Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 106
Текст из файла (страница 106)
С математической точки зрения, параметризацня математической модели объекта означает разработку метода решения операторных уравнений объекта (в первую очередь, дифференциальных и интегральных уравнений), позволяющего непосредственно по операторным уравнениям объекта записать явное выражение их решения, пользуясь символикой матриц, определяя все элементы в конечномерных пространствах Пользуясь понятиями блочно-импульсных функций и обобщенных блочноимпульсных функции (ОБИФ), сеточные методы можно отнести при известных условиях к классу проекционных, когда в качестве базисных функций 1<р, (г)1 берутся функции с конечными носителями (финитные функции), псе. такие функции, которые отличны от нуля лишь на небольшой части той области, на которой определено искомое решение задачи.
Такой подход лежит в русле метода конечных элементов [37, 39, 47). Таким образом, по идейному содержанию редукция задач оптимального управления к задачам математического программирования может рассматриваться на единой основе — проекционном подходе. Глава 5.
Методы математического п о амми ования 559 Далее, рассмотрим общий подход к построению алгоритма расчета оптимальных программных управлений и оптимальных программ на примере линейных нестацио- нарных объектов, поведение которых описывается векторно-матричным дифферен- циальным уравнением вида Х = А(г) Х+ В(г) $), Х(0) = Х . (5.1) Воспользуемся следующими обозначениями: зв =0; 0 =Т; Х =(х1(0),хз(0),...,х„(0)) — начальное состояние объекта, Х = (х,(Т),хз(Т),...,х„(Т)) — конечное состояние объекта.
Предположим, что нестационарный объект (5.1) вполне управляем: для любых Х и Х существует такая функция щ,Х~,Хг), за[О,Т1, что решение Х(г) урав- нения (5.1) при Щ) = Щ,Х,Хз), удовлетворяющее начальному условию Х при З=О, пройдет чсрез Х при 1=Т. Этапы общего алгоритма [47, 48]. 1-й этап: Техническая формулировка задачи. Техническую формулировку зада- чи обычно делают в содержательных терминах, присущих рассматриваемой инже- нерной задаче. Например, при проектировании системы оптимального управления самолетом вертикального взлета и посадки определяют физические переменные, характеризую- щие состояние управляемого объекта, находят управляющие функции, также пред- ставляющие собой физические параметры, изменяемые во времени (например, тяга двигателя, угол атаки, угол крена и др.).
На этом этапе важным является вопрос вы- бора критерия оптимизации; последний целиком определяется содержанием инже- нерной задачи. Например, достижение назначенной точки происходит с минималь- ным расходом горючего или за минимальное время и т.д. 2- й эта п: Постановка математической задачи оптимизации, На этом этапе строится математическое описание физического объекта (напри- мер, самолета) и процесса управления в рамках принятой степени полноты. Техническая постановка задачи и ее математическая модель в процессе исследо- вания не остаются неизменными, а находятся во взаимодействии друг с другом.
По- строение адекватной математической модели представляет собой итерационный процесс, в ходе которого уточняются как постановка самой технической задачи, так и формулировка математической модели [47, 48]. Например, в задаче управления самолетом вертикального взлета и посадки стро- ится математическая модель в форме системы дифференциальных уравнений [48], Переменные, входящие в эту систему уравнений (например, модуль воздушной ско- рости, угол наклона траектории, угол поворота вектора скорости, координаты центра масс в земной системе), могут служить фазовыми координатами, а тяга двигателя, угол атаки, угол крена — управляющими функциями, которые подлежат определению из условия достижения цели управления [47, 48].
3-й этап: Выбор общего подхода к решению математической задачи оптимизации. В нашем случае — это аппарат математического программирования. Третий этап включает в себя следующие подэтапы [39]: а) редукция математической модели объекта управления к конечномерному экви- валенту. Параметризация вектор-функций Х(г) и 1)(г) осуществляется с помощью спектрального представления компонент в ОНБ (удерживается конечное число чле- нов разложения) (см. главу 8 в первом томе учебника, а также [39, 47]): 560 Методы тео ии оптимального п веления. Часть П! хп(г)= , 'спор,(г) ~=о Х,(г)= (5.2) хы(г)= , 'с„""ср,(т) =о / йн(г) = ~~ с,'<р,(т) о 1),(г) = (5,3) й„,(г) = х ~с„" <р„ (г) и=о где индекс 1, как правило, будем опускать.
Или, что то же самое, Ф (г)С"' Ф (г)Сч =Ф(г)С, О,(г)= Ф (г)С" Ф (г)С"" где Сч Сч Ф(г) О Ф(г) сх С' с"' Ф(г) = — клеточные матрицы. О Ф(т) т .l = ) Д~ (Ф (г) С, Ф (г) С~, г ) о(т = ./ (С, С~ ). о (5.5) Поскольку Х~ (г) = Ф(г) С, О, (г) = Ф(г) С а С =А (В С'+Фо )=АхВ~С" +А~Фл~, то получим функционал, зависящий только от спектральных характеристик компонент вектора управления т ./(С~ ) =/Д~(Ф(г)(А В~~с~ +АхФл~),Ф(г)С~)пг; о в) редукция краевых условий к конечномерному эквиваленту, При т = Т фазовая траектория Х(г) должна «попадать» в область, близкую, в известном смысле, к точке Х, т.е. т р(Х',Ф(Г)~ С')< а. (5.6) Учитывая конечномерные представления вектор-функций Х(г) и Щг), для линейного нестационарного объекта (5.1) можно воспользоваться конечномерным эквивалентом, представляющим собой уравнение с матричным оператором С = А ВпСп АхФ (5.4) б) редукция функционала качества к конечномериому эквиваленту.
С учетом рассуждений, которые были приведены выше, функционал качества можно переписать в виде Глава 5. Методы математического п о амму ования 561 (5.8) 37 зак. 36« В идеальном случае имеет место ограничение типа равенства Ф(1)~ С = Хг. Соотношение (5.6) определяет тот факт, что достаточно достичь желаемого со- стояния Х с некоторой точностью. Начальные условия Х автоматически выполняются, т.к.
они учитываются огра- ничением (5.4). Ограничения, порожденные краевыми условиями, при использовании рассматри- ваемого подхода приводят к необходимости исследования сходимости рядов х,(1) Фт(1)С', 1=1,п (5.7) на промежутке (О,Т), включая точки г=О и 1 = Т. В связи с этим обстоятельством при реализации метода, использующего спек- тральное представление компонент вектор-функции Х(1), необходимо обратить вни- мание на рациональный выбор используемого ОНБ; г) редукция ограничений типа неравенств к конечномерному эквиваленту. Параметрическая форма этих ограничений имеет вид Ф(1)С еХ" ига[О,Т), Ф(1)С е У ~зги [О,Т~) В частном случае ограничения, накладываемые на все ияи отдельные фазовые ко- ординаты, могут иметь вид ~Ф (1)Спи~хе»'", 1и[О,Т],8=1,п, (5.9) где х~~'" — константы (модуяьные ограничения).
Совокупность ограничений вида (5.8) иди (5.9) формирует в фазовом пространст- ве область «разрешенных» значений фазового вектора. В систему неравенств (5.8) и (5.9) входит непрерывное время 1. Заменим эти огра- ничения системой дискретных ограничений. Для этого на отрезке 10,Т) введем ко- нечное множество Т =(1,: /=1,2,...,860 =0,1 =Т,г, <1„,), которое назовем сет- кой ограничений.
Точки 1 будем называть узлами сетки Те. Если расстояние Ы =1 -1, между соседними узлами постоянно (не зависит от 1), 01, = И для всех / =11,8,, то сетку Т называют равномерной, в противном случае — неравнот мерной. Вместо вектор-функции Х(1)=(х,(1),...,х„(1)), определенной для всех ге[О,Т~), будем рассматривать сеточную функцию Х =Х(1,) целочисленного ар- гУмента 1'=1,д, длЯУзда 1, сетки Те. В задачах оптимизации сетка Т в общем случае является неравномерной, ее можно выбирать экспериментально, причем реаяизуется следующая последователь- ность 147): ° на основе изучения динамических свойств обьекта и опыта эксплуатации систем, близких по свойствам к проектируемой, строят сетку ограничений; ° решают задачу оптимизации с построенной сеткой ограничений; ° строят оптимальную фазовую траекторию; ° проводят анализ полученных результатов; цель анализа заключается в том, чтобы выяснить наличие таких моментов времени 1е [О,Т~), в которых траек- 562 Методы тес ии оптимального авления.
Часть 1П торна системы находится в недопустимой области. Если зто имеет место, то строят новую сетку, причем в окрестности выхода траектории нз допустимой области интервал дискретизации уменьшается. 4-й этап. Выбор численного метода решения задачи математического программирования. Эти методы подробно описаны в [16, 17] [см. также приложение). Если в результате решения задачи нелинейного программирования получены одностолбцовые матрицы коэффициентов Фурье компонент вектора управления С"',С ',...,С ", то оптимальное программное управление определяют с помощью зависимости й» (г) = Ф (г) С"", Тг = 1, т, а оптимальные фазовые траектории находят по формулам х»(г) =Ф (г)С", Те =1,л. Далее будут приведены формулировки задач построения оптимальных программных управлений и оптимальных программ с использованием описания объекта векторно-матричным дифференциальным уравнением и его конечномерным эквивалентом.
Табди а5.1 Коиечномерная постановка задачи, ориентированная на применение математического п о амму ванна Бесконечномериая посгановка задачи ,Т(С~ ) -» пип, с" ' а) Фг[г,)(А"ВоСо+А"Фв„) е Х", В) Ф'[г,)С' е ГТ" — ограничения типа неравенств; ,) Фг[Т)Ск =Хг а) Акая ВоСо чФе У =]Тс(Х(г)»)[г),г)ш-в пип, е а)»)(г) е»)"ЗГ» е)О,Т]) 6) Х(г) а Х"'Гг е [О, Т] ] — ограничения типа неравенств; а) Х(0) =Хе,Х(Т)=Хг, 6) Х= А(г)Х+В(!)1) — ограничения типа равенств -о ичениятипа авенсзв Проиллюстрируем применение изложенных выше положений для решения задачи оптимизации, когда [39, 47] г 5 =] 1) (»)1)(г)ганг=]]П]],%)())пС(О,Т]. [5.10) о Управление Щг) должно обеспечить перевод объекта из начального состояния Х в конечное состояние Х за промежуток (О,Т], причелг критерий (5.10) должен иметь минимальное значение.
Потребуем, чтобы фазовые координаты х» (г) находились в области допустимых значений, которая может быть задана соответствующими неравенствами. Для примера потребуем, чтобы и, -]и,(г))]ВОчгп(О,Т],г'=1,т; х -[х (8)] > Ог» н (О, Т], / = 1, и, где и, и х,„— заранее заданные скалярные величины. Положим, что при заданных условиях существует единственная вектор-функция 1) (г) . Для решения задачи выберем ОНБ, удовлетворяющий соответствующим условиям, связанным со сходимостью приближенных решений к точным на (О,Т] и в 5бЗ Глава 5. Методы математического и о амми ования т точках ! = 0 и ! = Т, Обозначим Ф = (сро (!) ср (!),...,ср! (!)) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
