Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Кратко опишем соответствующий алгоритм. Для компонент вектор-функций Х (!) и Ю (!) справедливы соотношения х,(!)=х, (!)+Ьх,(!), г=1,п и ил(!)=ил(!)+Ьи„(!), /!=1,т. Таким образом, П (!) и Х (!) — оптимальное управление и оптимальная программная траектория, Х(!) = Х (!)+ЬХ(!),11(!) = 1/ (!)+Ю(!) — вектор-функции, характеризующие реальное движение, определяемое уравнением. Положим, что бх,(0) (! = 1,и) — случайные погрешности при реализации заданных начальных условий, для Которых имеет место неравенство ь '] бхз(0)<аз, (5.131) нл х, (!) + Ьх,(!) = /; (х! (!) + Ьх,(!),..., х„ (!) + Ьх„ (!), и, (!)<-Ьи!Я,...,и (!)+Ьи (!),!), !=1,п Поскольку х, (!) = /! (х! (!),...,х„(!), и! (!),..., и (!), !),! = 1, п, то следующие уравнения определяют возмущенное движение Ьх, Я =6/, (бх! (!),...,Ьх„(!), Ьи, (!),...,Ьи (!), !), !'=1,п, (5.132) (5.133) (5.134) где ЬТ,(бх!(!),,Ьх„(!),Ьи, (!),...,Ьи (!),!)=~,(х;(!)+Ьт!(1),...,х„"(!) Ьт„, и, (!)+Ьи!,...,и„(!)+Ьи,!) /, (х!,...,х„,и!,...,и,„,!).
Путем разложения функции Ь/,(!=1,п) в ряд Тейлора в окрестности точки х,,...,х„, и!,,..!и получим где е — известное число. При проведении всех последующих рассуждений полагается, что малость начальных отклонений, определенных неравенством (5.131), гарантирует малость отклонений Х(!) от Х (!) на интервалеуправления [О,Т), те. при всех ! и'(О,Т~]. Запишем уравнения, описывающие отклонения реального движения от программного; имеем Глава 5.
Методы математического п о амму ования 633 ЬХ(г)=рх~ ЬХ+Рп ~ б(1+0(бх), (5.135) где аХ а~ аХ дх, дхз дх„ хх~ = (5.136) (5.137) д(„аУ„~' ди, диз ~ ди,„ а т бх, =с а Ьх +~~ Ь,~бит,(=1,п. 9.9.3. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ С помошью приведенных выше рассуждений исходная нелинейная задача (5.126) н (5.127) свелась к линейной задаче (5.135) и (5.138). Положим, что функционал, характеризующий степень близости траекторий х(г) и х (г) на промежутке [0,71, является квадратичным В приведенных выше формулах символ ~ означает, что частные производные находятся в точке х, = х,,! = 1, и, иь = ит, lг = 1, т; О, (бх,,..., Ьх„, б и,,..., Ьи, г), 1 =1, и — зависимость, характеризующая члены второго порядка малости.
Уравнение (5.135) можно переписать так — (ЬХ(г)) =-Р~ ЬХ+ — 1 ЬП, ЬХ(0) = ЬХ'. (5.138) Как уже отмечалось, зто уравнение описывает движение объекта для начальных условий, удовлетворяющих неравенству ~ЬХ(0)~ < е. Очевидно, качество управления изменится; степень изменения, обусловленного возмушеннями, можно рассчитать по формуле (5.138). Систему дифференциальных уравнений (5.!35), описываюшую отклонение фактического движения объекта Х(г) от оптимальной программы Х (г), можно записать в виде 634 Методытео ииоптимального п авления. Часть1П (5.139) а на управление ограничения не налагаются.
Поскольку система (5.138) является линейной, а задача минимизации функциона- ла (5.139) является линейно-квадратичной задачей относительно неизвестных ЬХ(г) и 811(г), то ее решение имеет вид ЬЩг) = -К(г)ЬХ(г) = -К(дХо)ЬХ(!). (5.140) Последняя формула отражает факт управления по принципу обратной связи по отклонениям от программы Ьх,(г) = х,(г)-х, (г),1 = 1,п . Таким образом, по формуле (5.140) можно Рассчитать стабилизиРУюшие УпРавлениЯ Ьи!(г),Ьиз(Г),...,би (г), минимизирующие критерий (5.139) и уменьшающие «расстояние» в смысле критерия (5.139) между Х (г) и Х(г). Если найдены компоненты стабилизирующего управления Ьи, (г),биз (г), ...,Ьи (г), то компоненты результирующей вектор-функции управления определяют- ся зависимостями ил (г) = ил (г)+ бил (г), lг = 1, т .
В практических задачах компоненты ил(г) обеспечивают основное движение системы, а компоненты Ьил(г) «парнруют» малые отклонения от программного движения, обеспечивая если Т вЂ” ь оо, устойчивость и требуемую точность реализации программного движения. Поэтому обычно выполнено неравенство [1[ [ил (г )[ > [Ьил (г )[, !! = 1, т. Если на стабилизирующее управление накладывается ограничение вида з )'Ьилз (г) а) < Г,'„, Я = 1, о то критерием, определяющим качество стабилизации, может служить функционал [1[ гГл н ~-![~~и,'+~чь!)л.
о ы лм (5.14! ) Поскольку введены критерии, характеризующие степень близости Х (г) и Х(г), то функции Ьи„( ) = „~бх, ( ), Ьх, ( ),..., Ьх„Я~, К = 1, (5.142) при которых на движениях системы (5.138), возбужденных произвольнылги начальными отклонениями из множества (5.131), показатель качества принимает наименыиее значение, называются компонентами ' оптимального стабилизируюгцего управления (при Т -+ сс оптимальное стабилизирующее управление при принятых условиях обеспечивает асимптотическую устойчивость системы). В результате проведенных рассуждений найдены компоненты (5.142) управления с обратной связью, при котором при начальных условиях, удовлетворяющих неравенству (5.!31), квадратичный критерий качества (5.141) принимает минимальное значение [1[.
Важным является тот факт, что оптимальная программа Х (г) рассчил Глава 5. Методы математического п о амм ования б35 имеет вид Х = Е(Х,13,11,!) . Из последнего уравнения можно получить я П~ У ьт; =ч ~аг(!)ьт +ч ~ьаь(!)ьи +ч ~у~„(!)ьп„, 1=1,п, (5.! 43) (5.144) гм где у,„(!) = —, ! = 1, и; с =1,ж дл„ Можно указать следующие случаи, определяемые объемом информации о Ьл„: ° имеется полная информация о вектор-функции !1(!), например, компоненты л! (!) могут быть точно измерены в процессе движения объекта; ° известны статистические характеристики процессов Ьп„(!), ч = 1, з; ° известно, что ~бн„(!)~<бн„ч =1,я, т.е.
функции Ьп„(!) ограничены нзвест- ными числами. В зависимости от указанных трех факторов используется следующая классификация оптимальных систем [1): ° равномерно-оптимальные; ° статистически-оптимальные; ° минимаксно-оптимальные. В первом случае мерой эффективности стабилизирующего управления используется интеграл вида г[ „ ~-1[~д„а +~,„й 1й, зм (5.145) а во втором случае — интеграл тывается с учетом знания вектора Х =(х,(0),хз(0),...,х„(0)) и, таким образом, о т матрица К(!) в формуле (5.140) также не зависит от Х .
Расчет же стабилизирующего управления не требует измерения реальных начальных условий, необходимо лишь выполнение условия (5.131) (малость начальных отклонений). Приведем алгоритм реализации рассмотренного выше подхода [1): ° вычисляется и запоминается набор оптимальных программ () (!), Х (!) лля достаточно грубой сетки начальных условий Х; ° вычисляются и запоминаются матричные коэффициенты К(г,Х ) усиления ах регуляторов, обеспечивающих оптимальную коррекцию для каждого начального условия; ° определив наиболее близкое к фактическому начальное условие из числа запомненных и используя соответствующую матрицу К(!,Х ), формируется текущее управляющее воздействие.
Структурная схема оптимальной системы, работающей по принципу обратной связи, представлена на рис. 5.29. т При наличии внешних возмущений (ь)(!) = (л, (!),...,л, (!)) уравнение (5.126) Методы тес ии оптимального п авления. Часть 111 636 (5.! 46) [г(»»~ з-м([(дриь,' Ть,ьг]»]; а=! стабилизирующие управления находятся из условия минимума функционалов (5.145) и (5.146) на решениях системы (5.144). В третьем случае, когда информация о [ь[(!) отсутствует, находит применение игровой подход к определению оптимального управления, обеспечивающий наилучший результат при наихудшем внешнем воздействии.
Соответствующие системы получили название минимаксно-оптимадьных [1). В заключение остановимся на некоторых обстоятельствах, которые необходимо учитывать при решении задачи синтеза оптимальной нелинейной системы с помощью рассмотренного здесь алгоритма, в основу которого положены следующие кдючевые моменты; гипотеза о разных скоростях изменения переменных состояния. Црюьер 5.[2 [491 На практике часто встречается задача управления температурой в химическом реакторе с непрерыв- ным перемешиванием Управляющим воздействием является скорость подвода охлшкдаюшей среды За- пишем дибхРеренниаяьное уравнение объекта РС„Р(ЫТ lау) = РС Р(ТТ -Т) +(-ЬН) У»ее Я'"т -й', т(0) = т,. если воспользоватьса безРазмеРными пеРеменными »=туту, з=!» IУ, а=(-ьн)[ьк!Рс»тук, т= Е!ЯТТ, » =Ц !рС»»ТТ, хс =Т,угу, х» =Т»угу,то исходное уравнение принимает вид Вхый = ! — к+ос "'" — и, х(0) = ха.
(5.!48) а известна оптимальная программа Х (!); в задача сводится к синтезу оптимальной линейной системы по интегральному квадратичному критерию с помощью яинеаризации в окрестности программной траектории Х (!) . Одно из обстоятельств состоит в том, что авгоритм предполагает гладкость характеристик нелинейных элементов. Другое обстоятельство — отсутствие ограничений на 1[ (з,Х(!)) и Х(!), те. на управление и фазовыв переменные ограничения пг ликтадьзваютсл. При теоретическом обосновании рассмотренною подхода ддя решения конкретных задач важным является обоснование факта мсоости отклонения Х(!) ат Х (!) для всех ! и [О,Т], если имеет место малость начальных отклонений. Рассмотренная схема имеет весьма широкое распространение; ее же теоретическое обоснование требует проведения саатввтствуюи[их исследований.
В заключение отметим, что ддя измерения переменных состояния необходимо использовать наблюдающие устройства. В общем случае свойство наблюдаемости нелинейных объектов установить весьма сложно. Поэтому на практике используют динеаризованные уравнения: яинеаризуют уравнения объекта в окрестности Х (!), а затем уже применяют стандартные критерии набдюдаемости дяя линейных нестационарных систем. В заключение отметим, что в [44) рассмотрены задачи синтеза приближенно оптимальных (субоптимаяьных) обратных связей при сведующих гипотезах: а гипотеза слабой управляемости объекта, » гипотеза слабой нелинейности, Глава 5.
Методы математического и о амми оааиид б37 Минимизируемый критерий определяеюя формулой г .) =-)((к-х„) +сиз)оу 2 Предположим, что известны оптимальная программа Х (!) и оптиыальное программное управление 13 (г) Линеаризованиые динамика и критерий задмотся матрицами А=(дг!дх)( = — !+ ау/х з е"*,В=(д//ди)! =-1, ч.(л~ ы! - г(! ' *")-(ьч *'))."', й=(д Н)ди~)') =а, Р) =О, где Н (Х,!),2,1) =-(Х~)2Х+!)~й!))+2т(АХ ьи))) 2 — гамильтониан. Уравнение Ри ккати для Р(г) имеет вид Р= 2Р 1+ лт е-г~ 1+).' лт ~~ е-МУ Р(Т)=0, илисучеюмтого,что я'=ои 15 150) (х ) (х ) (к ) Р(Т) =О, К(г) = -Р(г))а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
