Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 127
Текст из файла (страница 127)
з 5!пппс <0,5!япс „<О. (П !.145) то из (П!,110) и (П1.109) получаем равенство и(т — 0) = и(т * + 0) = -Аз!дп с . (П1.146) Из (П!,146) следует, что при переходе фазовой точки с одной ограничивающей плоскости на другую оптимальное управление и(т) должно иметь хотя бы одно переключение. Из (П1.14!) и (П!.!42) вытекает тогда, что первая из функций (Г!!.120) должна иметь не менее трех нулей.
Последнее невозможно, т.к. в соответствии с леммой (52.3) указанная функция может иметь не более двух нулей. Таким образом, оптимальная траектория х(т) может иметь только один участок. лежащий на границе области В. Покажем, что изображенная на рис. П !.5 траекгория ОМ7тР7. принадлежит поверхности переключения. Для этого достаточно показать, что для любого т., т, <т. < т,, можно так выбрать вектор начальных значений ср =(сре,ср~,срз,ср,) и число р„, что в интервале 0 < т <'т.
выполняются условия оптимальности (П1.110), (П!.119), (П1,137) — (ГП.!42), а в самой точке т. 674 П иложения Указанный выше вектор Чз с точностью до постоянного множителя найдется из о системы уравнений Ч з (т,) = Чз, К(т,)+Чзз К(т,)+Чзз К"(т!) =О, о о о Чзз (т1 ) = Чз~ К(т1 )+Чзз К (т~ )+Чзз К"(т~ ) = О, а о о Н(Чз(0), х(0), и(0)) = О, где т, — момент первогр переключения (соответствует точке М). При т>т, функ- ПиЯ Чзз(т) опРеделЯетсЯ Равенством Чзз(т) = Чз1(т1)К(т — т> ) + !зоК'(т — т> ) Число ро выберем таким образом, чтобы обеспечить выполнение уравнения (П1.! 47), т.е. положим К(т.-т, ) Ззо = -Чз1(т!) К'(т.-т, ) (П!.149) )хз+Ьх, ) <й, то в первом случае поверхность переключения строится аналогично пункту 1, а во втором — по аналогии с пунктом 2.
7. Обобщение задачи синтеза. В заключение остановимся кратко на случае, когда одновременно заданы ограничения на скорость движения и ускорение, т.е. область В задается неравенствами ! хз ) < 1)ы) хз ~ < О,. Для отыскания оптимального управления можно воспользоваться достаточными условиями оптимальности (теорема П1.4) или необходимыми условиями оптимальности, задаваемыми теоремой П1.7.
На рис. П1.6 изображены траектории, задающие поверхности переключения, причем рассмотрен наиболее интересный с теоретической и практической точек зрения случай, когда траектория ОМН нарушает ограни- чение ! 1- (П!.150) Из соотношений Н(Чз(т,),х(т!),и(т,)) =Чзо+Чз,(т,)хз(т,)=0, Чзо(т) <О и уравнений (П1.136) вытекает выполнение неравенства (П!.137), выполнение условий (П!.! 10), (П1.!! 9), (П! .141), (П!.142) следует из уравнений (П1.148) и (П1.149). Таким образом, доказано, что траектория РЕ (как и вообще любая из сходящих в обратном времени с прямой Ьзб траекторий) приналлежит поверхности переключения. Далее, изображенная на рис. П!.5 совокупность траекторий, примыкающих с управлением и = А к линии ОМР' и не имеющих граничного участка, также принадлежит поверхности переключения.
Для завершения построения поверхности переключения необходимо к траекториям, изображенным на рис. П1.5, присоединить симметричные (относительно начала координат). Изображенная на рис. П1.5 поверхность переключения была построена, исходя из достаточных условий оптимальности (теорема П1.7). Однако тот же самый результат может быть получен, если воспользоваться необходимыми условиями оптимальности, задаваемыми теоремой П!.7. Далее, отметим, если ограничения на фазовый вектор имеют вид ~х, +Ьзхз+Ьх, ~ < 0 П иложение1.Оптимальное п авлениеп но аниченияхнакоо динаты 675 Если траектория ОМ!т' не нарушает ограничение (П1.150), то поверхность переключения образуется траекториями, изображенными на рис.
П1.5 и продолжаемыми до пересечения с границей области В. Правда, при этом линия МР мохеет иметь раничный участок, и тогда точка Р лежит на пересечении плоскостей хз = -Рз,хз = Р,. Рае. П!д. Графики траекторий На рис. П!.6 траектория ОММРЯ касается ограничивающей плоскости х, = Рз в точке Р. Отрезок РО представляет собой траекторию движения системы (П1.109) по границе х, = Рз . Напомним, что движение по указанной границе возможно лишь в пределах отрезка (П1.133). Дополним исследование, проведенное выше, рассмотрением нерегулярных траекторий. В целях упрощения будем предполагать, что в уравнениях (П1.109) а, =О, т.е. рассматривается астатический объект. Граница допустимой полосы (П1.112) на плоскости хз = -Р задается прямыми азхз — а~О = А, азхз — а~О = -А, на одной из которых управление достигает значения А, а на другой -А (см.
рис. П1.7). На плоскости хз = 0 допустимая полоса ограничена прямыми азхз + а~ 0 = А, азхз + а, 0 = -А. Условие регулярности (слабой регулярности) траектории х(г) для рассматриваемой задачи выливается в требование: на каждом граничном интервале управление и(!) должно удовлетворять неравенству ~ (г)!<А, т.е. траектория х(г) не должна содержать точек, принадлежащих границе полосы (П 1.!! 2). Так как движение системы (П!.109) по границе полосы (П1.
! 12) невозможно, то траектория х(г) может иметь лишь некоторое конечное число точек, в которых не выполняются условия регулярности. Повторив рассуждения, приведенные в 9!.2, нетрудно показать, что для объекта (П1.109) теорема П1.5 сохраняет свою силу и в случае нерегулярных траекторий. П вложения 676 На рис. П1.7 изображены траектории, задающие поверхность переключения, построенную с учетом нерегулярных траекторий. Включение в рассмотрение нерегулярных траекторий позволяет заметно расширить область оптимальной управляемости системы. Именно, построенная в пункте 1 поверхность переключения (см.
рис. П1.3) дополняется совокупностью траекторий, примыкающих с управлением и = -А к траектории ЕГ (рис. П1.7), где точка Е лежит на границе допустимой полосы (П1.112) (хз = — О). Кроме того, поверхности переключения принадлежат также траектории, примыкающие с управлением и = -А к отрезку,/Е' (точка Е' симметрична относительно начала координат точке Е). Отметим, что отрезок ./Е' и точка г лежат на границе допустимой полосы (П!.112) (хз — — О) . Рит. П1.7. Графики траектория На рис. П1.7 представлена лишь часть траекторий, образующих поверхность переключения. Остальные траектории являются симметричными (относительно начала координат) изображенным.
Мы рассмотрели синтез оптимального управления в предположении о том, что характеристическое уравнение (П1.108) имеет только действительные корни. Нетрудно видеть, что полученные результаты справедливы также и в случае комплексных корней характеристического уравнения, если время движения по оптимальным траекториям от 1 одной ограничивающей плоскости до другой не превышает — Т, где Т- период собст- 2 венных колебаний системы (П1.109). Пример синтеза оптимального по быстродействию управления при ограничениях на фазовые координаты для системы, состоящей из колебательного звена и интегратора, подробно рассмотрен в 94.3 (5!. В литературе [22), (23] выделен класс нелинейных объектов управления, названных неосциллнрующими, для которых выполняется теорема об (и — 1) переключении оптимального управления.
Анализ задаваемых теоремой П1.3 необходимых условий оптимальности показывает, что для неосцнллируюших объектов третьего порядка справедливы результаты, аналогичные изложенным в настоящем параграфе. Именно, если ограничения на фазовые координаты имеют первый порядок, то структура поверхности переключения, с помощью которой задается оптимальное управление при движении Фазовой точки в открытом ядре области В, совпадает с изображенной на П вложение 1.
Оптимальное п авление и о аничениях на коо динаты 677 рис. П!.7. В тех случаях, когда ограничения на фазовые координаты имеют второй порядок, структура оптимальной поверхности переключения задается рис. П1.5. Пусть, например, движение системы описывается уравнениями х~ = 7~(х1 хг) хг = уг(хихг,хз), хз = Л(хз ") = "(хз) ' "+ Фхз)* )з(хз) ) О, и заданы ограничения (П 1.151) /и1< А, (П1.152) 1хз1ь О. (П1. 153) Будем предполагать, что функция 7, (! = 1,3) непрерывно дифференцируема по переменным хих,,хз.
В соответствии с !22] система (П1.151) является неосциллирующей, если выполняются неравенства д7г(х) > й юг(х) дхз Для обьекта (П!.151) ограничение (П!.153) имеет первый порядок, и, следовательно, в открытом ядре области В оптимальное управление задается с помощью поверхности переключения, изображенной на рис. П!.7. Заменим в соотношениях (П1.151) — (П1.153) неравенство (П1.153) ограничением (хг!<0, которое имеет второй порядок. Тогда структура оптимальной поверхности переключения будет задаваться рис. П1.5. Здесь следует только иметь в виду, что линия СРИ, представляющая собой траекторию движения фазовой точки по границе области д, в отличие от (П1.134) определяется уравнениями хг = -О, /',(хихг,хз) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
