Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 114
Текст из файла (страница 114)
По условиям задачи система элементов в Ул [О,Т) Ь, (г), ..., Ь„(г) обладает свойством линейной независимости. Отсюда вытекает линейная независимость функций У;(г), Уз(г),...,У„'(г) . В пространстве ьз [О, Т) задача нахождения Ь~', Ьг,...,Ь„' затруднений не вызывает и ее решение очевидно. В пространстве же У! [О, Т), когда функционал,У, подлежащий минимизации, имеет вид т У = ~(У(г) — ЬзУз(г)-ЬзУз( )-,.-Ьу„(г))са, о решение задачи неоднозначно. Чтобы обеспечить однозначность аппроксимации в метрике пространства Е![О,Т], необходимо наложить дополнительные ограничения на функции (т3(г)) и (У;(г)) [ЗЦ. Положим, что система (У;(г)) образует систему Чебышева, т.е. является линейно независимой и количество нулей функции ) Ь„У„(г) на промежутке [О,Т) =з не превышает и. Тогда, используя известные из теории аппроксимации факты, можно заключить, что решение задачи аппроксимации в Ь [О, Т) однозначно.
Достаточно полно изучен вопрос о том, какие системы функций образуют систему Чебышева [26, 3 Ц. 5.5.2. АЛГОРИТМ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОГРАММНЫХ УПРАВЛЕНИЙ МЕТОДОМ МОМЕНТОВ ДЛЯ КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ Поставленная задача формулируется так: для линейного обьвктпа, описываемого дифференциальным уравнением вида* е и а„(г)х~ю =," Ь„(г)и~~~, =о с=о залечи оптимального упрлеленил обьекими с распределенными перьметремн подробно рпссмотрены в [ч1 Методы тес ии оптимального авления. Часть!11 606 т ()к((, = Яи(т)) Й -ь ппп. о (5.50) Эта задача может быть решена с помощью метода моментов, основные положения которого изложены в предыдущем параграфе. Запишем векторно-матричный интеграл Коши для уравнения САУ (пока будем полагать, что 11(т) — вектор-функция): Х = А(т)Х+ В(т)%1.
(5.51) Он имеет вид т Х(г) = ) Хе(г)Хеф(т)В(т)Щт)~й+ Хе(т)Хе~(0)Х, (5.52) о где Х вЂ” начальное состояние. о Обозначая Хе(г)Хе'(т) = Ф(йт), перепишем (5.52) т Х(т) = ) Ф(От)В(т)()(т)с(т+ Ф(1,0)Х, о Поскольку Х '(т) = Ч'(т), (5.53) где Ч'(т) — фундаментальная система сопряженной системы, то (5.52) можно переписать в виде т Х(т) = Хе(Г)Х + ) Хе(т)Ч(т)В(т)()(т)отт. о Умножая обе части последнего равенства иа Ч'(г), получим т Ч'(г)Х(г) = Ч'(т)Хе(т)Х + Ч'(г)Хе(г)) 'Р(т)В(т)Щт)с(т . о Учитывая (5.53), запишем т 'Р(т)Х(г) = Х +) Ч'(т)В(т)Щт)пт. о (5.54) Или, что то же самое, ) Ч'(т)В(т)Щт)с(т = Ч'(т)Х(г) — Х . о Полагая верхний предел в (5.54) т = Т, находим т ) Н(т)Щт)Ыт = Л, о (5.55) ,построить программное управление и'(г), переводящее объект из начального состояния Х =(х(0),х'(0),...,х )(0)) в конечное Х =~х(Т),х'(Т),...,х~ )(Т)) за пРомежУток [го = О,О = Т~), пРичем ноРма УпРавлениЯ и(Г) в пРостРанстве Ео(О,Т) должна иметь минимум, т.е.
Глава б. Методы математического п о амм овация 607 где Н(т) = »Р(т)В(т); Л = »Р(Т)Х(Т) — Х . Равенство (5.55) выражает необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять функция 1)(!), чтобы система (5.51) перешла из заданного начального состояния Х в заданное конечное состояние Хз . Если же предыдущие рассуждения отнести к скалярному обьекту (5.49), то соотношение (5.55) в скалярной форме запишется так г ) Ь! (т)и(т)с(т = 1!,; о т ) Ф~(т)и(т)с1т = ).з, о (5.56) т )! Ь»(т)и(т)с(т = й». о Теперь, пользуясь вышеизложенными результатами, легко записать зависимость, определяющую оптимальное управление: и (<) = "=! !1Н,(!)!1Я 818п Н,(г), ))Н,(г)))'с»1о,г) (5.57) где Н,(г) = ~Кй,(!). »м Управление (5.57) имеет минимальную норму в пространстве ЯО, Т»): (5.58) !И!„(„) =~1! ()Гд~ о т „р' пцп )' ) А„/~(!)~ дг о (5.59) при ограничении 1г!з!+~)!г «- «1г»7» =1.
(5.60) Эта задача может быть решена только на ЭВМ; результатом ее решения являются числовые значения к,",яз,...,»„. Важно обратить внимание на факт, который здесь используется: норма функиионаяа 1 в терминах теории управ»ения является одновременно нормой входного воздействия в пространстве Те[О,Т), т.к, воздействие совпадает с производяигей функцией функиионаяа. Норма функционала 1 в рассматриваемом подходе является функционалом качества работы системы управления. В формулу, определяющую оптимальное программное управление и (г), входят коэффициенты к!,кз,...,к„. Они находятся путем решения следующей задачи нелинейного программирования: 608 Методы тес ии оптимального авления.
Часть 1П Следуя 19, 25), можно указать последовательность решения задачи оптимизации: 1) описать обьект линейным уравнением (5.49); задать все входящие в уравнение параметры; перейти к нормальной форме Коши; 2) задать время процесса !е = О; /! = 7'; 3) задать начальное Х и конечное Х состояния; 4) задать минимизируемый функционал в виде нормы управления в пространстве /.'[О,т); 5) сформулировать задачу оптимального управления; 6) построить фундаментальную систему сопряженной системы и рассчитать Н(т); 7) построить моментные функции /ь(/) и рассчитать вектор моментов Л = р!,),,...,Х„)т; 8) записать задачу в виде эквивалентной проблемы моментов; 9) решить задачу нелинейного программирования (5.57) и, таким образом, найти числа /с!,/сз,...,й„; 1О) после расчета чисел й!,/гз,...,/г„, полученных в результате решения задачи по пункту 9, записать окончательный ответ в виде формулы для искомого оптимального управления (см, формулу (5.57)) и его минимальной нормы Рассмотрим случай, когда р=!/=2.
Функционал качества в рассматриваемом случае имеет вил Реализуя последовательность решения задачи, получаем формулу для оптимального программного управления в виде т.к Для нахождения оптимальных значений !с!',/!з,...,/г„' необходимо решить задачу шш Я/с„/!„(/)) !// "о при условии Глава 5. Методы математического о амм ванна 609 т щ!п,l = щ(пф(!)-/с!Я!)-...-)1„,!" (!)~ Й. е„ "о Оптимальные значения )с(",лз,...,л„' находятся обычным путем: берутся от.l частные производные по !с), (сз,...,)с„и приравниваются нулю. Имеем — =~~1,Я-М,~,Я-...-йЯ.Я~Я,Яйы0; 1 сх! о — = Я.6(!)-йз 6(!)-- -йл1лЯ13ъЯс(! = 0' 1 Й! 2ояз о (5.62) Рнс.
а.з!. Структурнан схема алгорнтма: ! — сходные данные; ! - расчет маментое Киле„, "л„; 3 — расчет маыентныл функций )((!), Ьг (!), ..., й„(г); 4- Раеилт Каьффичисллит ао и фОРМиРОЕаыил СиетЕМЫ аЛгсдРаиЧЕСКих УРа лагкий; 5 — ртиение системы алгедраиче сник ураененнй и нахождение й;, йл, ..., (с„', й — настроение онтимального нрограммного унралленил и (!) Обозначая а, = /~(!) !'; (!)с((, из (5.62) запишем о Последняя задача является классической задачей аппроксимации, а еще более конкретно — задачей о наилучшем приближении в среднеквадратичном.
Учитывая рассуждения, приведенные выше, задачу (5.61) перепишем в виде (см. формулу (5.48)): 610 Методы тео ии оптимального авления. Часть 111 а22 ссз + ам стз + ... + а2 „1„= юъ 2, 32)Ю2 + 33 Сз +'"+ Пзо'Гз СЧЗ (5.63) п„з)юз + о„злз +...+ и„„/ю„= цю„. поскольку у!(ю),тз(ю),..., т„'(ю) линейно независимы, матрица системы (5.63) не вы- рождена и, таким образом, система (5.63) имеет единственное решение. Структурная схема алгоритма расчета и'(с) представлена на рис. 5.21. Заметим, что если критерием качества является энергия управления, оптимальное программное управление и (ю) е С/О, Т~/, т.е. является непрерывной функцией.
Пример бл [9, 54]. Пусть объект описывается уравнениями х! =хзю хз =и, где х,(с),х,(с) — фазовые координаты объекш; н(с) — скалярное управление. Найдем управление я (с), имеющее минимальную норму в (;[ОТ] (минимальную энергию) и осуществляющее перевод объекта из нулевого начального состояния в конечное состояние с координатами Х = (Т, 1) .
Сведем задачу оптнмизацни к проблеме моментов. Имеем кз(с) = /к(т)юст+ хз(0), о 1 ![т *()«1*,«! *!с-1[!«юю~!.*,(юю]о ° *,(!. а о о ! ! = /(с — т)с(т)ю(т+ «з(0)ю+ кДО) = /ти(т)юст ею/и(т)юют+ х (0)с +х (О) о о о Отсюда находим ! ! / к(т)юют = хз (с) — хз(0); — /тп(т) юют = х (с)- с/ и(ХУ(т — хз(О)с + п(0) о о о При с=Т получим т т /Си(ю)ю(С=Т; /и(ю)!(С=1. о о Последние два равенства представляют формулировку зшшчи оптимизации в терминах проблемы моментов, пРичем )4(с) = с; ~(с) = 1; л! = т; лз =! . Рассчитаем оптимальные значениЯ коэффициентов ю)!', А; . Имеем приусловии йт+а, =!.
Полиуясь описанной выше методикой, получаем: 3 . 1 юю = —; л'= —. ! 2Т' 3 2' Найдем норму функционала 1 2 Теперь можно записать формулу, определяющую оптимальное управление и'(с) =+с — Ч= — ( — с — 1). В [9] для рассмотренного объекта поставлена и решена задача перевода объекта из нулевого начального состояния в точку. катооая в Фазовом пространстве системы движется по закону Глава 5. Методы математического 611 мми ования я,=г; яз — — ! за минимальное время при ограничении назначение энергии управления /г )Уз (!и~=~)из(г)йг) яб. о Оптимальное управление по быстродействию имеет вид [9) ° 3 ) з и (г)=-Егг--Е . 8 2 Следуя !25], сделаем одно существенное замечание.
Метод моментов, помимо решения задачи о нахождении программного оптимального управления, т.е. управления и = и (г) как функции от независимой переменной /, позволяет решить задачу синтеза системы оптимального управления, работающей по принципу ОС, т.е. опрев деление управления и (хг(г),хз(г),...,х„(г)) как функции от фазовых координат. При решении этой задачи используется принцип «размораживания» начальных условий, т.е. каждый текущий момент времени г принимается за начальный и тем самым, принимая х(г) за начальное состояние, соответствующее этому моменту времени, можно получить значение и' искомого оптимального управления как функцию координат х,(г),...,х„(/) управляемого объекта и' = и'(хыхз,...,х„).
Системы управления минимальной силой являются частным случаем оптималь! ! ных систем, рассмотренных выше, когда р = 1 и с/ = о, поскольку — + — = 1. Р г/ Величина / = ига)оягят шах~1нЯ~ (5.64) нвзываенгся силой управления скалярным объектом. Критерий (5.64) получается из общей формулы ./=~~~и(/))ос/г~ =~~~и(г)! г/г~ о о Выражение, определяющее оптимальное программное управление, в явном виде сле- дует из зависимости (5.57) при р = 1 и г/ = со, Имеем и ~ ч~„'),„ и'Я =,. иы ~/с„'/г„(г) з)дп ',г,/г„'/г„(г) = !!/!! з!дп ~~ /г„'/г„Я, (5.65) 1 г~„'ь„м а "' где оптимальные коэффициенты /гг,/г2,...,/с„находятся из решения задачи Т и ь)тьь,я~ в а" оиы при условии )!г)с, +/сз)ьз+...+А„)с„=).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
