Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Эта задача может быть решена на ЭВМ как задача математического программирования. Рассмотренная задача расчета /гг,/сз,...,/с„может быть сведена к задаче аппроксимации в ~! !О, Т~ . 612 Методы тео ии оптимального авлення. Часть 1П В самом деле, имеем: 3 / Е/((Е) /Еггг(Е) "' /(((2(((Е)) (/' о Необходимо найти такие значения коэффициентов ЬЕ,/(2,...,Ь„, которые доставляют ппп./.
Это равносильно задаче аппроксимации функции /~Е(е) линейной комбинацией функций /~!(е), /2(е),..., /„(е) в С (О,Т~). Это классическая задача Чебышева о нахождении функции /((е)-~Ь„,/„(е), ч=г наименее уклоняющейся от нуля. 6.6.3. ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫЙ ВАРИАНТ Если объект управления является многомерным, а его динамика описывается уравнением в пространстве состояний (5.51), то имеет место векторно-матричное соотношение (5.55), или, что то же самое,, Ь,((е) /ьг(т) ... Ь( (т) Ь2 ! (т) Ь22 (т) Ь2 (т) и, т и2 (т) (5.66) и (т) Ь„, (т) Ь„г (т) ...
Ь„„(т) Решение задачи имеет вид 1/(е) = Х„)К'Н(е)( 31дпК'Н(е), О < / ь 7', р >1, (5.67) где вектор К = (/((,/сг,...,Ь„) и число /(„есть решение следуюшей задачи: найти (г фр ппп )Е(1КН(е)~' о/е~ о )((( при условии ЛК =1. Норма оптимального управления определяется формулой (9) !1П11=: Каждая из компонент вектора 1/" (т) может быть рассчитана по формуле (5.67). Или ппп ),) ) Ь("/2„(Е) (/е при условии М+ "212+-+/(,Ь, =1 Доказательства приведенного факта можно найти в 19).
Полученные результаты могут быть использованы для построения оптимальных программных управлений и .оптимальных программ. при этом оптимальные коэффициенты /((,Ьг,...,/(„находятся как решение следую- щей задачи: найти Глава 5. Методы математического о амм ванна 613 6.6. УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Выше были рассмотрены задачи оптимального управления: нахождение оптимального управления (Г(г), переводящего объект из начальной точки Х в конечную точку Х, при этом критерий качества должен иметь минимум. Однако прежде чем строить 6'(г) необходимо убедиться, а имеет ли поставленная задача решение, т.е.
возможен ли в принципе перевод данного обьекта, имеющего конкретную математическую модель, из точки Х в точку Х . Другими словами, перед построением оптимального управления 13'(г) необходимо убедиться, обладает ли объект свойст- вом управляемости в указанном выше смысле. То есть возможность приведения ЛНС в любое требуемое состояние Х(г) и к любому требуемому значению выхода Х,(г) с помощью сигнала управления отражается понятиями управляемости по состоянию и по выходу.
В зависимости от степени и характера этой возможности вводят в рассмотрение несколько разновидностей понятия управляемости (39). В теории стационарных систем наиболее широко используется понятие полной управляемости, которое справедливо и для ЛНС. Система называется полностью управляемой по состоянию (по выходу), если из начального состояния Х(гв), соответствующего любому гь, она может быть переведена в любое окончательное состояние Х(гз) за конечное время гз -гь ограниченным входным сигналом м'(зфм'(г)~ < ьз~, Иначе говоря, существует такое зю ге < гь < ьь, что Х(зь) = Хь . У нестационарных систем имеются такие свойства, которые заставляют чаше, (чем в стационарном случае), использовать и другие, более тонкие понятия управляемости, например понятия полной управляемости на интервале (гв,гз); абсолютной управляемости на интервале (Гь,гз ),и т.п., предполагающие у системы наличие свойств, указанных в определении соответственно на заранее заданном интервале (Гь,з„] (в определении правый конец этого интервала заранее численно не задан); на любом конечном подынтервале, принадлежащем заданному (гь,зь ) .
Критерии управляемости для ЛНС существенно отличаются от аналогичных критериев систем стационарных. Рассмотрим методику их вывода на примере критерия полной управляемости на интервале (зь,зь) . Выводить этот критерий гораздо удоб- нее для системы (5.68) (5.69) — многомерного интегратора, к которому исходная система приводится с помощью линейного неособого преобразования, характеризуемого (их и) матрицей Т(г): х(з) = т(г) х(г). (5.70) Действительно, продифференцировав соотношение (5.70), имеем х(г) = т(з) х(г)+т(г) х(г), 614 Методы тео ии оптимального авления. Часть П! откуда х() =т '()х()-т '()т()х() Подставим полученное выражение Х(!) в формулу объекта управления: т '(1)х(1)-т '(!)т(!)Х(!)=А(!)х(!)+В(!)1)(!); х(1)=т(1)т '(!)Т(1)т '(1)х(1)+т(1)А(1)т '(!)х(!)+Т(!)В(!)!)(!)= =[т(!)т '(1)+т(1)А(1)т '(!)~х(!)+Т(!)В(1)1)(1); Х,(1)=С(1)Т '(1)Х(1).
(5.7 1) Если матрицу Т(1) выбрать так, чтобы выполнялось т(!)т '(1)+т(1)А(1)т '(1)=0, (5.72) то из формулы (5.71) получим (5.68), (5.69), где матрицы ту(1) =Т(1)В(1); ~ Р(1) = С(1) т-' (!).] Нетрудно убедиться, что матрица Т(1) = Ф(1о,1), (5.74) равная ПМ системы удовлетворяет условию (5.72); выполнив в левой части уравнения (5.72) подстановку (5.74), получим Ф(го !)Ф (го,1)+Ф(го !)АЯФ '(го,г)= Ф(!о 1)А(1)Ф (!о,!)+Ф(го !)АЯФ '(1о 1) =О, т.е. уравнение (5.72) превратилось в тождество, н выражение (5.74) действительно является решением уравнения (5.72) относительно Т(1) .
Поэтому согласно (5.73) В(1) = Ф(го,г) В(1); (5.75) г(!) =С(1)Ф '(!о,!)=С(1)Ф('го) $ (5.76) Первая форма критерия управляемости ЛНС. (5.73) критерий 54 управляемости по состоянию, снекма(548), в которой Р(г)»с~[ге,1,], полностью управляема по состоянию на [ге,ге] тогда и только тогда, когда (лхя) матрица Ую(гс,гь)- неособая, где Ух1(гс гя) =)Р(!)Р (!)г)г. (5 77) Достаточность этого критерия нетрудно доказать, если положить т() (5.78) Запись Р(!)» с~[!с,ге] означает, что каждый элемент матрицы Рр) принадлежит к классу функций, интегрируемых с квадратом на [ге,ге] . тогда, учитывая, что Х(1) =Т '(!)Х(1) (см. формулу (5.70)), уравнения объекта приведем к виду Глава 5. Методы математического о амм ования 615 где Π— нулевая и-строка.
(!лп) Действительно, в силу линейной зависимости строк Ухг =]ух! Ух! " Ух! ~ матрицы Ух, (т.к. она особая), согласно определению линейной независимости существует и таких чисел с„)= 1, и, что л , 'сУхг,.= О. (1 п) Произведение в левой части формулы (5.80), представляющее собой и-строку ] и л л С Ух! =~Хсгухг„,)'.,сух4 ",у,сгух1,„ ~=! ~=1 ~=1 можно раскрыть в виде +С1УХ!п " +С!УХ!,„ +С2 УХ!п ... +С2УХ!г +с!УХ1, +С2Ух!г +с!ух!и +сзух1п Х! Х1 т +ел УХ! +Слух!„, +Слух!„, ".
+Слух!„ откуда с учетом формуяы (5.8!) следует равенство (5.80). Умножнм слева н справа соответственно на С и С обе части выражения (5.77); получим где и» вЂ” неизвестный постоянный и-вектор. тогда уравнение (5.68) примет вид — =О(1)1» (1)й», ~(1) т с11 сбб(1) = Г»(1) Т»т (1) а»г)1; интегРиРУЯ левУю и пРавУю части от 1о до 1», полУчим ~(1») ю(1о)=Ух!('о 1»)ю» Это соотношение превратится в тождество (т.е. система переведется из состояния Е(1о) в л (1») за время 1» -1о управлением (5.78)), если вектор 8» в управлении (5.78) выбрать равным Я» мУХ!(1О,1»)~Х(1»)»(1О)1.
(5.79) Но нз (5.79) следует, что такой вектор, а следовательно, и такое управление типа (5,78) существует лишь в том случае, если матрица Ую (1о,1») неособая, что н требовалось доказать. Несложно показать необходимость сформулированного критерия. Следствие 1. Система (5.68) полностью управляема по сосюянию на (ге,г„] тогда и только тогда, когда строки ма!рнии П(г) есть линейно незввисимме функнии аргумента г. Следствие доказывается на основе рассмотренного критерия методом от противного. Пусть матрица У„; (1о,1» ) особая, тогда существует такой постоянный ненулевой и-вектор С = (с,,сз,.,.,сл], что С У1п(1о,1»)=(0 0 ...
О) = О, (5.80) 0 п) в 616 Методы тео ии оптимального п веления. Часть 1П С"Ух,((„г„)С=] СтТ)(Г)ит(Г)С(Л Учитывая формулу (5.80), имеем гд О=])т(г))(г)((=][)2(г)+Х,'(г)+...+Хз(г)] ((>0, (5.82) го ь где )ь~ (() = !)~ (г)С- п-вектор, но тогда равенство в выражении (5.82) может иметь место только в том случае, если ).т (г) = с'в(г) = о . (5.83) 0") Отсюда следует, что строки матрицы ья(г) линейно зависимы (см, формулу (5.80)). Однако формула (5.83) получена из предположения о том, что матрица Ую (го,(ь) особая. Если же она неособая (т.е. если система (5.68), согласно рассмотренному критерию, полностью управляема по состоянию на [го,г„] ), то такого вектора С, что справедливо соотношение (5.80), а следовательно, и (5.83), не существует.
Тогда по определению линейной независимости строки матрицы Р(Г) линейно независимы, что и требовалось доказать. Критерий йд управляемости по выходу. Система (5.68), (5.69), в которой р(г„) В(г) е А, [гс,г,], полностью управляема по выходу на [гс,гь] тогда и только тогда, когда (г х г) матрица Уп(гс,ц)=/р(гь)В(г)В (г)р (гь)яг (5.84) ь неосойля. Достаточность доказывается аналогично тому, как это сделано при доказательстве достаточности критерия 5.1, если положить У(г) =1)'(г)р'(г,)Е„, где Яу — постоянный г-вектор. Поскольку состояния Х(г) и Х(() (системы (5.68)) связаны неособым преобразованием У(() =Ф(г„г)Х((), критерий 5.! является необходимым и достаточным критерием полной управляемости на интервале [го,гл] по состоянию и для исходной системы, а критерий 5.2 — необходимым и достаточным критерием полной управляемости на интервале [(о,(ь ] по выходу и для исходной системы; нужно только матрицы управляемости Ую (го,(л ) и Ую ((о,га) выразить через параметры исходных уравнений.
Сделать это нетрудно, используя соотношения (5.75), (5.76). Критерий 5З. Система, в которой Ф(гс,гь)В(г)аь~[гс,гь], полностью управляема по состоянию на [гс,г„] .сопка и только тогда, когда (г х г) матрица У,, (г„гь) =] Ф(гс,г)В(г)вт(г)Фт(гс,г)нг Глава 5. Методы математического п о амм ования 6!7 Критерий 5.4. Система, в коюрой К(гюг) е с~[ге,гх], полностью управляема по сосюянню на [ге,г„] тогда и только тогда, когда (л хи) матрице ! Уп(зюга)=[К(г,,г)К (сх,г)лу (5.85) д = -А (г) е —.
л' лг Критерий 5.б. Пусть в системе А(г), В(г) — матрицы, дифференцируемые соответственно (л-2), (л-1) раз почти везле на инюрвале [ге,г,]. Для полной управляемости по выходу на интервале [ге,б] такой системы достаточно, чтобы (гхлт) блочная матрицауправляемости У„„=С(гь)[В(г)(Д(В(г)):....:А" '(В(г))]=С(гь)Ухп(г), л' Ь=-А(г)+— сл имела ранг г почти везде на некотором конечном подынтерваве [г,,г, ] интервала [гедз ] Критерии 5.5, 5.6 становятся необходимыми и достаточными критериями абсолютной УпРавллемости соответственно по состоЯнию на [года] системы, по выходУ на [(о,(е] системы, если требования, предъявляемые этими критериями, выполняются почти везде на интервале [го,га ] [39].
(5.89) Пример 5.8. Пусть система имеет конкретный вид (5 90] неособая. Согласно соотношениям (5.75), (5.76) из формулы (5.84) получим б Ум[го ге) =]С[ге)Ф[гя го)Ф[го г)В[у)В [г)х га (5.86) х[Ф[ги,го)Ф[го г)1 С (га)й. Учитывая, что Ф[(„,( )Ф(го,() = Ф[га,г), вместо матрицы (5.86) получим матрицу (5.85). Втораи форма критерия управляемости ЛНС. В необходимых и достаточных критериях полной управляемости ЛНС на интервале [го,ге] по состоянию и по выходу (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
