=о !=о =о где траектория х(г) близка к траектории х (() в указанном выше смысле. Равенство (П1.58) справедливо для любого О го < г < г!, за исключением, быть может, точек стыка. Координага яа(!) находится из уравнения Ых =! "е(ее)=О д! т.е. хр(!,) =у.
654 П уложения (П! .6! ) (П!.63) где 1 при ге <гьг и г <г<гп а= О при г <г<! !3= 6 6 О при ге<!<! и ! <!<го 1 при ! <г<! На отрезке Ьх дР(х,в ) !у 0(н -и)+~ ~Х(!)(х! -х,) ' = ), Ч ~Ы„!!!,(и„— и„)+ ~=! дх ! ~=! ~--! +, '!!!,~Хин(иа,-яа,)+Ч~~ 3!(1)(х, -х,) ,' дх Прибавим к правой части соотношения (П1.64) выражение " "(а 1дФч-'(,') Цг)~ ~ Ы,„(и„-и„) дх, и вычтем ею, чтобы не нарушить равенства. Тогда, принимая во внимание (П1.46), (П1.33) и (П!.35), найдем (П!.64) Принимая во внимание условие скачка (П1.12), можно записать ~~, д,( +О)-! ~, ~,( — О! ~ ~ +~~' ! ). (П~39) Поскольку ограничение (П1.35) имеет порядок 9, то дя(х) ." дФ'(х) ." дФ" ~(х) Из (П1.59), (П!.54), (3 .46) находим, что р" ' = Х (г ) = 3.(г ).
Далее, из (П1.55) следует равенство Л(г") =Х„(г")=О. г(!у Определим значение производной — при г = г через б -функцию. Именно, бу!(! дем считать, что вспомогательный вектор Чг(г) при движении в открытом ядре области В определяется уравнениями яс! о О " Ат!Р+ Р~ЧВ(х(г*))+~ Р"ЧФ"(х(г )) б(г-Г ). (П1.62) г(г а Подставляя в (П!.58) уравнения (П1.33), (П1.62), (П1.44), найдем Ы " ° т ° " дР(х,н) — ч~„цу,(х,'-х)=ац'П(п'- )+!3, '' )(г)(х,'-х,)+ ~~! ьа дх', . +!)ц '1)(н'- )+) (г')~у'! -'! -у' -'!] .8(г-г')+ П иложение 1.
Оптимальное авление и о аничениях на коо динаты 655 вртР(вв — о)+ ~)в(г)(х, — х,) дР(х, н*) дх, э э(аз) в( = , '~' Ы,„в1в,(и„— и„)+цг) — (Фэ '(х (г))-Фэ '(х(г))]— ~в э! " В'>дф -в(х') — Х(г)~ ~ Н,„(и„-и„). дх, Подставляя (П1.65) в (П1.63) и учитывая (П1.46), получим э — в1в,(х, — х,) = свв1э~Р(а -а)+~у вв. О-уВ» ~1) Цг)х ~=0 и э ИМ, хб(г-г )+13 в) 1(Ьз)„) ) в(,„цв,(и„— и,)+ вы 1) ~ (г)(у (э в) у(э в) )~ в)~ М в) уй в) ] й авг и э г~й,) дфв-в(, ') -Р~" 1(Л.)'="ы " ' эвм дх, (П!.65) (П1.66) Отметим, что в точке выхода г справедливы равенства у'(г') = Р, у 69(Г ) =О, и =!,и-1.
(П1.67) (П1.68) о(бг ) ы -эО бг Из условия слабой регулярности траектории х (г) следует, что Р(х*(г*), и*(г — 0)) т- О. Из (П1.69) вытекает тогда Представим траекторию х(г) в виде х(г) = х (г) + 8х(г) . В соответствии с (П1.5) у(г'+аг*) =у'(г'+бг')+бу(г'+бг') = Р, ув"1(г'+ьг*) = у'09(г'еь!')+ьув"1(г'+й*) =О, и =1,9-!. Из (П1.68), принимая во внимание (П!.67), найдем бу(г )+ о(й ) = О, буоо(г ) - (б! ) =О, и= 11,9-2, Р(х (В*)н (à — 0))бв +Ьу~~ '1(в )+о(й ) = О. Здесь символом о(бг ) обозначена величина, имеющая порядок малости выше пер- вого относительно й, т.е. 656 П иложеиия (П1.72) дФд г(х ) х Х р=!~=1 я=! г ! ч=! мя дх, х~~ 1(дх) > О.
(П1.75) б (г') = о)бх(!')~, (П1.70) бу("!(! )=о)бх(г )(, д= 1,9-2. Обозначим через т момент времени, в который траектория х(!) проходит через начало координат. Покажем, что т > г,. Предположим противное и назначим н(!) и 0 при т <! <д,. Тогда х(г) =х', т<! <0. Проинтегрируем равенство (П1. 66): л !1 !( ) — ~ г1!,(х, — х )Йг=) ссч! В(н — н)сй+) ~у 1д '! — у1д '1~1(г )х ф, ю=е !й ! и я КЬО хб(г-г )!(г+~!) — [Ц!)(у — у!д )1Ж+~!)~1(дх)(~ ~ Ы,„!1!,(и„-и„)- !д я=! г=! ч=! дФд !(х ) ХХ Х ы... , " ы.(,' — ,)ч. ~ч" дФд !(х) !й мт дх, д-г !(~ " и-х' "г( — )д+'ь д!-к В+К~'ь '"'ю-~"дп~ !'+д!' дй хб(д-г )!й.
(П1.7!) Учитывая фильтрующие свойства б -функции н (П!.70), можно записать д-г 1~. — ».К' '«- '«»~~- ч=! д-г =р бу(! )е р бу("!(! )=о~бх (г )). я=! Далее, если бг >О, то в интервале ! <!<1 дбг неравенство(П1.57) не выполня- ется. Имеем ! +а! В ( у ! д ! 1 д ! ! ) а Х 1 г б ! д ! 1 ( г ) д Х ( ! ) б г + о ( б г * ) !й !й Из (П1.69) следует тогда, что !+а!' !)(у -у ) — гй — о(бх(! )). (П1.73) !й В соответствии с условием максимума (П1.24) в каждой точке внутреннего интервала !р~(г)Р(н (!)-в(г))>0. (П!.74) Далее, из утверждения 1 вытекает, что на граничном интервале П уложение 1. Оптимальное авление и о аничениях на кос динаты 657 Из (П1.71), принимая во внимание соотношения (П1.61), (П1,32), (П!.72)— (П!.74), найдем, что Теорема П1.6 (теорема единственности).
Лусть х (г) — траектория, удовле- творяющая условики теоремы П1.5, а х *(г) — любая другая оптимальная траектория, соединяющая точку х с началом координат. Тогда х (Г) м х (Г) . Доказательство теорем П1.5 и П1.6 следует из равенства (П1.7!), Так как теперь у!" 0(х) = у(х), то условие (П1.76) можно получить, не предполагая траектории х (!) и х(г) близкими. Подробное доказательство теорем П1.5 и П!.6 приводится в [18). Рассмотрим объект, движение которого задается уравнением у!"! -а„,у!" '! —...-а,у'-ору = ки, здесь у — выходная координата, п — управляющий параметр, а„! = О,п — 1, к — не- которые константы, причем к > О. Представим уравнение (П1.77) в виде системы уравнений Х, = Х2, Х2 = Хз,...,Х„, = Х„ (П!.78) х„= ки — арх! -а!х2 —...; а„,х„, где х, =у.
Пусть на управляющий параметр в наложено ограничение !а!<А,. Предположим, далее, что фазовые координать! системы (П1,78) должны удовлетворять неравенству ~ х„! — б„зх„з — ... — с!!'х! ~ < М, (П!.79) здесь а3,, ! =1,п — 2, и М вЂ” некоторые числа. Ограничение (П1.79) имеет второй порядок, причем граница допустимой области В задается уравнением 8(х) =х„, +Ы„зх„з+...+41!х!-с=О, (П1.80) где с =+М .
Как следует из соотношений (П1.78), (П1.80), движение по границе области В описывается уравнениями Х! Х2 Х2 ХЗ""Хп-3 Хл-2 Хь 2 = С И!Х! -02Х2 — ... — Нь 2хи-2 ез з о=Ь, (П1.76) где Ь > О. Противоречие (П1.76) доказывает недопустимость предположения о том, что т<г!. Если г — точка отражения траектории х (г) порядка ц, д <ц, то из уравнения (П1.52), соотношений (П!.15), (П1.21), (П! .22) следует равенство р -'=О. Далее, при 2 <!, рассмотренным выше способом можно получить неравенство (П1.76). Теорема П1.4, таким образом, доказана.
Если ограничение (П! .35) имеет первый порядок, то удается получить существенно более сильный результат. Прн этом отпадает необходимость в дополнительном условии (П!.56). Теорема П1.5. Пусть х (г) — слабо регулярная траектория, переводящая фазовую точку х из заданного начального положения хе в начало координат и удовлетворяющая условиям теоремы П!.3; если ограничение (П!.35) имеет первый порядом то на траектории х (г) функционал (П !.36) достигает абсолютного минимума. 658 П иложения Траекторию движения х(г), г» < г < й, в задаче (П!.78), (П1.80), (П1.36) будем интерпретировать как некоторый «эстафетный» процесс [5). В этом «эстафетном» процессе движение в открытом ядре области В задается уравнениями (П!.78), движение по границе области  — уравнениями (П1.81). Переключение уравнений движения с (П1.78) на (П!.81) происходит в момент г выхода фазовой точки на (н - 2)-мерную гиперплоскость 8(х) = О, Ф'(х) = (х„+ «!,,х„, +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
