Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Подставим компоненты вектора управления в форме йв(!) = ~ ~с„"'ср,(!) =Ф (!)С"'; [с = 1,т; компоненты г о вектора состояния имеют вид х„(с) = Ф (!) Сч; 7с = 1, и . Выразим критерий качества и ограничения через коэффициенты ис «~ в> иг и„ со,с,,...,сс,со,...,с!",...,с,", при этом (5.13) В рассматриваемой задаче имеют место ограничения типа равенств и неравенств.
Неравенства (5.11), в соответствии с постановкой задачи, должны быть выполнены для всех ! н (О, Т) . Построим сетку ограничений Т =(с,: 7' =1, я) . Тогда неравенства (5.11) н (5.12) можно переписать в виде и, -~Ф (св)Сч~>ОЧгса,]1=1,Я,1=1,т; х -~Ф (св)С'~>Ос!!а,[с=!,Я, !=1,и. Сформулированная задача построения оптимального программного управления и оптимальной программы свелась к задаче квадратичного программирования ,У(С )=~ ) (с„"") -аппп тси г=в при ограниЧениях вида 1 ) а) и, - )Ф~ (св ) С"' ) > О, [с = 1, Я[ ! = 1, т; — ограничения типа неравенств, б) х, - ~Ф (св ) С" ~ ~ 0,]с = 1, д; ! = 1, л 2) а) Ф (Т) С = Х', — ограничения типа равенств.
б) Ах с' = В'С'+ Ф', ~ Рассмотренный выше метод можно применять для класса нелинейных систем с аналитическими нелинейностями. После разложения аналитических нелинейностей в ряды будут иметь место операции умножения, которые имеют эквивалентное спектральное представление, использующее матричный оператор умножения. Кроме того, он легко обобщается на случай, если объекты описываются дифференциальными уравнениями с запаздыванием и в частных производных.
Структурная схема алгоритма представлена на рис. 5.1. Преимушество введения параметрических представлений по сравнению с другими приемами состоит в том, что отпадает необходимость решать уравнение для сопряженных переменных, а для оптимизации могут использоваться стандартные методы поиска в конечномерном пространстве. Кроме того, параметрические представления можно использовать для оптимизации моделей сложных технологических процессов по результатам экспериментов, планируемых и проводимых непосредственно См. главу 8 в первом томе учебника, а тмоке [39, 47]. 37* Методы тео ии оптимального авления. Часть Ш 564 самой системой управления. Это позволяет избежать усложнения используемых моделей, что особенно существенно для практики [49].
Как указано в [49], анализ конкретных задач оптимального управления показывает, что при решении практических проблем не следует ограничиваться заданием единственного параметрического представления. Начало Ввод исходных данных Расчет матричного оператора системы (расчет матриц Ах Во фо) Нахождение зависимости, определяющей критерий,он) Формирование ограничений типа равенств Формирование ограничений типа неравенств Решение задачи нелинейного программирования Печать результатов расчета е) (г)нХ (г) Конец Рпе.
ЗЛ. Струптурпап схема оягорптма расчета оптимальных программных упрпвяеппа и оптимальных программ Необходимо опробовать несколько моделей, чтобы убедиться в там, что выбоанная модель действительно является достаточно общей. Глава 5. Методы математического и о амм ования 565 Процедура параметризации управлений часто представляется достаточно эффективной, поскольку она очень проста и позволяет применять стандартные приемы поиска экстремума. Основной ее недостаток — трудности исследования вопросов сходимости на промежутке [О, Т). Небольшая скорость сходимости приводит к отсутствию гарантии того, что параметризированное управление достаточно близко, в известном смысле, к оптимальному, если, конечно, базис разложения не выбирается каким-либо специальным образом.
Число членов разложения должно быть, с одной стороны, не слишком большим (для того чтобы поиск был эффективным), а с другой — не слишком малым (для того чтобы получить хорошее приближение к точному решению), и это противоречие разрешается только практикой. В следующих параграфах приводятся примеры решения конкретных задач. 5.2. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОГРАММНЫХ УПРАВЛЕНИЙ СТАЦИОНАРНЫМИ ЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ ПО КРИТЕРИЮ МИНИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ В предыдущем параграфе был рассмотрен общий алгоритм построения оптимальных программ и программных управлений. При решении конкретных задач могут быть использованы различные критерии качества.
Например, часто стоит задача расчета управлений, имеющих минимальную энергию; в этом случае имеет место задача оптимального перевода объекта из состояния Х в состояние Х таким образом, чтобы функционал [39,47] (5.!4) принимал минимальное значение.
Постановка задачи: при заданных: ° уравнении объекта управления Х = АХ+ В1); ° ограничениях ,, „-[п,(г)[~О1гги[О,Т), =1,, х -)х (г)[>Ос!и[О,Т~,7'=1,л; ° времени управления [О, Т[; ° краевых условиях Х' =(х, (О),х, (О),...,х„(О))', Х =(х,(Т),хг(Т),...,х„(Т)), требуется найти такие программное управление 1) (г) и фазовую траекторию (опти- мальную программу) Х (г), при которых критерий (5.14) принимает минимальное значение. Формальная постановка задачи: г ,7(1)) = ~1)т (г) 1)(г) о!г + шш о при следующих ограничениях: 566 Методы тес ии оптимального п авления. Часть!П 1, а) Х= АХ+В(), б) Х(0) = Х = (х, (0), хз (0),..., х„(0)), в) Х(Т) = Х =(х, (0),хз(0),...,х„(0)) (5.1 6) — ограничения типа равенств, 2.а)и, -(и,(!)~>ОУсп(О,Т], !'=1 т,~ — ограничения типа неравенств.
б)х мох-~х (!)~>0'Усе[О,Т~, /=1,п Постановка задачи в терминах математического программирования при использовании спектрального метода для параметризации соотношений, входящих в (5.16): ./(С1!)='~ '~ (Саю) ь пни «=!а=1 при следующих ограничениях 1 ) Ахсх =Вссссс+Ф0,1! — ограничения типа равенств, б) Ф г(Т)С» = Х (5.1 7) 2. а) и,,„-/Ф (!а)С"'(>О !с=1,~, !'=1,т;~ б) х -(Ф (1„)С !(>О !с=1,я, /=1,и — ограничения типа неравенств. 0,25 0 -0,125 0 0 0 -0,0625 0 0,125 0 0 О 0 0 0 0 0,0625 0 0,0625 0 -0,0625 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 -0,25 0 -0,125 0 0 0 -0,0625 0 0,125 0 0 0 -0,0625 О 0 0 0,0625 0,0625 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Структурная схема алгоритма представлена на рис.
5.2. Пример 5.1. Управление положением ротора двигателя постоянного тока 1541. Редукцию поставленной задачи к задаче математического программирования осушествим спектраль- ным методом, используя в качестве базиса функции Уолша. Н рассматриваемом случае ювестны функции, определяющие и'(!), х, (!) и хз(!), они имеют вид [541 а! (!)=-6+!2с, х, (!) =1 — Зсз +2!!, хз(!) =-61+6! . Получим решение задачи методом математического программирования и сравним полученнме резуль- таты с точными.
Для нахождения б (!), х, (!), хз (!) перепишем уравнения обьекш в виде хс(!) ацхс(!) ! асзхз(!)чьсси3(!)+Ьсзиз(!); хз(!) = аии И+пихт(!)+Ьз и, (!)+Ьззиз(!); после интегрирования имеем х, (!) = ) амх! (т) ггт+ (а! зхз (т) ггт ь ~ ц си! (т) Ит ь ~ йзиз (т) с!т ч х! (0); о о о о ! ! хз(!) =)ацхс(т)аз+)аззхз(т)ат+)Щсас(т)гст+(ьжазиат+хз(0).
о о о о Матрица интегрирования в базисе функций Уолша строится а соответствии с алгоритмом, изложен- ным в главе 8 первого тома, и лля Т 1 с имеет вид(вырез матрицы размером 8х 8 ): 567 Глава 5. Методы математического и о амми ования Начало Ввод исходных данных А, В, Т, о г Х, Х, и,„,»~„ Выбор базиса и расчет матриц Х»виФо Параметрнзация критерия качества Формирование ограничений типа равенств )А»С» =В'С'+Ф'„ б) Ф'(г)с» =х" Формирование ограничений типа не- равенств и,„~ -~Ф (Гь)сч)а О,/с = 1,52= 1,ш » -)Ф~(гь)с '~а 02 = 1~7 =1л Решение задачи оптимизации с использованием оптимизатора 1)пино Рго ».5. О Печать результатов расчета П (г) и Х (г) Конец Рис.5.2.
Структурнаа схема расчета оптимальных программньм управлений 11 (г) и оптимальных программ Х*(г) (критерий качества — энергии управления) Уравнения обьекш с использованием матричного оператора интегрированна можно записать так Сч =апА„Сч еадд„си+~,А„Сч ьЦзд„сч+Ф», С г = аз~А„Сч + атзА~Сч +аз~А„С"' +)~зд„сч + Фл. Поскольку в уравнениях обьекга А=( ),В=( ), то матричный эквивалент можно переписать в виде 568 Методы тео ии оптимального п авлеиия. Часть [П ГО.А» 1.А„) где А = ~ " ") — клеточная матрица размером ((и)х(1л).
(О А„ 0 А„) Теперь постановка задачи в терминах математического программирования формулируетая так У(С") = »'Г(с„")' — ь ш)л при следующих ограничениях Ха«(грт(г)) Сч «)фтЩ Сч «0) Х' =(Е'(г)) С' = О,Ш'(г)~ Сч О) — ограничения типа равенств. Ограничения на управление и фазовые координаты не накладываются. Для решения зааачи воспользуемся оптимизатором, встроенным в табличный процессор Оаапго Рго». 5.0 (в данном случае размерность базиса принималась равной 32). Приведем результаты решения поставленной задачи: спектральные характеристики сигналов С",С*',Сб определяются следующими адносголбцовымн матрицами: С" =[0,0488106; — 3,123064; — 0,$02396, — 1,510334; — 0,102396; 0,1023955; — 0,102396; -0,703969, — 0,102396, 0,1023955; — 0,102396, 0,1023955; — 0,102396; 0,1023955; -0,102396, — 0,300787; — О,!02396; 0,1023955,' — 0,102396, 0,1023955, — 0,102396; 0,1023955, — 0,102396; 0,1023955; — О,!02396; 0,1023955!†0,102396; О,!023955; -О,!02396; О,!023955; — 0,102396; - 0,099!95 ], С" =[0,4881367;0,3165846;0,00470020,0,1331058;0,00!!563;- 0,025173;0,0023376; 0,063415;0,0002703; — 0,006274; — 0,0000249; — 0,003!24; 0,0005656; — 0,0!2574; 0,001 1 563, 0,031326; 0,00004883; — 0,001549; — 0,0000249, — 0,0007624; — 0,0000249, 0,00002499, — 0,0000249,' — 0,0003687;0,0001226; — 0,003124; — 0,0000249, -0,001549; 0,0002703; — 0,006274; 0,00056561 0,015626], Сг' = [-1,0001; — 0,036201; 0,401 582; — 0,0!7300, 0,099195; 0,001 5999; 0,199991; -0,0078504; 0,0235989, 0,001 5999; — 0,00! 5999, 0,0015999; 0,0487978; 0,00!59993, 0,0991956, — 0,0031252;0,0046997;0,001599; — 0,001599;0,001599; — 0,001599, 0,001599, — 0,00!599, 0,001599; 0,0!0999, 0,001599, — 0,00!599; 0,0015999, 0,023598; 0,0015999; 0,0487978, — 0,00076266] Выполняя над указанными массивами обратное преобразование Уолша, получим дискретные значения управления й (г) и оптимальной программы Х (г) «(х, (г),хг(г)), которые приведены в табл 5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
