Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 116
Текст из файла (страница 116)
критерии 5.3, 5.4) используется матрица перехода системы, которая, как правило, неизвестна. Для многих ЛНС на основе этих критериев могут быть выведены алгебраические (использующие непосредственно матрицы уравнений состояния и выхода системы) критерии управляемости [39]; правда, получаются они чаще уже в виде лишь достаточных критериев. Сформулируем в качестве примера достаточные алгебраические критерии полной управляемости на ( доказательство см.
в [39]). Критерий 5.5. Пусть в системе А(г), В(з) — матрицы, дифференцируемые соответственно (л — !), (л -2) ри почти везде на интервале [ге г„] . Для полной управляемости по состоянию на интервале такой системы достаточно, чтобы (их юл) блочная матрица управляемости Уьп (г) = [В(!) га (В(г)) ь. ЗА" ' (В(г)) ] (5.87) имела ранги почти везде на некотором конечном подынтервале [гог ] интервала [гегх] Здесь д- опе- ратор 618 Методы тео ии оптимального авления. Часть П1 Поскольку скалврный вход воздействует на каждую координату вектора сосгояния независимо (так как матрица системы А — дивгонвльнаа), то интуитивно можно предположить абсолютную управляемость системы по состоянию (этот фа«т и имеет место в случае стационарных систем с диагональной матрицей А), однако в данном случае ннзуиция приводит к неверным результатам.
Дейсгвительно, матрица управляемости (см. формулу (5.87)) имеет ранг 1 и (л = 2), т.е. данная ЛИС с диагональной матрицей ие окюаяась абсолютно управляемой Зтот противоречащий ннзуиции результат можно разъяснить следующим образом. Уравнению (5.90) соответствуют два апериодических звена с переменным коэффициентом передачи, работающие от общего входа (рис.5.22). ИПФ апериодического атационмзного звена х(7,7)=е '"' ')![7-7! можно представить в виде Л(7,7)=Е м)[7-т)Е'", что соответствует структурной схеме рис. 5,23, в связи с чем исхолная система эквивалентна системе рис. 5.24. Рне.
5.22. Структурная схема системы (5.90) Рис. 5.23. Структурный элемент схемы Рис. 5.24. Структурнав схема системы Ощюда явно слелует, что х (7) и .77(г) при любом и(7) независимо юмеияться немогут,т к. х,(г)=7,(7)е ', кз(г) =з,яе ь' и, поскольку 7, (7) = г,(г) хз (г) = х~ (г)е Зто соотношение на плоскости «,Окз определяет линию, которую изображающая точка не может покинуть при любом и(г), слеловательно, сисюма (5.90) не может быть переведена управляющим сигналом из заданного состояния в любое требуемое, если оно не принадлежит указанной линии, Для класса стационарных систем имеются более простые критерии, используюшие лишь исходную информацию о системе, даваемую матрицами А и В . Критерий формулируется так [39]: для управляемости стационарной системы и -го порядка Глава 5.
Методы математического о амми ования 619 Х(1) = АХ+В() (5.91) необходимо и достаточно, чтобы ранг (и х иги) матрицы управляемости Я, =(В(АВ!...~А" ~В) был равен и, т.е. гапйЗг = и. В самом деле, для стационарной системы справедлива формула ! Х(Г)=ед! Х +) е ( ~)В()(т)Ыт. (5.93) о Пользуясь теоремой Гамильтона — Кэли, ед! можно выразить в виде конечного ряда (5.92) е"' =С91+С!Аг+Сз(А1) +...+С„г(А!) Подставив (5.94) в (5.93), запишем Х(г)=ед' Х +Я~СоВ+С!(г-т)АВ+Сз(1-т) А В+ о +... + С„, (г — т)" ~ А" 'В~ Щ т) дгт. Последнюю зависимость можно представить так: (5.94) (5.95) Со()(т) С,(! — т)1)(г) ! Х(г) = еА Хо+)(В(АВДА" гВ1 о С„г(г-т)" 'Щт) Пример 5.9.
Имеем объект 1391 Тогда А=( ); В=( ), АВ=( ). Как выше уже указывалось, содержание понятия управляемости означает, что вектор управления 1) (т) соответствующим образом воздействует на все компоненты вектора состояния Х(г) . А это будет иметь место тогда и только тогда, когда подынтегральное выражение в (5.95) обеспечивает такое влияние, т.е. когда ранг матрицы В~АВДА" 'В1 равен и.
Условие управляемости не по состоянию, а по выходу можно получить, если обе части уравнения (5.95) умножить на матрицу С: Ха(г)м СХ(г)=Сед'Х +ДСоСВ+С!(г- г)САВ+...+ о (5.9б) +С„!(г-т)" 'СА" 'В)1)(т)огт. С учетом таких же соображений, которые были приведены выше, можно показать следующее: выход Хе(!) будет полностью управляемым тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости по выходу Яа =~СВ(САВ~...)СА" В~ равен р. 620 Методы тео ии оптимального авления.
Часть 111 Найдем ранг матрицы $, =()чАВ]=~ Отсюда делаем вывод: гапхв, = 2 . Обьект полностью управляем. Пример 5ЛО. (:,']=(' ](:,'Н' 'Ю Найдем произведение АВ. (1 2/'(О 2) ( — 1 5) Тогда йг ='(В)АВ]=~ ], . т е. шах в, = 2 . Объект полностью управляем. Пример 5.11 (49!. Рассмотрим нелинейный объект. поведение которого описывается дифференциальными уравнениями вида Вх,/В/=-х, -0ах2 ьц, (5.97) ггхг/г//=0а!хг-хг — 0аг(хг) ьгь. (5 98) Проведем линеарнзацию этих уравнений в окрестности установившегося состояния хн,.т,„, задаваемогоурависниямн ин =1, иг, =О. Обозначим х, =д -х„й, =и, -и,„(г= 1,2).
Разложим уравнения(597), (5З8) в ряд Тейлора, пренебрегая членами выше первого порядка. Результат с учетом введенных обозначений запишется в форме: гаг! /г/г = -(1+ 20а хн)х, +й!, ггхг /аз = (20агч,) х, -(1+ 1/2(0аг/ге*) 1хг+из (5.99) (5.100) где х,„х„- решения уравнений, опрсделяюших установившееся состояние О=-хг, — 0агх!", ' 1, нг 0= 0а,хг — хг, — 0а,(хг,) (5.101) Или в векторно-матричной форме Х= АХ+ Вц, где -(1+20а,хн) 0 1 (.! 0аг 20агхгг - 1 ' —— 2 ( )г/г (5.102) Кратко остановимся на свойствах управляемости, стабилизируемости и нормализуемости нелинейных объектов.
Напомним, что свойство стабилизируемости линейных объектов заключается в том, что с помощью регулятора в цепи обратной связи все неустойчивые моды могут быть сделаны устойчивыми. Очевидно, устойчивый объект стабилизируется тривиальным образом, а всякий управляемый объект стабиг лизируем. Нормапизуемость же представляет собой наиболее сильную форму управляемости (каждая компонента векторфункции 1) = (и! (!),иг (/),, и (/)) в отдельности обеспечивает управляемость объекта). Для линейных объектов получены критерии управляемости, стабилизируемости и нормализуемости. Строгие зюе условг/я управляемости, стабилизируемости и т.д.
найдены лиигь для некоторых классов нелинейных объектов. Линеаризация нелинейных уравнений объекта во многих случаях позволяет установить наличие илн отсутствие указанных выше свойств (49). Глава 5. Методы математического 621 амм ования в=[ (5 !03) Критерий управлаемости состоит в том, что ранг матрицы управляемости должен быть равен 2. Имеем О 1 О! — (1+20а,хп) 0лз О 1! 20д х — 1ь— з )згг Гч =[В АВ]= Очевидно, шлй 1., = 2, из чего следует, что нелинейный обьект будет управляемым в любом устано- вившемся состоянии. Нелинейный же объект, описываемый системой дифференциальных уравнений ах! г — =-х,-0а,х, еА, ау ахг г згг — = 0а,х, — хг — 0аз(хг) +ко аг не является уцрввляемым, поскольку ранг матрицы управляемости О 1; =[В:АВ]= .
1 0 О '. 2 (х,) равен единице. 5.Т. НАБЛЮДАЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ При синтезе систем, работающих по принципу обратной связи, в каждый момент времени 1 необходИмо знать вектор состояния Х(1) . Некоторые из компонент вектора Х(1) могут быть получены с помощью различного рода датчиков, измерительных устройств. В общем же случае можно наблюдать лишь вектор-функцию Х,(1)— выход системы. Две вектор-функции Х(1) и Х,(1) связаны между собой с помощью матрицы С: Х(1) = А(1)Х(1); (5.!05) Х,(1) = С(1)Х(1) (5.! 06) пара матриц А(1) и С(1) называется наблюдаемоА если можно решить задачу о наблюдаемости для системы (5.105) по известному на некотором промежутке вектору вьсхода Х,(1) (5.106). Х„(1) = СХ(1) .
(5.! 04) Размерность Х(1), как правило, выше размерности Х,(1) . В связи со сказанным выше в теории управления ставится задача: построить алгоритм расчета вектора Х(1), если на некотором промежутке известен вектор Х,(1) и математическая модель системы. Задача нахождения вектора Х(1) состояния системы или отдельных компонент указанного вектора по известным на некотором промежутке [го,!г] вектор- функцияМ Х,(1) и ь)(1), а такжематематическоймодели системы носит название задачи наблюдаемости линейной системы. Если задача наблюдаемоспш для линейной системы имеет решение, то система называется полностью или частично наблюдаемой в зависимости от того, все или часть компонент вектора Х(1) удается определить.
Для линейной системы 622 Методы тео ии оптимального и авления. Часть 1П Для класса стационарных линейных систем построены конструктивные критерии, позволяющие установить факт наблюдаемости системы. Если нет специальных оговорок, то речь идет о так называемых свободных системах, т.е. о наблюдаемости свободных колебаний, предполагая, что входное воздействие Щ) =- 0 . Справедлив следующий критерий: для линейных систем вида Х(г) = АХ(г); Х,(г) = СХ(г); Х(0) = Х с постоянными матрицами А и С для полной наблюдаемости необходимо и достаточно, чтобы ранг (ихпр)-матрицы наблюдаемостн Ее был равен и: ь-[с же 1А)с[.(ж) ь Покажем справедливость приведенного критерия 1491.
Имеем для свободных колебаний вектора состояния Х(г) =ем Х =(Се!+С11А+...+С„,г" 'А" ')Х . Выходной сигнал определяется формулой Хь(г) =СХ(г) =(СоС+С|гСА+,.+С„,г" 'СА" ')Х . (5.107) Система наблюдаема, если все координаты вектора состояния в момент г = О, т.е. Х, можно определить по информации о выходе Х,(г) на конечном интервале о времени. Если найден вектор Х , то известна и вся исходящая из него траектория. о Другими словами, если получена зависимость, определяющая Х (начальное состояо ние), то по атой информации можно построить вектор состояния Х(г)-ем Хо Для решения задачи необходимо разрешить уравнение (5.107) относительно Хе (зта процедура носит название псевдоинверсии). , тт Умножая обе части (5.107) на ехр(А ) и интегрируя от 0 до Т, находим )" г „, т Х = ЯСеС+СгСА+...+С„,гь 'СА" ') х о ~-1 х(СоС+С1гСА+„,+С„1гь 'СА" ')й1 х г „, т хЯСеС+С~гСА+ -+С ыг 1СА 1) Хь(г)й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
