Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 121
Текст из файла (страница 121)
И только в окрестностях точек стыка «„, «„ варьируемые траектории вспомогательной задачи могут, вообще говоря, выходить за пределы области В. Однако, как показано в (5] (см. 84.4), несмотря на отмеченное обстоятельс~во, необходимые условия оптимальности вспомогательной задачи сохраняют свою силу и для исходной задачи.
Условия оптимальности для вспомогательной задачи можно записать, воспользовавшись теоремой 4.4 (5]. т Введем вспомогательный вектоР «У(г) =(«!«о(Г),«!««(г)" «!«,(Г)) " скаллр"Ук> функцию л Н(Ч«,х,в) = ~«!««Ях,в) =[«!«) !'(х,в), «=о где цх,в) =(у (х,н),...,у„(х,ц)) — (п+1)-мерный вектор. Вспомогательную вектор- функцию «!«(г), если она соответствует движению в открытом ядре области В, опре- делим системой уравнений «Ч~о «М ВН(Ч~.х.н) о«г «й дх, а при движении по границе области  — уравнениями П иложение 1.
Оптимальное и авление п и о аничениях на коо динаты 643 ан(ц,х,н) ар,(, ) а=о '= ' ' +7(г) ' ','=1л аг ' аг ах, дх, Траекторию ге <1< ~, будем называть регулярной, если регулярен каждый гра- ничный участок этой траектории, т.е. если регулярна относительно области ез (х) каждая лежащая на границе области В точка х(г) данной траектории. Будем говорить, что в точке Г выхода на ограничение выполнено условие скачка, если имеет место одно из выписанных ниже трех соотношений: ре(г„+0) = ща(1,„-0), ц,(г„'-о) =о, дд (х(г,„)) ",' дФ" (х(г„)) (П!.13) дя (х(г,„)) "~ы дФ" (х(г„)) Ч~ Х(р,) ио.
(П!.14) Аналогично, в точке отражения г„выполнено условие скачка, если выполняется одно из трех соотношений: ц е(г„+0) = Фо(Г„-О), (П1.15) ц,(г.'-О) =О, , ая,(х(1„')) -' „аФ,"(х(г.')) (П!.16) д,-1 (р",)' ~0; ч=е ц о (га + 0) = О, е дд (х(гч)) ~~ ' дФ" (х(г„)) (П!.17) д -1 ~~„(р") ~0; ь=а ц~е(г„+ 0) = 0 о ВК;(х(Г )1 ч;~ дФ"(х(Г )) (П1.!2) дх, ах, ад,(х(г )) "' 1 „дФ,"(х(г„)) дх, цы " дх, П вложении 644 здесь д (д, < д ) — порядок точки отражения. Далее, будем считать, что в момент г„схода с ограничения выполнено условие скачка, если у(г, +0) = фг„-О), (П1.18) либо Чс(гч +0)=0, дФ~' ~(х(г„)) у,(г„+0)=13 з ", 1=1,ю, дх, (П1.19) Последнее соотношение (П!.19) должно иметь место для любых действительных чисел О"„, ч = 0,9 г -1.
В равенствах (П1.12) — (П! .19) р,"„~ = 1,д — ! — некоторые действительные числа. Для констант р"„', р",', входящих в условия (П!.12), (П1.!5), справедливы следующие соотношения: р"' >О, если г, — точка выхода на ограничение; д~-! < - < р„0,9, д,, (П1.20) (П1.21) если г, — точка отражения траектории; я -1 н' =О, а (П!.22) если г„— точка отражения траектории н выполняется хотя бы одно из двух соотношений: Р,(х(г,),п(с,„-О)) = О, Р, (х(г„), в(г, + 0)) = О. Кроме того, в условии (П!,13), если оно применяется в паре с (П1.18) (а зто возможно, когда 9 >1),атакже в равенствах(П1.16) и(П1.17) при д =д справедливо соотношение (П1.22). Далее отметим, что для одного и того же граничного интервала Г„< Г < Г,„условие скачка в форме (П1.14) может применяться только в сочетании с условием (П1.18).
Обратное утверждение неверно, т.е. условие скачка в форме (П1.18) может применяться в паре с (П1.12) либо (П!.13). Интервал г„й г < г, назовем граничным интервалом первого рода, если в момент гч схода с ограничения выполняется соотношение (П1.18). Интервал г, < Г < г„будем называть граничным интервалом второго рода, если в точке схода Г„выполняется соотношение(П1.19). Интервалы г, <1 <1„,, а= 1,з-1, г <! <!,, г„<гй!о соответствующие движению фазовой точки в открытом ядре области В, назовем внутренними интервалами. П иложение 1.
Оптимальное авление п и о аничениях на коо динаты 645 и траектории х(г) необходимо существование непрерывной на отрезке гь < г < г( (за исключением, быть может, точек стыка) вектор-функции цг(г), кусочно- непрерывных функций Ц~), ч„(Г),7 = 1,1, определенных в каждом из граничных ин- тервалов Г Н(Н(„, а=(,з, таких, что: 1) вектор-функция цг(() определяется на внутренних интервалах системой уравнений (П1.10), на граничных интервалах — уравнениями (П1.11); 2) в каждом из интервалов движения функция Чув(г) ~ 0' 3) на граничных интервалах выполняются соотношения ан(ц (г),х(г),н(г)) др,(х(г),н(г)) ' ВВ„(п(г)) =ЦГ) +~и„(Г) ", 1=!,г, ди, чт(г)Ру(ц(()) =О, чу(Г) и О, '1 — 1 1, («<( г« (П1.23) причем Цг) > О, если г < г < г — граничный интервал первого рода; 4) в каждой точке стыка оптимальной траектории выполнено условие скачка; 5) выполняется условие максимума функции Н(чг(г), х(г),п(г)): а) на внутренних интервалах Н(цг(г),х(г),п(г)) = шах Н(цг(г)),х(г),п), ««о б) на граничных интервалах первого рода Н(ж(г),х(г),н(г)) = шах Н(ц«((),х(г),п), ««и («) в) на граничных интервалах второго рода Н(цю(г),х(г),п(г)) = гоах Н(у(г),х((),н); (П! .26) «««(«) 6) в каждом из граничных интервалов выполнено условие нетривиальности ре- шения (П! .24) цю(г) и(0, р 8гадф" (х(г)), (П1.27) где р — произвольное действительное число; 7) в каждыймомент времени г, гв <г <гш вектор-функция у(г) иО (общееусловие нетривиальности решения); 8) функция Н(цг(г),х(г),п(г)) мО, ( <( <го Замечание 1.
Условие скачка в форме (П1.12) можно отнести к точке схода г„, положив вектор-функцию цг(г) непрерывной в точке г,. По тогда условие максимума (П1.25) следует заменить соотношением Н(цг(г),х((),п(()) = пзах Н(цг(г),х(г),п). ««О\ («) Теорема П1.1 задает необходимые условия оптимальности при ограничениях произвольного порядка.
Однако степень сложности условия скачка существенно зависит от порядка ограничения. Для ограничений первого порядка условие скачка за- Теорема П1.1. Пусть регулярная траектория х((), гв < г < по принадлежит области В и соединяет заданные точки х и х, Для отпимальности управления п(г) е П иложения метно упрощается. Если г, — точка выхода на ограничение первого порядка (или точка отражения), то, как следует из (П!.22),(П1.28), (П1.27), соотношения (П1.16), (П1.17), (П1.!4) оказываются принципиально невыполнимыми и их следует исключить из условия скачка. Далее, в [3) доказывается, что в условии скачка, соответствующем точке отражения, ро, > О. Из (П1.21) следует, что )г~ = О, т.е. соотношение (П! .15) принимает вид цю(г ч- 0) = цКг — 0) .
(П1.28) Очевидно, условие скачка в форме (П1.28) можно отнести также и к теореме 24 [3). Отметим, наконец, что условие скачка в форме (П!.13) может выполняться (для одного и того же граничного участка) только в сочетании с условием скачка в форме (П1.19). Вместо регулярности траектории х(г) можно требовать ее слабую регулярность. Пусть я(г), г„< г < г,, — некоторое управление, а х(1) — соответствующая ему траектория системы (П1.1), целиком лежащая на границе Я, области В. Граничный участок г, < г < г, траектории х(г) называется слабо регулярным, если в каждый момент времени А г„< ! < г,, следующие векторы 8гадЯ„(ц(г)), у и У(н(г)), (П1.29) 8 га д „Р, (х(г), н(г) ) линейно независимы.
При зтом в каждой точке г' разрыва управления и(г) (включая и точки г„г, ) линейно независимыми должны быть как векторы (П1.29), определяемые парой (х(г'), н(г' — 0)), так и векторы, определяемые парой (х(уч-О),и(г'+0)) . тРаектоРиЯ х(1), го <г < г,, называетсЯ слабо РегУлЯРной, если слабо регулярны все ее граничные участки.
Ниже, наряду с областью ы, (х), нам понадобится ее подмножество Й, (х), такое, что точка х регулярна относительно множества Й (х), Аналогичным образом вво- дятся области Й, (х) н оз,(х) . Теорема П1.2. Пусть и(г), го < г < г,, — оптимальное управление, а х(г) и  — соответствующая ему траектория. Если траектория х(г) слабо регулярна, то справедливы все условия теоремы П1.1, кроме соотношений (П! .25) и (П1.26), которые следует заменить равенствами: Н(цю(г),х(г),ц(г)) = п1ах Н(~у(г),х(г),ц), (П1.30) неа оо Н(цю(г),х(г),и(г)) = гпах Н(йю(г),х(г),н). (П!.31) нча М) Для технических объектов области со (х) и со,(х) обычно совпадают с замыка- нием множеств Й (х) и Й (х) .
Но тогда условия максимума (П1.30) и (П1.31) можно заменить соотношениями (П1.25), (П1.26), т.е, в зтом случае слабо регулярная оптимальная траектория удовлетворяет всем условиям теоремы П1.1. Теорему П1.1 можно усилить, если в качестве допустимых управлений рассматривать кусочна-непрерывные, кусочно-гладкие вектор-функции и(Г) . П иложение1. Оптимальное авление п но аничениях на кос динаты 647 Теорема П1.3. Пусть допустимые управления п(г) представляют собой кусочно- непрерывные, кусочно-гладкие вектор-функции ц(г) е У . Если оптимальная траектория х(г), га <! <1,, регулярна,то: !) выполняются все условия теоремы П!.1; 2) на каждом граничном интервале в каждой точке дифференцируемости функции ).(1) — < О. г(Х (П1.32) й Замечание 2.
В теореме П!,3 оптимальную траекторию х(г) можно считать слабо регулярной. Это приводит к изменению пункта 1 теоремы. Именно, в пункте 1 ссылку на теорему П1.1 следует заменить ссылкой на теорему П1.2. Сделаем замечание, общее для теорем П1.1 — П1.3. Замечание 3. В теоремах П1.1 — П1.3 соотношения (П1.12), (П1.15), (П!.18) являются главными в условиях скачка. Дело в том, что в нормальном случае уа(г) я О, и условия скачка в других формах оказываются невозможными. Остановимся кратко на обсуждении полученных результатов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
