Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 108
Текст из файла (страница 108)
На рис 5.3 представлены графики указанных функций и точного решения. Пример 52 [25]. Оптимальное управление материальной точкой при заданных условиях. Рассмотрим мщериальную точку массы т, движущуюся в вертикмгьной плоскости (ф и) в поле силы тяжести Предполаким, что в качесгш управляющего воздействия к точке гл приложена реактивная силву,' возникмошвя в результате отделения от нее часпщ с элементарной массой (тн,( . Тогда масса тачки является величиной переменной т = т(г) и ее движение манью описать векюрным уравнением Мещерского (рис 5.4) г(» т — =р»г" г(г Здесь т = т(г) = т, ьт,(г), пи т,=сапы, т,(г) 20 — реактивнпг масса точки; /=(г-») г(т, агу!;»вЂ” вектор абсолютной скорости точки т; я — вектор скорости частицы г(т< в момент гьггг после ее отделения, так что а=и -Ю есть вектоа относительной скорости отделяющейся часщцы, р — вес.
Глава 5. Методы математического о амми оаания 569 и'(с), й'(с) ,с х, (с) хс' (с 1 0,8 0, 0, 0, о,е 0,2 0,8 1 с,с -0,5 — 1,5 х,(с хс (с Ркс.5З.Гра$кккфункцка й (с),и (с),х,(с),х,(с),х,(с),х (с) авления. Часть! И Методы тео ии оптимального п Таблица 5.2 дискретные значения й (сг), и (ст),хт(св),х,(сг),хг(с„),хг(сх) хг(с,) х,(с) к, (с,) хг (ст ) и'(с,) й'(ст) Проектируя уравнение Мещерского на горизонтальную и вертикальную оси координат, получим следующие уравнения движения (25) ! т(с) Г, = тяат (с), т(С) Ч = сба„(С) — т(С) В, где ат и а„— проекция вектора а на оси 9 и ч . Допуская, что абсолючная величина вектора а задана и равна а, запишем систему уравнений в нормальной форме.
.тс —— хг, "г = "с кг = кт, кт ="г В й И' где х, = 9 кг = 9кг = Ч к, = Ч и, = асов от —, иг = а сова —, ат а — Углы, составлнемые вектоРом а с лс' чтя' ' ч осями 6 и ч, причем ..г г г г и,+из=о ~ — ) Будем считать реактивную сияу управляющим воздействием Для рассматриваемой системы сформулируем задачу оптимизации о 0,03340 0,06681 0,1002 0,1336 0,1670 0,2004 0,2338 0,2672 0,3006 0,3340 0,3674 0,4008 0,434 0,467 0,50! 0,534 0,567 0,60! 2 0,6346 0,6681 0,7015 0,7349 0,7683 0,8017 0,8351 0,8685 0,9019 0,93534 0,96874 1,00 -6,0981 -5,694 — 5,291 -4,888 -4,485 -4,082 — 3,679 -3,275 — 2,872 -2,469 -2,066 — 1,663 -1,259 -0,856 -0,453 -0 05 0,352 0,755 1,! 59 1,562 1,965 2,368 2,771 3,175 3,578 3,98! 4,384 4,787 5,190 5,594 5,997 — 6,000 -5,599 -5,198 -4,79Т -4,396 -3,995 — 3,594 -3,193 -2,793 -2,392 -1,99! — 1,590 -1, И9 -0,7887 -0,3879 0,0129 0,41375 0,81465 1,2155 1,6163 2,0! 72 2,418! 2,8189 3,2198 3,6206 4,0215 4,4224 4,8232 5,2241 5,6249 6,0 о 0,0156 0,0468 0,0781 О,! 093 0,1406 007!В 0,2ОЗ! 0,2343 0,2656 0,2968 0,3281 0,3593 0,3906 0,4218 0,4531 0,4843 0,5156 0,5468 0,5781 0,6093 0,6406 0,6718 0,7031 0,7343 0,7656 0,7968 0,828! 0,8593 0,8906 0,9218 0,9531 0,9843 1,00 1,00 0,9985! 0,99265 0,98123 0,96465 0,94329 О 91755 0,88782 0,85450 0,81798 0,77866 0,73692 0,693! 7 0,64779 0,60!! 8 0,553! 4 0,50585 0,45791 0,41032 0,36347 0,31774 0,27355 0,23127 0,1913! 0,15405 О,! 1990 0,08923 0,06246 0,03997 0,022!5 0,00941 0,00212 -о,ооо! 0,00 1,00 0,99927 0,9936! 0,98264 0,96672 0,94623 0,92! 53 0,89298 0,86095 0,8258! 0,78792 0,74765 0,70537 0,66!44 0,61623 0,570! 0 0,52342 0,47657 0,42989 0,38376 0,33855 0,29462 0,25234 0,21207 О,! 7418 0,13904 0,10701 0,078468 0,053764 0,033271 0,017356 0,006385 0.000724 о о -0,095283 — 0,27954 — 0,45121 -0,61028 -0,75675 -0,89062 -1,0118 -1,1205 -1,2166 -1,3001 -1,3709 — 1,4292 — 1,4749 -1,5079 -1,5284 — 1,5363 -1,5316 — 1,5142 -1,4843 -1,4418 — 1,3867 -1,3189 -1,2386 -1,1457 -1,0402 -0,9221 -0,7913 -0,6480 О,4921 -0,3236 -0,1425 О,!4 !О 0 о -0,09228 -0,26806 -0,43213 О,58447 — 0,72509 -0,85400 -0,97119 -1,0766 — 1,1704 -1,2524 -1,3227 -1,38! 3 -1,4248 — 1,4633 — 1,4868 — 1,4985 -1,4985 — 1,4868 -1,4633 — 1,4282 -1,38! 3 — 1,3227 — 1,2524 -1,1704 -1,0766 О,97119 -0,85400 -0,72509 -0,58447 -0,43!!2 -0,26806 ;-0,09228 0 Глава 5.
Методы математического п о амму опания 571 у(и) =~/(,2(т)+иг(т)1ут~ — шм о при следующих ограничениях: .т,(Э) =х,(Г), «,(г) = и, (г), «3(Э) «4(3)' х4 (г) = и2 (г), Х'=(к,(0),кг(0) «3(г),«4(0))ио, Х = (хэ(Т),кг (Т),хэ(Т),к4 (Т)) (будем полагать а = О). ограничения типа равенств; (Ег,чг ) б (Ео чо) Рнс. 54. Движенне материальноа точки массы ш в верти кальноа плоскости (С Ч) в поле силы твжести Ограничения типа неравенств отсутствуют положим: х =(-!,000),х =(0000), т=!с. длянвхождения й;(э),й,(э),х,(г),кг(э), х,(г),х„'(э) перепишем уравнения объекш в виде: «, =аээ«э(г) е а!2«2(г) таэз«3(г) +а!о«4(Э) тйээиэ(г)+ Ьэгиг(г), «2 агэ«э (г) + он«2 и + агзкз (г) + ого к4 Я + зэиэ (г) + Ьггиг (г) «3 Ээээ«1 И+ 1232«2 (г)+ 4333«3 (г) + 1234«4 (г) + Ьзгиэ (г)+ Ь32и2 (э) х4 =Рот (г)+а42«2(г)+Р43«з(Э)+а4,34(г) ~Ь4эиэ(г)+Ьогиг(г); после иншгрирования имеем.
«э(Г) =/аээкэ(т)412+/а!2«2(т)эут+/аэзхэ(т)гут+ о о о +/аэ4х4(т)432+/Ьээи,(т)432+/Элгиг(т)443+к,(0), о о о 1 ~(г)=/ «э( )42 +/ » ( )ог / окэ( ) о о о +/аг,к, Иэгт +/~эиэ (т) 4)т+ /Ьгхиг Яггт 4- «2 (0), о о о 1 1 Хэ(Э) /азэкэ(т)гэт+/азгкг(т)ггт.~-/аззэоэ(т)эгт Э о о о 1 е/аэо«4 (т) огт ч /Ьз эиэ (т) 43 2 е /Ьзгиг (т) 43 2 т «3 (0), о о о 1 Х4(г) = /Р41«Э ЯЭ \+/Р42Х2(т)4 т+/Р43ХЭ(т)огт+ о о о 1 , +/ам«4 (т) Эгт+ /Ьоэ и! (т) Эгт+ /Ьогиг (т) огт е т, (0). 36* 572 В качестве базиса будем использовать полиномы Лежандра.
Матрица интегрирования в базисе полиномов Лежандра на промежутке (О 7) запишется так (39, 47): 1 -!/3 0 ... 0 1 0 -1/5 ... 0 0 !/3 0 ., 0 0 0 1/5 .. 0 т Ах=в 2 1 0 0 2т-3 1 0 0 ... 0 2т — 2 0 0 0 .. — 0 1 2т-3 Для Т= 1 с матрица интегрирования имеет вид (приведен вырез матрицы размером (бхб)) 05 -01667 0 0 0 0 0,5 0 -0,1 0 0 0 0 01667 0 -00714 0 0 0 0 0,1 0 -0,055 0 0 0 0 0,0714 0 -0,045 0 0 0 0 0,055 0 А н Уравнения объекта с использованием матричного оператора интегрирования можно записать так. Сч = оп А»С»' + ацАнСЧ +апА»Сп + а»А»Са + +ЬцАнСи + ЬцА»Си +х,(0)Ф"„, Си = апА»Са +ацА»Сч +аз»АнСч +аз»АнСч + ».Ь»!А»СЧ +Ьз»АнСИ +аз(0)Фея С ' =апА»Си+а„А»С'+аз»АС»'+а »А С '+ +Ь„А»Сч + ЬцА»Си + х, (0) Фс, С ' = а»!АнСч + анзАнСч +а»»А»С +аыА»С»' + +Ь»,А»Си + Ь»»АнС"' + хн(0)Ф„.
Поскольку в уравнениях обьекга О 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0000 то матричный зквивалент можно переписать в виде: ~(О) Фя 6 Сч хз(0) Фю »4(о) Ф'„ Си =А Си Сч Сп Сп гле ( О А„ 0 Ан — клеточная матрица размером ((л) х ((л), 1.А» 0 Ан О. Ан 0 Ан 0 А„ О Ан — клеточная матрица размером ((л) х(!т) . 1 ° Ан ОАн 0 А„ 0 Ан 0'А» 0'Ан 0 А 0'Ан О А„ 0 А„ 1 ° Ан ОА„ О.Ан 0 Ан 0 Ан 1 Ан Методы тео ни оптимального п авления. Часть И1 Глава 5. Методы математического п о амм ования 573 Теперь постановка задачи в терминах математического программирования формулируется так г м , м тсСс ,У(С")=фсч) +~с (с„"')) -+ щ!и при следующих ограничениях: хс(0) Фсс, х,(О) Ф"„ ,(0).Ф'л х,(0) Ф"„ Сч - Сп «А Сп Сп Сп С" Сп Хс=(Фт(С)~ С* «-1 Фт(С)! Сг «О Фт(С)( С ОФт(С)/ С* «О) Хг (Ф (с~ Сг, 0 Ф~(с)( С, «О.
Ф (с)( Сп «О Ф (с)) С. 0) Для решения задачи математического программирования воспользуемся оптимизатором злектронной таблицы Онацт Рго ч,5.0. Приведем результаты решения задачи оптимального перевода обьекга нз состояния Х в состояние Х" без ограничений на фазовые координаты. Одностолбцовые матрицы, представляющие собой спектральные характеристики сигналов С ', С"*, С", С"', С'*, С", имеют вид: С44 = Сь = Сп = Следующие формулы определяют оптимальное программное управление и оптимальную программу, полученные с помощью конечномерной оптимизации: й; (с) = 5,9750959- ! 1,9254161; й,'(с)«0; х,'(с) « -О 999999- 02397992 10 'с!+ 298754!с — 19875!с; й,'(с) = 5,9754-5,962708сз, й;(с)«о; х,(с)=0, Метод множиселей Лм рвнжа позволяет записать точные формулы, определяющие в, (с), ис (с), х, (с), хс (с), хс (с), х4 (с); оии имеют вца: й;(с)«6-12с; вс (с) О х,'(с) = — 1+ 3!' — 2с'! ~ (с) «бс - бс'! х,'(с)«0; х4 (с) — 0 В табл.
5.3 пРиведеньс дискРепсые значениЯ компонент векюРа УпРавлениа и,'(С), и, '(с), й,'(С), йс (С) н компонент вектор фунюшй Х'(с) и Х*(с) . На рнц 5.5 и 5.6 представлены графики укаюнных выше фунюсий 0,0123879 -5,962708 О 0 0 0 0 0 0 0 -0,50104301 О, 59936777 0,001032325 -0,09937846 0 0 0 0 0 0 0,99997861 0,00619395 -0,9937846 0 О 0 0 ' 0 0 0 Методы тес ии оптимального и авления. Часть Ш 574 Таблица 5.3 дискретные значения и, (1„), й, (!4), х, (!4), х, (!4), хз(!4), хз(гс) й! (с! ) Х7 (сс) и! (сс) «!'(с!) х! (с!) й,' (с„) -1,о -! оооо 5,9751 60 -0 99198 -0 96909 0,29796 0 56287 0,29917 0 56508 0,053 5,3475 5 3684 4,7! 99 0 105 4,7369 — 0,93334 -0 93308 О 7948! 0 79781 4 0921 4,! 052 0,158 -0,88569 -0 82869 0,99726 3 4736 0,211 3,4645 1!635 2,8369 0,263 2,8421 -0,76381 1,2923 1,2964 -0,76467 О 316 2,2093 2 2105 -0,6939 -0,69282 1 3920 1,3961 1 5790 0,368 ! 5817 1 4588 042! 0 9540 0,9473 -0,61872 -0 61743 1 4627 1,4924 1,4958 — 0 53944 -0,54092 0,473 0 3263 0 3157 1,4958 -0,46222 -0 46057 1,4931 -0,30! 3 -0 3158 0 526 -0,38429 1 4607 ! 4626 -0 9289 — 0 9474 -0 38260 0 579 -0,30716 -0 23614 ! 3953 1 3962 -0,23807 0,63! ! 2963 1,2968 0 683 1,1654 !!634 -0,17308 -0 17124 -2 8118 -2,8422 0,736 -0,11604 1,0008 0 9972 -3,4394 -3,4738 -0,11434 0,789 0 7978 0,8033 -4 105 -0 0684 -0 0320 0,842 0,5727 0,5650 -4,737 0,894 -0 0087 -0 008 0,2991 0 3090 — 5,3229 — 5,369 0,947 -0 0001 -5,9499 -6,000 0,0! 24 из(! й,'(! 0,02 0,0! — 0.01 -0,02 0,2 0,4 0,8 !с,с Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
