Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Методы математического о амм ванна »2 =а2, (4 =»О 42 Ню' Ц-"»2, где (ч и»~ — координата и скорость перемещения цели (первого объекта) вдоль оси Е; 62 н», — координата и скорость перемещения перехватчика (второго объекта) вдоль оси Е; Е- сила тяги двиппеля перехватчика; т = 2943 кг- масса перехватчика. Таблица 5.4 дискретные значения функций н (г) и х, (г) х;(ц),м и (22),раа 24 С Будем предполагать, что управляющая сила» перехватчиюь созааваемая его реактивной двиппельной установкой, может меюпь направление и линейно зависит от перемещения управляющего орина Е= 9810 Ь.
Возьмем астатическнй регулятор ускорения с законом управления Ь = Кг(и- »,), где К» =!О,0 — передаточное число рулевого привода; 92 -текущее ускорение перехватчика, измеренное вдоль оси Е; и = и(г) — текущее ускорение и, подлежащее определению. Постановка задачи оптимального управления: определить закон управление ускорением и(г), обеспе- чивмощий плавную безударную стыковку двух космических объекпга, при этом энергия управления г У = ) и'(г)дг -+ ш)п, (41 гле [0,7) — промежуток управления. Сформулируем математическую постановку зшшчи. т Предварительно введем вектор состояние Х=(х4..хз),.т2= (4 тз =Ч хз =(2 х4 =»2 хз =6.
Задача заключаетсв в переводе объекта, описываемого системой дифференциальных уравнений Х, = Хз, хз =а, х,=х, 9810 х4 хз 2943 9810 хз — -10(и- — хз) 2943 0 1,2500 2,5000 3,7500 5.0000 6,2500 7,5000 8,7500 10,000 11,250 12,500 13,750 15,000 16,250 17,500 18,750 20,00 -0,14221 О,064305 -0,029075 -0,013147 -0,005943 -0,002691 -0,001213 -0,000549 -0,000247 -0,000115 О,000049 -0,000025 -0,9 1О' — 0,510 4 -0,310 ' -0,3.10 ' 0 25,350 14,144 4,2569 -0,25320 -0,053284 1,4908 2,0676 1,5653 0,90061 0,66649 0,78288 0,88972 0,7421 ! 0,24501 -0,78119 -2,9228 0 Методы тео ни оптимального п авденид.
Чаеть111 582 должен прннюь мнннмальнсе значенне. Выберем величины констант [3): а, = 0 (цель двнжтся без ускорения), Т = 30 с (время процесса стыковки), «,4 = 1,4 =1200 м (начальная координата целц), хге = г,е = 8000 м 1 с (начальная скорость цели), «,р —— (54 1000 м (начальная координата перехватчика), «,4 = гм = 8000 м/с (начальнаа скорость перехватчика), х,4 =8, =0 усяовныкеднннц Конечные условия: х,г = х,г, нлн хо. -хн.
= 0 (коордннаты перехватчика и цели совпадают), хг„= х г, нлн хн. -х,„= 0 (скоросгн перехватчика н цели совпаавют). Ограннчення типа неравенств отсугствуют. Перепишем уравнения объектов в виде х! = ггцхг (г) хз =о! «5 4454«4 (Г) Х4 =О45«5(Г), Х5 = О55Х5 (Г) + Ьзн (Г). После ннтегрнровання имеем х(г)=) а!5«5(г)4(г+х,(0), е хз(г) =]гагг(те«э(0) =а,!ьхз(0), а х,(г) =)гагг«4(т)из+«э(0), е «4 (г) ! ом«5 (г)и«+ Х4 (0) с г хг(г) =) а55«5(т) Иг+) сзк(г) Иг+«5(0). е е В качестве базнса будем использовать палнномы Лежандра. Матраца ннюгрнровання в базисе поли- номов Лежандра на промежупге [О,Т] звпншется так [3] 1 -1/3 0 1 0 -1/5 0 1/3 0 0 0 1/5 Т А„=— 2 1 0 2м-3 0 0 1 2ю-3 0 0 0 ...
0 1 0 2ю-3 нмсст внд(прнведен 0 0 вырез матрнцы размером 8«8): Дял Т = 30 с матрнца ннтв грнровання нз начального сосгояння Х" =(хв..хю) в конечное состоанне Х за промежуток [0,2], прн этом функцнонал качества г гкз( )И 4 Глава 5. Методы математического О амм овация 583 15 -5 0 0 15 0 -3 0 0 5 0 -2,142 0 0 3 0 0 0 0 2 !42 0 0 0 0 0 0 0 0 о о о о о о о 0 0 0 о о о 0 0 0 -1,363 0 0 0 -1!53 0 1,363 0 -! 0 ! !53 0 А Уравнения объекта с использованием матричного оператора ингегрирования можно записать в виде С" =цзАчС чх,(0) Фй, с" =А„с"' . (о) Фй, С =оз,А„Си+хз(0) Фй.
С ' =ачздьс '+хч(0) Фн, Си =аззАьС ' ь(ЗА„С" +хз(0)'ФйПоскольку в уравнениях объекта 0 1 0 0 0000 0 0 0 1 0 0 0 0 3,333 0 0 0 0 -33,33 0 10 то матричны» эквивалент можно переписать в Оюрме С" Сч 0 0 0 С" +А„С '+ 0 10 А„ Сч С" Сч Сн Сч Си Сн Си где А= анА„.. имА„ па~А„амА„ — клеточная матрина размером 5!к5! аз~А„. аззА„ Теперь можно поставить задачу в терминах математического программирования. ,/(С") =~ (с„") -+пап и при следуюгаих ограничениях: Сч Си =А С +А„Сч'+ хс (Фт(г)) Сч 1200 Фт(г)! С», «6000 Ф (г)! Си ООООФт(г)! Сч «0).
Кг =Фт(г)! Сч -Фт(г)~ Фт(г)/ С* — Фт(г)) С* О. Фт(!)) Сич!000; ыа Сч Сн Сч Сн 0 0 0 0 10.А„ о 0 о — 1,6666 о 1,6666 0 0 х,(0) Фй хз(0) Ф'и хз(0)'Фй х4(0) Фя хз(0) Ф,'„' «,(0).Фен хз(0) Фи хз (0) 'Фй «„(0) Фй хз (0) . Фй 584 Методы тео ии оптимального п авленид. Часть Ш Приведем результаты решения задачи оптимального перевода объекта нз состояния Х в состояние Х без ограничения на фвювые координаты. Спектральные характеристики сигналов С", С*', Сл, С"', С*', С*) имеют вид: Сч = Следуюшие формулы определяют оптимальное программное управление и оптимальную программу, полученные с помощью конечномерной оптимизации: и (с) =11849+ О 21391 10 з с' — О 22538.10 'с'+ О 000094034!'+ + 0,17631с -0,001 9700с'+ 0,02! 64(с'-0,11788!'1 Ес (с) = х,' (с) = 1200, О+ 8000,0с; «, (с) = х~ Я = 7999,999; Ц(С) = хз(с) =-О 23737 !О с«+О 25305 1О 'се+1000 3- 0 000!0534!с+79998!+0 0021518сз 0 036848сз+0 76897! «з(с) =хс(С) = 019044 1О !«+033796.10 зсз+О 67852.!О зсз+15040с- 0 00034676гс + 0 0065309!« + 7999 8-0 098087!э Прыггический интерес представляют выражения для разности координат и скоростей перехватчика и цели: Сз -(ч = з Я-Хз(С) =!99 7+О 2!+0 23737 10 'СЗ -О 25305.10-5СЗ+ +О 00010534!э 0 0021518сз+ 0 036848!э 0 768971 «,-«, =х„(с)-х(с)=-019044 10'+033796 10'с'+067852 1О зсз« «1,5040«-0,00034676«4+0,0065309!э-0,2-0,098087!э.
В табл. 5 5 приведеныдискретныезначения функций сз(с)-Сч(с) и «з(с)-«(с). Можно сделать вывод, что разность координат н скоростей перехватчика и цели соспшляют малые величины, т.е имела место плавная безударная стыковка. Графики функций и (с),сз(с)-сз(с), «,(с) — «(с) приведены парис. 51!. На рис. 5.! 1 также приведен график закона управления 6((з -Ц) 4(«с-«г) "" (т,) ' Г- используемый на практике. Недостатком этого закона является то, что он трудно реализуем при значениях с, близких к Г.
Поэтому, реализуя этот закон управления, необходимо прерывать автоматический режим вблизи конечного момента времени и в дальнейшем стыковку осуществлять вручную. При использовании найденного в этом примере закона и(с) э ш проблема не возникшт. Точность стыковки при найденном и = и(с) значиюльно выше, чем при используемом на практике. 0,0034414 -1,3230 О, 0042198 0,0036758 0,0041684 0,0036008 — 0,006116 0,13631 12! ГОО,О !20!20,0 0,38!26 -19,874 — 0,0069447 0,156! 6 0,030086 -0,15126 121200,0 120000,0 0 0 0 0 О 0 8006,7 0,078455 -6,6229 0,0051368 0,0029480 0,013164 -0,13109 -0,012135 8000,0 0 0 0 0 0 0 0 0,0016924 -0,39492 О, 0006! 667 0,0057549 0,00018549 0,0083949 -0,003! 548 0,050773 585 Глава 5.
Методы математического и амму ования Таблица 5.5 Дискретные значения функни(! Е~(()-(О(() и «2(()-«!(() «2((2)-«,(г„),м(с („(гг) — Ц(гг),м гг,с ,— 7,«7« 7О '!! ь' 4! ь7 7,5 2,5 -7 зо се !5 22,5 7,5 Рнс. 5.11. Графики функций, зарвкгернзушшне процесс оптимального управления Приведем решение задачи при условии а, = 2м(сз, т.е.
цель движется с ускорением. Все остальные константы и алгоритм решения остается без изменения. Спектральные харюгшристнки сигналов С", С*', С*', С*', С*', Сб имеют вид: 0 1,5789 3,1579 4,7368 6,3158 7,8947 9,4737 !1,053 12,632 !4,211 15,789 ! 7,368 ! 8,947 20,526 22,105 23,684 25,263 26,842 28,421 30,000 199,99 ! 98,52 ! 93,92 ! 86,73 177,33 166,06 153,22 139,13 124,10 108,50 92,696 77,063 61,972 47,784 34,835 23,441 ! 3,9РО 6,5607 1,7642 0 000013083 -0,16924 1,9844 3,7752 5,2898 6,5798 7,6696 8,5643 9,2566 9,7339 9,9834 9,9962 9,7699 9,3099 8,6279 7,7392 6,6563 5,381! 3,8935 2,! 368 -0 31586 10' Методы тео ии оптимального авленип.
Чаеть 111 586 Сп = с, -с Рне.512. Графнкн функцнй н (с),гч(с)-ге(с),тв(с)-т,(с) Слелуюшне оормулм определяют аптнмавьное программное управление н оптнмвльную программу, полученнме е помощью конечномерной оптнмнзвцин: к Я=3,2624+0,ОН257гг - 0,061969!с +0,000048113сг— -00010156!'-011457 1О все+0,10812 !О гс'+О 051789!; с„(С) =, (С) = Г2ОО О+ОООО ОС ь С'1 т, (с) = хг (с) = 8000 О+ 20!в; С (С) = Лг(С) = -0026828!'+ 1, Сер!С!+10005-0000054672!!+ чо 001!379!'+О!2927 10 'с'-О!!959 10 'с'+7999 8!; т (С) = Кс (С) = О ОСП1074СГ - 0065816!В -О 21288 ! 0 Г Сг - О 000061538 С4+ +0,15164 !Овсе -0,22414 !О-'сг+7999,8+3,4182!.
2,ООЗЗ -1,3356 0,0021329 0,0018579 0,0021069 ' 0,00182 -0,008221 0,068896 12!500 120450 150,0 0 0 0 0 0 8036,7 30,083 -6,6819 0,0015510 0,0015598 0,010932 -0,066042 -0,0!4283 8030,0 30,0 0 0 0 0 0 0 0,060162 -0,39520 -0,000!8009 0,0!3362 -0,00060334 0,020655 -0,0037137 0,047977 121400 120570 150,41 -20,049 -0,0! 1584 0,078801 0,029190 -0,076205 Глава 5. Методы математического о амм ванна 587 Запишем выржкения дяя разности коорлинат перехватчика и пели; тз (с)-Ц(с) =хг (с)-х (с) =199 5+О 2с-0 7291!с+О 026828с +О 000054672сг- -0,0011379с"-О,!2927 10 гсь+0,11959 10 'сг; гг(с)-Ч(с) =хе(с)-хз(с)=0 0021074!с-О 065816!с-О 21288 !О ~с~-О 0000615381~+ Ю,15164 10 сь-0,22414 !О асг-0,2+1,4!82с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
