Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Метод оказался общим аппаратом решения многих задач синтеза оптимальных управлений . Он дает единый подход к рассмотрению различных классов линейных управляемых систем, например, с сосредоточенными и распределенными параметрами произвольного порядка. Куликовский получил конструктивные результаты, связанные с решением задачи синтеза оптимальных управлений, используя аппарат приближения в различных функциональных пространствах. Особенно простые результаты получены при рассмотрении задачи в Е [О,Т1 2 [31]. Широкий спектр задач теории управления рассмотрен А.И.
Морозом; он получил решение с использованием Е -проблемы моментов задач, связанных с управляемостью и наблюдаемостью систем, с синтезом оптимальных управлений по ряду конкретных критериев. В [8] алгоритмы определения функций управления с минимальной нормой сформулированы для линейных систем из более простых рассуждений, которые вытекают из геометрической интерпретации в фазовом пространстве рассматриваемых задач управления.
Метод Е -проблемы моментов применим к классам систем: 1) непрерывных и дискретных; 2) стаг1ионарных и нестаиионарных; 3) автономных и неавтономных; 4) с одним и несколькими управляющими воздействиями [9]. При этом допускается весьма разнообразные оптимизируемые функционалы и в первую очередь функционалы типа норм в функциональных пространствах. Как указано в [9], метод моментов часто позволяет найти вид управляющих сигналов в замкнутой аналитической форме, а в тех случаях, когда зто сделать невозмолсно, дает единый алгоршпм для построения точного или приближенного решения задач.
При этом сложность алгоритма мало зависит от числа управляющих воздействий, она зависит лишь от порядка уравнения и характера собственно оптимальных задач [9]. 6.6.1. ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ МОМЕНТОВ И ЕЕ РЕШЕНИЕ Линейным функционалом в гильбертовом пространстве Н называется отображение 1, ставящее в соответствие любому хи Н число 1х, т.е.
1; Н -+ Я, причем 1 отображение является: Во второй главе вгороя части изложены положении метода моментов применительно в решению егде одной важной зааачи — синтеза рсгуллторов Глава 5. Методы математического п о амми ования 601 1) аддитивным !(х, + хз) = !х, + !хз; 2) однородным !(сх) = с!х, се Я; 3) ограниченным Ц < с)~х]]н для всех х е Н . Весьма важным для дальнейшего изложения является содержание следующего факта [25]: 1) любому линейному функционалу в пространстве !я[О,Т] (1< р < со) соответствует производящая функция и(т), которая определена почти всюду на [О, Т] и и(т) е )л [О, Т], ( ! р ь 1/д = 1); 2) всякий линейный функционал !х в пространстве !7[0,Т] может быть представлен в виде !х =(хи) = [к(т) и(т)»!т; х(т) е )я [ОТ], и(т) и !." [ОТ], о причем производящая функция и(т) однозначно определяется заданием функционала 1; 3) норма функционала равна норме производящей функции в пространстве !л[О,Т]: (т 1цл ~]]и(т)] ат~ прир>1, ц<0; (5.34) ига)стет пъах]и(т)[ при р = 1, »! = ьз.
Множество линейных ограниченных функционалов, определенных на (,~О,Т], называется сопряженным к»У [О, Т] пространством и обозначается Тт [О, Т]. Из содержания приведенного выше факта следует два важных положения: каждый функционал из !." [О,Т] представляется в виде операции интегрирования на [О,Т] (формула (5.33)); норма функционала в тт[О,Т] равна норме производящей функции в Х'[О,т] (изометрический изоморфизм пространств !ми (Р (формула (5.34)).
Пусть Н(!)=[и»(!): й=),п, й,(!) и!. [О,т] ~ За эь< зев — некоторая система функций. 1-м моментом функции и(т) относительно и,(!) системы Н(!) называется интеграл вида т !й =]Ь(»Ц!)аб 1=1,п. о Система равенств (5.35) называется моментной системой (или системой моментных уравнений). Система функций Н называется моментной системой функций. Числа Х „! =1,п называются моментами функции и(!) относительно.чочентной системы Н. Множество )» = [Х» .
й = 1,п] называется множествоммоментов. 602 Методы тео ии оптимального веления. Часть 1П Отметим, что равенства (5.35) — это функционалы, имеющие одну и ту же норму: если 1>» Я и Г, г и [О, Т], то (5.36) 1й», 1< = 1, 2,3, .... Поскольку мы рассматриваем гильбертово пространство 1л [О, Т1, как уже указывалось выше, всякий линейный функционал записывается как скалярное произведение 16, =(и,lц) = Х„1= 1,п. (5 371 Приведенные рассуждения можно обобщить на абстрактные линейные нормированные пространства и рассмотреть проблему моментов в этих пространствах.
Выше было отмечено, что всякий линейный функционал можно рассматривать как элемент сопряженного пространства. Для функциональных пространств функционал задается производящей функцией и(1) . Поэтому в наиболее обшей форме проблема моментов может быть сформулирована так: найти такой функционал 1, который на заданной системе элементов 1>>(г),1>з(т) ...,Б„Я принимал бы значения Х>,Х»,...,Хь, т.е. 11>, =Х„1=1,2,3,...,п. (5.38) Функционал, который удовле>пворяет (5.38), называется разрешающим. Известно [25), что сформулированная проблема моментов имеет не единственное решение, т.е.
существует много функционалов 1, которые дают решение проблемы моментов. Д>я получения единственности решения вводят дополнительные ограничения. Например, можно поставить задачу об отыскании такого линейного функционала 1, который не только давал бы решение проблемы моментов (5.38), но и имел бы минимальную норму (например, в пространстве УУ' [О, Т! ). Содержание 1, -проблемы моментов:,Т.
-проблема моментов формулируется так> найти необходимые и достаточные условия для сущесп>вования такого функционала 1, который дает решение сформулированной выше проблемы моментов и, кроме того, удовлетворяется неравенство с т )!и(т)! <1т прнр>1, 9<и>; о (5.39) чга(о„вт гаах!и(т)! при р =1, 9 = аз. Проблема моментов формулируется следующим образом [9, 25).
Заданы моменты Х» функции и(т) относительно элементов моментной системы НЯ. Число заданных момен>пов может быть как конечным, так и бесконечным. Как показано в [9], задание конечного числа моментов соответствует системе с сосредоточенными параметрами. Для исследования управляемых систем с распределенньоии параметрами необходимо рассматривать бесконечное (счетное) число моментов. Требуется найти условия существования, единственности, а по возможности вычислить или оценить производящую функцию и(1) (или, что то же самое, необходимо найти функционал ! и 1т из набора мол<ентных уравнений (5.35)). Так как интеграл (5.35) можно рассматривать как линейный функционал, то последний определяется порождающей функцией и(1), а функции ь»(г) можно рассматривать как элементы, на которых этот функционал определен, т.е.
интеграл (5.35) записывается в виде 603 Глава б. Методы математического о амм овация Содержание оптимальной проблемы моментов: найти функционал ! и Ет [О,Т] (или, что то же самое, производящую функцию и(т)), такой, который удовлетворяет условиям (5.38) и имеет минимальную норму в Е!" [О, Т], т,е. [[![[; [с,г[ =[[ [[,. [с,г[ = (5.40) функционал 1, удовлетворяющий условиям (5,38) и (5.40), называется оптимальным разрешающим функционалом [25). Такого рода задачи были рассмотрены Крейном для конечномерной проблемы моментов. Далее будем рассматривать задачу в Ел [О,Т]. Можно показать справедливость следующей теоремы: проблема моментов разреисима для любых Хы Хз, ...,).„тогда и только тогда, когда функции !ц (!), !зг (!), ..., Ь„(!) линейно независииы.
Теорема, приводимая ниже, дает ответы на следующие вопросы [9, 25): 1) существует и является ли единственным функционал ! с минимальной нормой [![,. = щ!и? 2) как найти порождающую функцию и(1), дающую решение оптимальной проблемы моментов? 3) как найти минимальную норму функционала ! в Е!" [О,Т]? Теорема [311. Пусть !!!(1) н Е [О, Т]; Х ! н Я; ! = 1, и; и(1) и Ее [О, Т]; ! р+ '! д = 1 и задана система т ] Ь„(!)и(1)!(! =Х„, ! =1,п, о где !ь(1) — линейно независимые элементы.
Тогда в пространстве ЕЯ [О, Т] существует единственный линейный функционал 1, такой, что выполнены условия т й, =] Ь,(!)и(т)с!т =Х„1=[,п; о [![~п =[]и][, =ш!и. Минимальная норма определяется равенством [
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
