Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 109
Текст из файла (страница 109)
5.5. Графики Функнна и(И,ис И и!'(! й,'(! -1,5565 -2,1842 -4,0669 -4,6949 -1,5790 — 2,2106 -0 99201 -0,96922 -0 88614 -0,82933 — 0 0669 — 0,0309 0 99362 1,! 595 Глава 5. Методы математического п о амми овация 575 х, (г к,'(г о -о,г 0,25 0,5 г,с о,о о,о -о,о гг, с 0,5 о,гз 0,75 ' Рнс.5.6. Графики функций к, (г),хг(г),хз(г),х„(г) Построим решение той же задачи мсюдом матричных операторов, но с ограничением на фазовые координаты;положим кз (г) < Л 25, х'=(-Лооо);х' =(о о о о); 7= го — базис — полиномы Лежандра. В результате реалюации процедуры оптимизации получены следующие спектральные характеристики оптимальною программною управления и компонент оптимальной программы уг (г) = (», (г),кз(г), ~э (г),кг (г)), Методы тео ии оптимального п авления.
Часть!11- 576 Сч = Решение поставленной задачи имеет вид й, (с) =390920 57964!э — 412493,086!~+ 26!415 6494!! — 101789 2880!~ + +145 1339 с 204047 65438!а ч 45065 625! Сэ ч 5 878 ч 23827 835!э 3056 65882! й,'(с)=-О! !О-'+04!!841'-042042с'+025221'-009!'+ +0,00009с — 0,21879с' + 0,04862!' + 0,01848с' — 0,00198с'1 хэ(с) = 188 4884сэ - 189 3591!~ + 108 91 — 299 бс — О 9999— -0,03267!†!02,0191' + 23,159!э — 2,5438с' + 4,5042!'; Хэ(С) = †20 5835! Е 2549 7894С вЂ 13 03911! + 329 523!~ + ч85612се834 6035С -139149с — 1317539сэ+О!2281!э — О 2439; «,'(с) = -0,0003!с'+ 0,0003161!' — 0,0001823с'+ 0,00006!' — 0,26315 10 ' с+ + 0 000169 се — 00000376!э - 00000! 1сэ + О 947363 1О сэ - 029 10 ээ, «,'(с) =000!354с' — О 00221! +О 00!89с' — 00009!се+ +018947 10 'с — ООООЭЭВсэ+0 00024!э 0000033!э 0 2631 10 Графики функций й; (с), йэ (с), х,'(с), «э (с), х,'(с), хс (с) предешвлены на рис.
5.7. н 5.8. й,'(С) йэ (С е, .е, е,э е,н есн Рис. 5.7. Графики функций й, (с), йэ(с) 0,0243992 -5,926432 0,0! 86509 -3,499914 0 1,3494825 0 1,2!76!68 -0,097307 0,9268948 0,99993 0,0! 033 -0,7377 0,001865 -0,31133 0 0,0207528 0,0028619 0,016195 -О, 00286! о о о о о о о о о 0,1.!О-' 0 0 0 0 0 0 0 0,7739938 10 ч 0 -0,7739938 10 " -0,50175 0,57374 0,001588 -0,05647 0,000!33 -0,01809 -0,000095 0,000321 0,00017 0,000476 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,26315789 0 Глава 5. Методы математического о амм ованид *, (г а -а,г -ал -с,е Одз 0,5 0,75 Рис. 5.8.
Графики функций х, (!),х,(г) х,(г),х,(г) Пример 5З. Оптимальный заход на посадку транспортного самолета (рис. 5.9) [67). Линеаризованное уравнение продольного движения самолета при заходе на посадку представляет собой следующее дифференциальное уравнение(67) О+24м~О+(мс) О=КТс(мс)'Ч+К(аьг) Ч, где Π— угол тангажа, ч — угол отклонения руля высоты, который осуществляет управление самолетом, à — коэффициент демпфирования угла тангажа, и — собственная частота, Т, — постоянная времени, К— коэффициент усиления системы аотклонение руля высоты — угол таигажм>.
При выводе уравнения предполагалось, что путевая скорость г остается постоянной, а лля путевого угла у выполняется условие 17) «1. Если через й обозначить высоту полета, то зависимость между углом тангажа О и скоростью снижению Ь самолета имеет вид та'- а= О. После некоторых преобраюваний получим 2г,гсысо 1 2ЧТсмс" (Тсыс) О 1 2ггсмст(Теис) д «7 зг с са+ Т, (Та)' .(Т,)' Рис. 5.9. Условные обозначенна прн рассмотрении задачи захода самолата на насадку 578 Методы тео ии оптимального ввления.
Часть И] С введением переменных состояния х, = Ь х, = 6 х„= О, 24 --О, переменной управления и = П, атакмс новых постоянных 29оЪ оЪ. О22 = — 1г Те'! О23 т! Тс'1 О42 = 2 — — 4' — ', т(Т4) "74 агз = 2+ (гос) 'Ом = 21ыь' "4 ="74(ыо) 26оЪ (Тс) 74 7о полученное выше уравнение можно переписать в векторно-матричной форме 0 0 + "с 0 1 0 1 0 0 0 а,з а,э 0 0 0 0 1 х, х, "2 Х4 0 О„О4, Оы ам =04с; ам = 312 мlс; а!2 =00097 —; мс а43 -— -0,76 —; а!4 =-0,6 —; хо=-2,37 —; 1 1 1 Т=20с; и=0=2; р,=)000 (1=1,2,3,4).
Решим задачу методом математического программирования с использованием положений теории мат- ричных операторов. Перепишем уравнения обьекш в следующем виде м =~(г), х2 = Оыхз (г) + О23хз (г), х4 О42'.2 (г) ! 4243хэ (г)+ 4244х4 (г) ~ ~си(г)' После ииюгрирования имеем х! (2) = х! (0)+] хз (т) 422, с ! хз (г) = хз (0) 4. ] О„х, (т) 4й+ ~ амх, (т) !й, с о ! х,(г) =хэ(0)+) хх(т) 4й, 4 ! ! х4 (г) х4 (О)+) О42хз (т)4'т+1 Огэхз(т)4 т+]аых4 (т)422+) )!си(т)422. 4 с о с В качестве базиса будем использовать функции Уолша Для Т= 20 матрица интегрирования имеет вид (приведен вырез матрицы размером 8х8) Граничные условия можно записать тжс х,(0)=хе, х,(Т)=хг=О, г=!2,34, причем время Т является зааанным.
Заход на посадку транспортною самолета осуществляется в последней фазе приземления до момента касания им посадочной полосы в общем случае по лучу; это означает, что самолет должен выдерживать как можно более точно требуемую траекпгрнЮ.
Поэтому в критерий оптимизации необходимо ввести отклонение действительной траектории от зшганной. Кроме того, отклонение руля должно находиться в зааанных пределах, пабы обеспечить комфортные условия лля пассажиров. Таким образом, имеем следующий функционал качества (67] 4 э'=-~2 Р,(х(Т)] +-) а~я!сехР~ — )1-х1 +])(и) Ш. Коэффициенты р, (г = 1,2,3,4), так же как а и О. представляют собой весовые константы Пояиуясь ими, можно придатЬ больший вес выполнению конечных условий, отклонению от заданной траектории или отклонению руля.
Завалимся следующими исходными данными (67]: рвд хе=30,5м; х,с= — 6,1м/с; х34=-0,078раа; х44=0 —; Глава 5. Методы математического и о ми овация 579 Уравнения обьекта с использованием матричного оператора интегрирования макни записать так С ' =АнС '+х~(0)'Фй Сп =амА»Си+а,»А»СИ+ха(0).Фи, С»' =А Си+«э(0)'Фй. С" = а»»А»С +а»эАнС" +а„„А»С" + l»еАнС" ь х»(О) Фи. Матричный зквивалеиг имеет вид Са 0 Ан 0 0 0 амА» апА 0 0 0 0 Ан 0 анзА» а»зА» ан»А» 0 0 + С'+ 0 яеА„ и (») -0,05 -0,1 к, (г), », (г),м 3 1 - мои»д математического программирования 2- сглаженная кривая Рис.5.10.
Графини функций и (г), х, (г), х, (г) С»' С» Си С*' 10 5 -5 О 0 -25 2,5 0 о о о о 0 -125 -1,25 0 О 2,5 2,5 0 о о о о 0 -! 25 -1,25 0 о о о о о о о о 0 125 1,25 0 о о о о о о о о 0 125 1,25 0 о о о о о о о о о о о о х, (0).
Фе„ хз(0)'Фй хз(0) Фй «4(0) Фи 580 Методы тео ии оптимального пиления. Часть Ш Теперь формулировка залачн в терминах математического программирования запишется тжс /(С") =-~р,[Ф (г)~ Сь ~ + ! 2 +-,'Г а(с„"') +а с„' " -2цсч с„' "+В(с„") -+пил при следующих ограничениях: х,(0) Фв, хз(0) Ф» хэ(0)'Фй хг(0) Фй3 Сч Сп Сч С*' С" Сп 0 А„ 0 аыА„ 0 0 0 0 апдч 0 0 А„ аьзА„а„Ач 0 0 0 в А„ 0 аьчА„ 71г Рт( )) С», 07ФТ( 8 Сгг Фт(г)( Сч О.
Фт(г)~ Сч 0 Приведем результаты решения задачи оптимального перевода объекта из состояния Х в состояние Х без ограничения на фаювые координаты. Одностолбцовые матрицы, представляющие собой спектральные харжперистики сигналов С", С*', С", С*', С"', имеют вид: Выполнив иаа массивами С" и С" обратное преобразование Уолша, получим дискретные значения функплй управления и оптимальной посадочной траекюрии, которые приведены в табл.
5.4. Графики функций н (г),х, (г) н сглаживжошей кривой х, (г) представлены парис. 5.10. Пример 5.4. Стыковка космических объектов (3). Вопросам стыковки посвящено большое количество работ; кроме того, успешное развитие космической техники и реальные стыковки, неоднократно проведенные при полетах советских я американских космонавтов, показывмот, что проблема в общем решена (3). Отличием космических объектов, дввкущихся по орбиче, ог приземных, движущихся в атмосфере или гилросфере, является то, что оии не взаимодействуют с внешней средой.
Плотносчь внешней среды такова, что ее влиянием на небольщом отрезке времени можно пренебречь и считать, что на обьект дейсп|уют лишь гравитационная сина и сила чяги реактивною двигателя, управляемого с помощью САУ. Кроме того, можно прнблвкенно счнтщь, ччо тот небольшой участок круговой орбиты, кпюрый пролегжот объекты за время выполнения стыковки, прямолинеен. Дейстюпельно, его данна примерно равна 200 — 400 км, что составляет О 5 — 1% ат ллины круговой орбиты, равной 4! 000 км. Вектор силы тяжести при атом перпендикулярен траектории и не проекюруется на ее направление. Учитывая скюанное, запишем уравнения движения двух объектов вдоль оси бл -0,0!6224 -0,016167 -0,01487 -0,014922 -0,009856 -0,009821 — 0,010679 -0,010716 — 0,004042 -0,004028 -0,003705 -0,003718 -0,005629 -0,00561 -0,006099 -0,006!19 3,0683 3,0028 2,0295 2,7740 2,0556 2,6550 1,7944 2,3675 0,20915 0,37209 0,42233 0,67049 0,8905 1,2043 0,7443 1,0900 — 1,7441 — 1,1909 -1,9269 — 1,4247 -1,0728 -0,6758 -0,5954 -0,3347 0,29992 0,48920 0,39435 0,43956 -0,39226 -0,16499 -0,24955 -0,09047 0,027000 0,028065 0,033!65 0,038380 -0,0087879 -0,0!15598 -0,0174542 -0,0110899 -0,0117272 -0,0112087 -0,0227866 -0,020421! -0,0043889 — 0,0050706 -0,0044227 -0,0017712 0,002834! 0,0070762 0,0081! 28 0,0070220 0,0326736 0,0364587 0,0!79340 0,0187635 -О,О!20759 -0,013774! -0,0022700 -0,0000164 0,0073976 0,0084526 -0,0007440 0,0004298 Глава 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
