Примеры решения задач (1094491)
Текст из файла
Ïðèìåð 92.1. Ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Ïèðñîíà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè âûáîðêè, ïðåäñòàâëåííîé â òàáëèöå92.2 ïðèìåðà 96.1.Ð å ø å í è å: Ðàçîáü¼ì âñ¼ ìíîæåñòâî çíà÷åíèé âûáîðêè òàáë. 92.2íà 6 èíòåðâàëîâ, ãðàíèöû êîòîðûõ çàíåñåíû âî âòîðîé ñòîëáåö òàáë. 92.4.Òàáëèöà 92.4j0123456Ðåøåíèå ïðèìåðà 92.2ajmjF (aj )m′j2,510,01550,9693,030,08002,6593,540,25734,2464,040,54043,9484,520,80362,1375,010,94600,6735,50,9909 òðåòèé ñòîëáåö òàáë. 92.4 çàíîñèì êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé mj ,ïîïàâøèõ â j -ûé èíòåðâàë. Ïî ôîðìóëàì (93.2), (93.10), (93.5) îïðåäåëÿåì ïàðàìåòðû íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ x̄ è S ∗ äëÿ âûáîðêè èçòàáë.
92.2:S ∗ = 0,664x̄ = 3, 933;è íàõîäèì çíà÷åíèÿ òåîðåòè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (aj ). Â( a − x̄ )jäàííîì ïðèìåðå F (aj ) = Φ+ 0,5.  ïÿòûé ñòîëáåö çàíîñèìS∗′òåîðåòè÷åñêèå ÷àñòîòû mj , âû÷èñëÿåìûå, êàê óêàçàíî âûøå.Ïî ôîðìóëå (96.6) íàõîäèì çíà÷åíèå χ2íàáë = 0,228. Ïî òàáëèöåïðèëîæåíèÿ 4 äëÿ α = 0,05 è k = 6 − 1 − 2 = 3 íàõîäèì êðèòè÷åñêóþòî÷êó χ2êð (0,05; 3) = 7,8. Ïîñêîëüêó χ2íàáë < χ2êð (0,05; 3), íåò îñíîâàíèé îòâåðãàòü ãèïîòåçó H0 î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè âûáîðêè èçòàáëèöû 92.2. Çàìåòèì, ÷òî ýòîò ðåçóëüòàò õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ äàííûìè âåðîÿòíîñòíîé áóìàãè (ãðàôèê I íà ðèñ. 11).Ïîêàæåì èñïîëüçîâàíèå êðèòåðèÿ Ïèðñîíà ñ ïðèìåíåíèåì ïðîãðàìì â ðàìêàõ ïàêåòîâ Mathcad è Maxima.92.2. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ âèäà íåêîòîðîé çàâèñèìîñòè ïðîèçâåäåíî 100 èñïûòàíèé.
Ðåçóëüòàòû ïîëó÷åííûõ èñïûòàíèé ðàçáèëè íà 9 äèàïàçîíîâ, ãðàíèöû êîòîðûõ çàïèñàíû â ìàññèâ a:Ïðèìåð12MathCad-ïðîãðàììà:a := ( 69.2 69.8 70.4 71.0 71.6 72.2 72.8 73.4 74.0 74.6 )T ìàññèâå m ïðåäñòàâëåíî êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé, ïîïàâøèõ âñîîòâåòñòâóþùèé äèàïàçîí.m := ( 1 4 11 21 27 22 10 3 1 )TÑ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Ïèðñîíà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó H0 î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè âûáîðêè ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α = 0,05.Ð å ø å í è å:∑ORIGIN := 1 s := 9 j := 1 . .
. s n :=mj n = 100j/* Íàéäåì êîîðäèíàòû ñåðåäèí èíòåðâàëîâ (ìàññèâ U ):*/aj + aj+12/* Íàéäåì âûáîðî÷íóþ ñðåäíþþ M x, èñïðàâëåííóþ âûáîðî÷íóþäèñïåðñèþ S2: */][1 ∑n1 ∑22M x := ·mj ·Uj M x = 71.876 S2 =··mj · (Uj ) − M xn jn−1 n jUj :=/* è èñïðàâëåííîå ñðåäíååêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå S : */√S2 = 0.8067S := S2S = 0.8982./* Ôóíêöèþ Ëàïëàñà*/∫xz21Ô(x) := √ · e− 2 dz2π0/* Ïîëó÷àåì, èñïîëüçóÿ âñòðîåííóþ ôóíêöèþ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ pnorm(x, M x, σ), ïðè çíà÷åíèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M x = 0 è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì îòêëîíåíèè σ = 1 */Ô := pnorm(x, 0, 1) − 0.5/* Ïîëó÷àåì òåîðåòè÷åñêèå ÷àñòîòû m1j äëÿ êàæäîãî èíòåðâàëà. Ïðè ýòîì â ïåðâûé èíòåðâàë âêëþ÷àåì ïðîìåæóòîê îò −∞ äîX2 , à â ïîñëåäíèé èíòåðâàë îò Xs äî +∞ */()()aj+1 − M xaj − M xPj := Ô−ÔSS()()a2 − M x−∞ − M xP1 := Ô−ÔSS3(Ps := Ô∞ − MxS)(−Ôas − M xS)m1j := n · Pj∑m1j = 100jP T = (0.0104 0.0398 0.1145 0.2146 0.2615 0.2074 0.10693 0.0359 0.0090)m1T = (1.041 3.9748 11.454 21.461 26.154 20.7354 10.6927 3.5848 0.9019)/* Îïðåäåëÿåì ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû k äëÿ äàííîé çàâèñèìîñòè*/k := s − 1 − 2α := 0.05/* Íàéäåì òåïåðü çíà÷åíèå χ2 íàáëþäàåìîå (χ2íàáë ).*/χ2íàáë :=∑ (mj − m1j )2m1jjχ2íàáë = 0.2851/* Èñïîëüçóÿ âñòðîåííóþ ôóíêöèþ qchisq äëÿ χ2 ðàñïðåäåëåíèÿ,ïîëó÷àåì êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå χ2êð : */χ2êð := qchisq(1 − α, k)χ2êð = 12.5916Òàê êàê χ2íàáë < χ2êð , òî íåò îñíîâàíèÿ îòâåðãàòü ïîñòàâëåííóþãèïîòåçó H0 ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α = 0,05.Íà ïðàêòèêå ÷àùå âñåãî âûáîðêà áîëüøîãî îáú¼ìà çàïèñûâàåòñÿâ òåêñòîâûé ôàéë.
Çàòåì äàííûå ñ÷èòûâàþòñÿ ïðîãðàììîé îáðàáîòêè, è ïîëó÷åííàÿ âûáîðêà àíàëèçèðóåòñÿ. Ïîýòîìó ìû òàêæå ðàçîáüåì çàäà÷ó íà äâå ïîäçàäà÷è.  ïåðâîé ñãåíåðèðóåì âûáîðêó, à âîâòîðîé å¼ îáðàáîòàåì. Äëÿ ãåíåðàöèè âûáîðêè èñïîëüçóåì êîìàíäórandom_normal(M, σ, n), âîçâðàùàþùóþ ñïèñîê èç n ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë, áëèçêèõ ê íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì M è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ .
Ïîëó÷åííûé ñïèñîê x1 çàïèøåì â ôàéë pirson.txt, íàõîäÿùèéñÿ íà äèñêåD â ïàïêå mymaxima./* Ïåðâàÿ ïðîãðàììà, ãåíåðèðóþùàÿ âûáîðêó îáú¼ìà n=100 è çàïèñûâàþùàÿ å¼ â òåêñòîâûé ôàéë "D:/mymaxima/pirson.txt").*/(%i1)(%i3)(%i4)(%i5)n:100$ fpprintprec:3$load(distrib)$x1:random_normal(120, 25, n)$write_data(x1, "D:/mymaxima/pirson.txt")$92.3. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ âèäà íåêîòîðîé çàâèñèìîñòè ïðîèçâåäåíî 100 èñïûòàíèé, ðåçóëüòàòû êîòîðûõ çàïèñàíû â òåêñòîâûé ôàéë "D:/mymaxima/pirson.txt"). Ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ ÏèðñîíàÏðèìåð4ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ïîëó÷åííîé âûáîðêè.Maxima-ïðîãðàììà:(%i1) fpprintprec:3$ n:100$ numer:true$(%i4) load(distrib)$/* Ñ÷èòûâàåì âûáîðêó â ñïèñîê x1.*/(%i5) x1:read_list("D:/mymaxima/pirson.txt");/*Ñîðòèðóåì ñïèñîê x1 â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ çíà÷åíèé.*/(%i6) x2:sort(x1);/* Ðàçáèâàåì âûáîðêó íà s èíòåðâàëîâ ïîñòîÿííîé äëèíû delta.*/(%i7) s:9; delta:(x2[n] -x2[1])/s;/*Êîîðäèíàòû ãðàíèö ýëåìåíòîâ.*/(%i9) a:makelist(x2[1]+(i-1)*delta, i, 1, s+1);(%o9) [66.9, 79.6, 92.3, 105., 118., 130., 143., 156.,168., 181.]/* Êîîðäèíàòû ñåðåäèí ýëåìåíòîâ.*/(%i10) U:makelist((a[j]+a[j+1])/2, j, 1, s);(%o10) [73.2, 85.9, 98.6, 111., 124., 137., 149., 162., 175.]/*Îïðåäåëåíèå ÷àñòîòû íàáëþäåíèé ïî èíòåðâàëàì.*/(%i11) m:makelist(0, i, 1, s); for j:1 while j<=n do(k:fix((x2[j] -x2[1])/delta)+1,if k>s then k:s,m[k]:m[k]+1);/* Âûâîä çíà÷åíèé ýìïèðè÷åñêîé ÷àñòîòû íàáëþäåíèé ïî èíòåðâàëàì.*/(i13) m;(%o13) [3, 9, 23, 11, 19, 16, 11, 5, 3]/* Êîíòðîëü îáú¼ìà âûáîðêè.*/(%i14) sum(m[i], i, 1, s);(%o14) 100/* Ñòðîèì ãðàôèê.*/(%i15) wxplot2d([['discrete,makelist([U[j], m[j]], j, 1, s)]],[style,[lines, 3, 5]], [gnuplot_preamble,"set grid"],[ylabel,""])$(%i16) Mx:sum(m[j]*U[j], j, 1, s)/n;(%o16) 117.5(%i17)(%o17)(%i18)(%o18)(%i19)(%o19)S2:n/(n-1)*(sum(m[j]*U[j]^2, j, 1, s)/n-Mx^2);648.S:sqrt(S2);25.5F(x):=cdf_normal (x, 0, 1) -0.5;F(x):=cdf_normal(x, 0, 1) -0.5/*Òåîðåòè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè.*/(%i20) P:makelist(F((a[j+1] -Mx)/S) -F((a[j] -Mx)/S), j, 1, s);P[1]:F((a[2] -Mx)/S)+0.5;P[s]:0.5-F((a[s] -Mx)/S);(%o20) [0.006, 0.03, 0.09, 0.2, 0.2, 0.2, 0.1, 0.06, 0.02](%o21) 0.007(%o22) 0.02/*Òåîðåòè÷åñêèå ÷àñòîòû.*/(%i23) m1:makelist(n*P[j], j, 1, s);(%o23) [0.7, 2.81, 8.55, 17.6, 24.4, 22.9, 14.6, 6.25, 2.22]/*Êîíòðîëü îáú¼ìà âûáîðêè äëÿ òåîðåòè÷åñêèõ ÷àñòîò.*/(%i24) sum(m1[j], j, 1, s);(%o24) 100/* Âû÷èñëåíèå χ2íàáë .
*/(%i25) x2nabl:sum((m[j] -m1[j])^2/m1[j], j, 1, s);(%o25) 5.69Òàê êàê χ2íàáë =5,69 íàáëþäàåìîå ìåíüøå êðèòè÷åñêîãî ðàâíîãî,χ2êð =12,6, òî, íåò îñíîâàíèÿ îòâåðãàòü âûäâèíóòóþ ãèïîòåçó î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè èññëåäóåìîé âûáîðêè îáú¼ìà n = 100.Îòâåò: Íà áàçå ïîëó÷åííîé âûáîðêè äåëàåì âûâîä, ÷òî èññëåäóåìàÿ íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîä÷èíÿåòñÿ íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ.Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà1.
Äëÿ óêàçàííîãî ïðåïîäàâàòåëåì íîìåðà âàðèàíòà nv ñãåíåðèðîâàòü âûáîðêó îáú¼ìà n = 100 ïñåâäîñëó÷àéíûõ çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû xi ñ ïàðàìåòðàìè M (ξ) = 2nv + 120 èσ(ξ) = 15 + nv . Ïîëó÷åííóþ âûáîðêó çàïèñàòü â òåêñòîâûé ôàéë.6Ëåêöèÿ 93. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêè2. Ñ÷èòàòü âûáîðêó, ïîëó÷åííóþ â ïåðâîì çàäàíèè. Ðàçáèòü ñîâîêóïíîñòü ýëåìåíòîâ âûáîðêè íà s èíòåðâàëîâ è äîêàçàòü èëè îïðîâåðãíóòü ãèïîòåçó î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α = 0,05 è α = 0,01.
 êà÷åñòâåçíà÷åíèÿ äëÿ ïàðàìåòðà s âûáðàòü öåëóþ ÷àñòü ÷èñëà 8 + nv /5.Ëåêöèÿ 93. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêèÏðåäìåò ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü è âûáîðêà. Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ è ãèñòîãðàììà. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ93.1.
Ïðåäìåò ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêèÌàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà ýòî íàóêà, êîòîðàÿ ìåòîäàìè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íà îñíîâàíèè ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé èçó÷àåò çàêîíîìåðíîñòè â ìàññîâûõ ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèÿõ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà (íå ïóòàòü ñî ñòàòèñòèêîé ðàçäåëîì ýêîíîìè÷åñêîé òåîðèè) óêàçûâàåò ñïîñîáû ñáîðà è ãðóïïèðîâêè ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ(ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé), ðàçðàáàòûâàåò ìåòîäû èõ îáðàáîòêè äëÿîöåíêè õàðàêòåðèñòèê ðàñïðåäåëåíèÿ, äëÿ óñòàíîâëåíèÿ çàâèñèìîñòèñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îò äðóãèõ, äëÿ ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåçî âèäå ðàñïðåäåëåíèÿ èëè çíà÷åíèÿõ åãî ïàðàìåòðîâ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿñòàòèñòèêà âîçíèêëà è ðàçâèâàëàñü ïàðàëëåëüíî ñ òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé.93.2. Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü è âûáîðêàÇíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ñâÿçàíà ñ íåîáõîäèìîñòüþ îïèñàòü áîëüøóþ ñîâîêóïíîñòü îáúåêòîâ.
ż íàçûâàþòãåíåðàëüíîé. Åñëè ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ñëèøêîì ìíîãî÷èñëåííà, èëè å¼ îáúåêòû òðóäíîäîñòóïíû, èëè èìåþòñÿ äðóãèå ïðè÷èíû,íå ïîçâîëÿþùèå èçó÷èòü âñå îáúåêòû, ïðèáåãàþò ê èçó÷åíèþ êàêîéòî ÷àñòè îáúåêòîâ. Ýòà âûáðàííàÿ äëÿ ïîëíîãî èçó÷åíèÿ ÷àñòü íàçûâàåòñÿ âûáîðêîé. Íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûáîðêà íàèëó÷øèì îáðàçîìïðåäñòàâëÿëà ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü, ò.å. áûëà ðåïðåçåíòàòèâíîé(ïðåäñòàâèòåëüíîé). Åñëè ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ìàëà èëè ñîâñåìËåêöèÿ 93.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêè7íåèçâåñòíà, íå óäà¼òñÿ ïðåäëîæèòü íè÷åãî ëó÷øåãî, ÷åì ÷èñòî ñëó÷àéíûé âûáîð.Ïðèìåð 93.1. Ïóñòü íåîáõîäèìî îöåíèòü êà÷åñòâî èçäåëèé, âûïóñêàåìûõ îïðåäåë¼ííûì öåõîì ìàøèíîñòðîèòåëüíîãî ïðåäïðèÿòèÿ.Äëÿ ýòîãî âûáèðàþò ïàðòèþ èçäåëèé è ïîäâåðãàþò èõ êîíòðîëþñ öåëüþ äåôåêòèðîâàíèÿ. Äîëÿ áðàêîâàííûõ èçäåëèé äëÿ âûáðàííîéïàðòèè ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ çàòåì íà âñþ ïðîäóêöèþ öåõà.Çäåñü ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü âñå èçäåëèÿ, âûïóñêàåìûå öåõîì, âûáîðêà îòîáðàííûå äëÿ ïðîâåðêè èçäåëèÿ.93.2. Ïóñòü íåîáõîäèìî îöåíèòü áóäóùèé óðîæàé ïøåíèöû.
Äëÿ ýòîãî âûáèðàþò íåáîëüøîé ó÷àñòîê ïîëÿ, íàïðèìåð îäèíêâàäðàòíûé ìåòð, è ïîäñ÷èòûâàþò ÷èñëî çåðåí âî âñåõ êîëîñêàõ èèõ ìàññó. Ïðèáëèæ¼ííî âåñü óðîæàé ðàâåí ïëîùàäè ïîëÿ â ìåòðàõ,óìíîæåííîé íà ìàññó çåðåí, ñîáðàííóþ ñ äàííîãî ó÷àñòêà. Çäåñü ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü âåñü îæèäàåìûé óðîæàé, à âûáîðêà óðîæàé, ñîáðàííûé ñ îäíîãî êâàäðàòíîãî ìåòðà. Åñëè âûáðàòü ¾ïëîõîé¿ ó÷àñòîê (íàïðèìåð, áëèçêî ê êðàþ ïîëÿ), òî îöåíêà óðîæàÿáóäåò çàíèæåííîé. Åñëè æå ó÷àñòîê èìååò ïðåèìóùåñòâà ïåðåääðóãèìè (íàïðèìåð, ëó÷øå îñâåùàåòñÿ ñîëíöåì), òî îöåíêà óðîæàÿáóäåò çàâûøåííîé.ÏðèìåðÏðèìåð 93.3. Ïðîèçâîäèòñÿ ñîöèîëîãè÷åñêîå èññëåäîâàíèå ñ öåëüþ ïðîãíîçà ðåçóëüòàòîâ ïðåäñòîÿùèõ âûáîðîâ ìýðà ãîðîäà.
Çäåñüãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü âñå èçáèðàòåëè ãîðîäà, à âûáîðêà ÷èñëî îïðîøåííûõ ðåñïîíäåíòîâ. Áîëüøîå çíà÷åíèå èìååò ñïîñîá, êîòîðûì ïîëó÷åíà âûáîðêà. Îøèáêè ïðè âûáîðå ñïîñîáà îòáîðà ïðèâîäÿòê òîìó, ÷òî âûáîðêà ñòàíîâèòñÿ íåðåïðåçåíòàòèâíîé. Åñëè â êà÷åñòâå ðåñïîíäåíòîâ âçÿòü, íàïðèìåð, ñòî ïåðâûõ âñòðå÷íûõ ñ 10 äî12 ÷àñîâ äíÿ, òî ñîöèîëîãè óçíàþò ìíåíèå íå âñåõ ñëîåâ íàñåëåíèÿ,à òîëüêî äîìîõîçÿåê, íàïðàâëÿþùèõñÿ â ýòî âðåìÿ çà ïîêóïêàìè.Áóäåì ïðîâîäèòü èñïûòàíèÿ è â êàæäîì èç íèõ ôèêñèðîâàòü çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíÿëà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ .  ðåçóëüòàòå m èñïûòàíèé ïîëó÷èì âûáîðêó n çíà÷åíèé, îáðàçóþùèõ ïðîñòóþ ñòàòèñòè÷åñêóþ ñîâîêóïíîñòü íàáëþäåíèé.Îïðåäåëåíèåìîì âûáîðêè.93.1.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
