Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 112
Текст из файла (страница 112)
х,(г) Рис. 5.16. Графики функций х, (2), хз(с) 6.4. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОГРАММНЫХ УПРАВЛЕНИЙ И ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОГРАММ КЛАССОМ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ Как указывалось выше, для построения конечномерных (матричных) эквивалентов операторных уравнений, описывающих поведение объектов управления, применяются матричные операторы дифференцирования, интегрирования и умножения. В случае нелинейных объектов может быть использован матричный оператор умножения.
Это возможно тогда, когда нелинейные элементы объекта управления представляются в виде степенного ряда. В случае применения базиса, порожденною блочно-импульсными функциями, указанное ограничение может быть снято. Для выявления особенностей, присущих нелинейным объектам при построении оптимальных программных управлений, рассмотрим конкретную задачу. Пример 5.6. Задача управления полетом ракеты [52). Получим решение этой задачи с помощью матричного представления операторов в базисе полиномов Лежандра (будем улерживать 8 членов разложения). Система дифференциальных уравнений, описываюших поведение объекта управления, имеет вид Хз = ХЗ, Х2 Х4, (5 30) ха =асов и, Х4 =цып " яс Представим нелинейные функции в (5.30) в виде усеченного ряда Тейлора относительно точки и = 0 2 ( 4 созии (--и + — и, 2 24 ( з ззличи †-и б Перепишем уравнения обьекш в следуюшем виде А =ха, Х2 = Х4, а 2 а 4 х,=а- — и + — и, 2 24 а з х4 =пи — — и — яв.
б 39 зак. зев Методы тео ни оптимального и авленил. Часть 111 594 Запишем послелнюю систему в матрнчной форме, применял операторы интегрирования н умножения. Имеем Са =А„Со+я,(0)Фй, Сп =А„Сп+хз(0)Ф'„, Сп =А„С вЂ” — А„А„(н)С" ь — А„(А (в)) С" +ха(0)Фгг, С" =ад„С" - — А„(А (и)) С АчСж+ ха(0)Фй где А„— матрица интегрирования в выбранном ОНБ. Мвтрнца интегрирования в.базнсе полнномов Ле- жандра имеет внд 0 0 -!0 0 0 -7,142 10 0 0 7,142 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -5,555 0 0 0 0 -4,545 0 0 5,555 0 -3,846 0 0 4,545 0 -3,333 0 0 3,846 0 В (5.31) А„(н) — матрица умножения на функцию (в данном случае — на функцию и(г)).
Матраца умноження в базисе полнномов Лежандра имеет внд (поскольку коэффнцнензь! с," нензвесгны, матрица А, (в) является функцией переменных с," ) с~ 0,333сз 0,2с," О, 142с1 0,999сз 0,999с~» + 0,4сз 0,4сз + 0,25с1 0,25сз + 0,19сз с," Оббсз + 0428с1 с," + 028с", + 0285сз 0428с", + 019сй+ 02! бсь с1 0 бс,"+О 44сз Обе",+О 26с„"+О!с", с", +О 26сз+018сз+О 23с," А„(и) = (прнведен вырез матрацы размером 4 х 4), С*',С",С,СЯ' — спекграяьные характеристики соответствую- щнх функций н констант, Фйг — вспомогательный вектор-столбец, необходнмый для учета начальных условий, размерностью ! х 1 Фв =[1,0Ь,О)т Матричный эквивалент снсшмы уравнений, опнсывмощнх поведение объекщ (5.30), можно записать так.
1 0 0 0 0 1 0 0 Сч ! 0 0 А„(и) ! н О 0.0 А„ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 А„О 0 0 0 А„ Сп Сп о о1( — ') о 0 0 0 1сг 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 А„О ООО А„ 001~а) 0 о о о 1~ — ") 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 А„О 0 0 0 ° -А„ где! — елнннчнвя матрица размерное!ъю ! х) Сч Сп Сч Сп 50 -16,66 50 0 0 16,66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 С» СЯ' 0 0 (Аг(н)) (А„(и)) я,(0)Фв» хз (О) Фй х,(0)Фе х,(0)Фег Глава 5. Методы математического о амму павия 595 Полученное векторно-матричное соотношение можно записать в общем ваде С» = Р(С2' ) ( )' 2 Рад гг,м/с 1ао !зез Рнс. 5Л7. Графнкн функций, харакгернзуюшнх процесс управлення: ! — Решение, полученное методом математического'нраграмч ироеання, 2-решение, полученное методам дксеревааоянн Парсона Сформулируем задачу в терминах математического программирования: ! /(Со) =ш(п -Я счу„(Т) 1 прн слсдуюшнх ограничениях 1 Сл =Р(си) г т — ограниченна типа равенств. 2 Х Фт(с)! Сп 30000.
Фт(г)~ С, м 0~ ~ -т Методы тео ии оптимального п авленид. Часть 111 Приведем результаты решения задачи оптимального перевода ракеты из состояния Х' в состояние Х' без ограничения на фазовые координаты. Одностолбцовые матрицы, предстввляюшие собой спектральные характеристики сигналов С',С*',С",С*',С"1, имеют вид 12444,91 Сб = Сн = 0,1318374 Приведенные ниже формулы определяют оптимальное программное управление и оптимальную программу, полученные с помошью конечномерной оптимизации: и (с)=0 079с+10040 452!О цс — 0154 10 "с +О 0004!!-О 00001!" +0208 !О ьсг — О 008сс, х,(с)=14,319!-о 006+0,145 10 вс -О 6 1О ~!~+О 094!'-О 004!'+О 0000851 +2,25с', х(с]=0173с-000086+0 443 10 С -011710 Ьс" +0007ст-О 00013! +0 687 10 С +4159!', х (с) =8 231!+0 007чо 16! !О зсг — 0 467 10 с!*+0 003!с-0 00015!" +О 448 1О 'сг-О 1655!с, х,(с)=9,663!-0,004+0,7!9 10 с -0,222.!О 'сь+0,009!'-0,0002!" +0,2856!О 'с'-0,1735!! В (52) приведено приближенное решение задачи методом дискретизации Пирсона.
На рис. 5.! 7 приведены графики оптимальногоуправления и (с), х, =Я(хс) и х, = С(х,), полученныедвумя методами. На рис. 5.18 приведены графики компонент вектор-функции Х (с), полученные методом математического программирования с использованием матричного представления операторов в базисе полиномов Лежанлра Построим решение той же зааачи с использованием матричных операторов, но с ограничением на фазовые координаты хг(с)5400 й (5 32) (т е ограничим веяичину вертикальной составляющей скорости).
Заменим ограничения на всем промежупге [О,! Оос) дискретной сеткой, из рис. 5 18 можно заключить, что целесообразно потребовать выполнения неравенства (5.32) в точках с =50, 60, 70, 80 с. таким обраюм, к формулировке задачи в терминах математического программирования необходимо добавить 4 ограничешм типа неравенств Ф'(с~ С" < 4ОО, г сс Фт(с)( С <400, ь =ге Ф~(с)~ Сн < 400, Ф~(с)~ С"' ь 400.
В результате реализации процедуры оптимизации получены следуюшие спектральные харакюристики. Сг Следуюшие формулы определяют оптимальное программное управление и оптимальную программу, полученные с помошью конечномерной оптимизации; 6 (с)=0 0517!+129+0 493 10 с -01599!О вся+0 0004!сс-0 0000121 +О 2015 1О ~с~ — О 0071сз; хи)=-3260С+00007-0604.10 'с'+02!2 10 ЬС -0084! +0 0029! — О 000033!'+30367!', 0,7009748 -1,199579 -0,748134 О,!096817 0,0295336 -0,024550 0,0364488 0,6585593 -1,102337 -0,388532 -0,133186 -0,168734 0,0354228 0,139032 0,1433477 10542,64 17! 03,96 8487,51 2453,! 1 182,098 -461,85 — 92,333 40,3517 12118,89 20991,85 10926,03 1953,77 -262,906 -150,934 0,333257 -! 5,6494 17307,83 3063,22 -2658,30 †10,89 -12 1,548 39,0!50 12,2698 11672,06 !5687,24 2228,90 -2253,75 -519,346 -113,737 -!23,7!3 -24,6901 382,71! 5! 5,576 203,16! 14,7597 -75,3701 -16,8677 10,49144 4,698661 455,5808 639,6091 ! 78,7192 -37,2230 -29,9851 -0,65397 -4,06885 -1,00675 290,8048 125,7199 -276, 7588 -135,5054 -19,670 10,120 3,! 901 2, 0956 265,90! 1 97,37931 -239,2!8 -84,8284 -24,9169 -19,0455 -6,41942 11,14279 597 Глава 5.
Методы математического п о амми ования яз(с) =19 638!с-О 00003-0 9541 10 вес +О 2052 1О ьс +О 0766!» — О 00077с — О 0000!сз + 2 796с, х (С) =4 5482с-0 00028-0 3455 1О в!~+О 83335 10 !~+О 0056!~-0000028с~-О 563 1О ЬСС вЂ” О!32!С, Хс (С) = ! 4 327 С - О 002+ О 3824 10 С -0 139 10 ~С~ Ь О 048 СЗ -О 00!3 С~ Ь 0 0000!9 Сз - О 825 СС На рис 5. !9 представлены графики оптимального управления и'(с) (а), оптимальной траектории (6), годографа оптимальной траектории (в), а на рис.
5 20 — графики компонент вектор-функнии Х (с) «с (с) и х,(с) х (с),с с,с Х4 ьгг' м /с Рне 5.18. Графики фазовых переменнык Методы тео ии оптимального п авления. Часть П! Приведенный пример, заимствованный из [521, предназначен для иллюстрации особенностей расчета оптимальных программных управлений и оптимальных программ. Уравнения объекта отличаются относительной простотой, поэтому в качестве базиса использованы полиномы Лежандра.
и) б) с 1сщо . зющ л,,м)о в) Рис. ЗЛ9. Графики функция, зарактернзуюпзиз оптнмальныа процесс упрапленни с ограничсниелз на фазопые переменные 599 Глава 5. Методы математического и о амму рванин «,(!), и хх(!), м Я), ! иIс 1 хе(!), иге Рне 5.20. Графики фазовых переменных бОО Методытео ииоптимального п авления.
Часть|И Если же объект достаточно сложен, а оптимальное управление имеет разрывы 1-го рода, целесообразно использовать функции Уолша, блочно-импульсные функции или обобщенные блочно-импульсные функции [39, 47]. Аналогичным образом решаются задачи построения оптимальных программ и оптимальных программных управлений для других функционалов. 6.6. МЕТОД МОМЕНТОВ (ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ) Проблема моментов, рассмотренная Крейном, получила название Е-проблемы моментов [26]. Результаты решения этой проблемы были использованы рядом авторов для построения оптимальных программных управлений, а также для синтеза систем, работающих по принципу обратной связи.
Н.Н. Красовский использовал метод Е-проблемы моментов для решения задачи оптимального управления объектами с сосредоточенными параметрами [25]. А.Г. Бутковский показал, что этот метод может быть с успехом обобщен для решения более сложных задач, связанных с бесконечномерной проблемой моментов и с задачами оптимального управления'системами с распределенными параметрами [9].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
