Примеры решения задач (1094491), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Ïðè ýòîì ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû ïðèâåä¼ííûìñëó÷àÿ èçâåñòíîé( m )â ï. 98.3( äëÿm ) p0 q0äèñïåðñèè, ñ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî M= p0 , D=.nnn çàâèñèìîñòè îò êîíêóðèðóþùåé ãèïîòåçû ðåøàþùåå ïðàâèëîáóäåò òàêèì æå, êàê â ï. 98.4 äëÿ ñëó÷àÿ èçâåñòíîé äèñïåðñèè, íîçíà÷åíèå Uíàáë , êîíå÷íî, ñëåäóåò âû÷èñëÿòü ïî ôîðìóëå (95.8).64Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 95. Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâÏðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 95. Ìåòîä íàèìåíüøèõêâàäðàòîâ95.1. Äëÿ äàííûõ, ïðåäñòàâëåííûõ â òàáëèöå 95.1, ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ íàéòè êîýôôèöèåíòû êâàäðàòè÷íîéçàâèñèìîñòè y = ax2 + bx + c.ÏðèìåðixiyiÒàáëèöà 95.1Èñõîäíûå äàííûå ïðèìåðà 95.112345-101231,286 0,424 0,296 -0,698 -0,986Ð å ø å í è å: Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñèñòåìû (94.4) íàéä¼ì êîýôôèöènnn∑x2i yi 3 ∑ x3i 4 ∑ x4i22åíòû y , x, xy , x , x y =,x =,x =.

Ðåçóëüòàòûnnni=1i=1i=1âû÷èñëåíèé ïðèâåäåíû â òàáëèöå 95.2, â ïîñëåäíåé ñòðîêå êîòîðîéóêàçàíû ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ïî ñòîëáöàì.Òàáëèöà 95.2ixiyi1 -1,00000 1,286002 0,00000 0,424003 1,00000 -0,296004 2,00000 -0,698005 3,00000 -0,986001,00000 -0,05400Ðåøåíèåxi yi-1,286000,00000-0,29600-1,39600-2,95800-1,18720ïðèìåðà 95.1x2ix2i yix3ix4i1,00000 1,28600 -1,00000 1,000000,00000 0,00000 0,00000 0,000001,00000 -0,29600 1,00000 1,000004,00000 -2,79200 8,00000 16,00009,00000 -8,87400 27,00000 81,00003,00000 -2,13520 7,00000 19,8000Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà (94.4) äëÿ äàííîãî ïðèìåðà ïðèíèìàåòâèä: 19, 8a + 7b + 3c = −2, 1352,7a + 3b + c = −1, 1872,3a + b + 5c = −0,0540.Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó (ìåòîäîì Êðàìåðà, Ãàóññà ñ ïîìîùüþ êàëüêóëÿòîðà èëè ÝÂÌ), íàõîäèì: a = 0,1739; b = −0,8175; c = 0,0484.Òàêèì îáðàçîì, èñêîìàÿ çàâèñèìîñòü èìååò âèä:y = 0,1739x2 − 0,8175x + 0,0484.Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 95.

Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ65Ïîñ÷èòàåì çíà÷åíèå f (xi ) è íàéä¼ì çíà÷åíèÿ ñóììû êâàäðàòîâîòêëîíåíèÿ, ÷òîáû îöåíèòü âåëè÷èíó ðàñõîæäåíèÿ ìåæäó äàííûìèçíà÷åíèÿìè è ïîëó÷åííûìè ñ ïîìîùüþ ïîäîáðàííîé êâàäðàòè÷íîéôóíêöèè. Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ñâåäåíû â òàáëèöó 95.3.i12345Òàáëèöà 95.3Ðåøåíèå ïðèìåðà 95.1xiyif (xi )∆2i-1,0000 1,2860 1,03975 0,060640,0000 0,4240 0,04839 0,141081,0000 -0,2960 -0,59527 0,089562,0000 -0,6980 -0,89123 0,037343,0000 -0,9860 -0,83949 0,021470,35008 ïîñëåäíåì ñòîëáöå òàáëèöû óêàçàíû çíà÷åíèÿ êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé ∆2i = (f (xi ) − yi )2 , à â ïîñëåäíåé ñòðîêå ýòîãî ñòîëáöà èõñóììà, ò.å.

ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè Φ : Φmin ≈ 0,35. Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå äà¼ò ïðåäñòàâëåíèå î íàêîïëåííîé îøèáêå ïðè çàìåíåçíà÷åíèé yi íà f (xi ).Îòâåò: y = 0,1739x2 − 0,8175x + 0,0484.Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà95.4 èñõîäíûì äàíÏðèìåð 95.2. Ïî ïðèâåä¼ííûì â òàáëèöåíûì íàéòè ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòüy = ax + b (ñì. ïðèìåð 94.1 ëåêöèè 97).Ïðèìåð 95.3.

Ïî ïðèâåä¼ííûì â òàáëèöå 95.5 èñõîäíûì äàííûìíàéòè ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ êâàäðàòè÷íóþ çàâèñèìîñòüy = ax2 + bx + c.66Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 95. Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâÒàáëèöà 95.4iyiN \xi1234567891011121314151617181920212223242526272829301-2-6,68-7,30-8,68-3,2351,874,92-5,41-7,96-4,270,80-14,30-11,471,422,80-4,32-11,10-10,24-5,74-6,05-1,00-3,615,40-8,401,76-6,04-9,280,304,507,12-11,96Èñõîäíûå äàííûå ïðèìåðà 95.22345678-1012345-4,15 -1,830,723,025,637,90 10,47-3,350,404,398,12 12,30 15,88 19,86-6,30 -3,45 -1,321,463,696,438,82-2,198 -1,814 -1,200 -0,759 -0,759 -0,217 0,265-1,30 -4,31 -7,69 -10,42 -13,93 -16,68 -19,973,211,920,15-1,16 -3,02 -4,31 -6,00-4,20 -2,62 -1,5101,112,393,87-5,31 -3,25 -0,411,634,366,529,12-3,53 -2,31 -1,82 -0,690,011,001,75-0,88 -2,28 -4,18 -5,41 -7,31 -8,61 -10,40-10,31 -5,42 -1,513,027,04 11,75 15,80-7,59 -4,32 -0,413,016,91 10,12 14,08-1,30 -3,59 -6,48 -8,71 -11,79 -13,98 -16,783,814,435,636,177,498,039,10-2,72 -0,800,712,624,056,017,58-8,02 -4,17 -1,302,415,369,02 12,21-6,91 -4,03 -0,482,315,828,61 12,02-4,41 -3,72 -2,16 -1,4200,782,10-4,01 -2,320,021,623,925,537,671,223,035,497,557,72 11,53 13,70-2,62 -2,010,89-0,030,821,412,413,811,880,38-1,52 -2,98 -4,97 -6,50-6,01 -3,29 -1,031,814,056,689,102,713,324,445,076,126,747,71-4,65 -3,02 -1,800,081,182,824,18-6,81 -3,98 -1,601,213,526,418,92-0,63 -1,38 -2,61 -3,18 -4,27 -4,98 -6,023,512,181,32-0,10 -0,88 -2,20 -3,205,523,481,950-1,61 -3,60 -5,20-9,87 -7,18 -5,25 -2,51 -0,622,024,14Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 95.

Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâÒàáëèöà 95.5Èñõîäíûå äàííûå12-10N \xi16,20 2,9228,34 3,1936,43 2,564-1,06 -6,4758,55 3,2060,22 6,0272,30 -2,628-4,11 1,4291,17 -3,28102,40 -3,32115,71 0,2812-0,20 3,69131,05 5,3614-9,85 -3,1715-6,18 0,3816-3,71 3,21179,58 4,9818-2,25 2,99196,43 2,1220-2,28 3,81215,200222,34 -3,71237,84 0,89242,62 -2,8925-3,15 2,44268,26 2,5827-1,97 5,8128-5,42 -0,9429-4,61 -0,71307,15 0,37iyiïðèìåðà 95.33451231,29 2,13 4,600,66 1,54 5,061,97 3,72 8,23-8,32 -7,71 -3,461,09 3,01 -8,158,08 5,61 -0,50-3,87 -2,38 2,903,17 1,85 -3,31-3,02 0,84 9,29-5,72 -5,55 -2,01-2,22 -1,09 2,914,38 2,98 -1,806,02 4,01 -1,550,71 0,66 -2,252,81 1,99 -3,065,52 4,26 -1,690,81 -1,71 -3,785,01 4,79 1,35-1,48 -3,49 -4,937,29 9,03 8,20-3,68 -6,66 -8,02-6,66 -7,67 -5,49-3,85 -5,55 -5,05-4,16 -2,37 3,545,26 6,27 4,41-2,03 -4,90 -6,767,02 2,56 -8,520,89 -0,73 -5,020,52 -1,77 -6,59-4,44 -6,29 -6,136768Ëåêöèÿ 96.

Êðèòåðèè ñîãëàñèÿËåêöèÿ 96. Êðèòåðèè ñîãëàñèÿÃåîìåòðè÷åñêèé ìåòîä îïðåäåëåíèÿ âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ. Êðèòåðèé Ïèðñîíà. Êðèòåðèé χ296.1. Êðèòåðèÿìè ñîãëàñèÿ íàçûâàþò êðèòåðèèäëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåç î âèäå çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.Îïðåäåëåíèå96.1. Ãåîìåòðè÷åñêèé ìåòîä îïðåäåëåíèÿ âèäàðàñïðåäåëåíèÿÐàññìîòðèì ñíà÷àëà íàãëÿäíûé, íî íå ñòðîãèé ìåòîä îïðåäåëåíèÿâèäà ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåîðåòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) çàâèñèò îò äâóõ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ α è β ; ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü ýòî, îáîçíà÷èì å¼ F (x, α, β): F (x) = F (x, α, β).

Îáùèéâèä ôóíêöèè y = F (x, α, β) ñ÷èòàåòñÿ èçâåñòíûì, íåîáõîäèìî îöåíèòüçíà÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ α è β . Îñíîâíàÿ èäåÿ ãðàôè÷åñêîãîìåòîäà ñîñòîèò â âûáîðå òàêîé çàìåíû êîîðäèíàò u = u(x), v = v(x),÷òîáû ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ y = F (x, α, β) â íîâûõ êîîðäèíàòàõ (u; v) ñòàë ïðÿìîé ëèíèåé V = k · u + b ñ êîýôôèöèåíòàìèk è b, çàâèñÿùèìè îò íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ α è β : k = φ(α, β),b = ψ(α, β). Äðóãèìè ñëîâàìè, óðàâíåíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿy = F (x, α, β) â êîîðäèíàòàõ (u; v) äîëæíî ïðèíÿòü âèä:v = k · v + b èëè v = φ(α, β) · u + ψ(α, β).(96.1)Ïîñêîëüêó ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ y = Fý (x) ïðèäîñòàòî÷íî áîëüøîì îáú¼ìå ñòàòèñòèêè ëåæèò âáëèçè îò òåîðåòè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ y = F (x, α, β), òî ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííûõ ãðàôèê ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â êîîðäèíàòàõ(u; v) äîëæåí ëåæàòü âáëèçè ïðÿìîé (96.1).

Íîâàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò(u; v) ñ íàíåñ¼ííûìè ñîîòâåòñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè (x; y) íàçûâàþòñÿâåðîÿòíîñòíîé áóìàãîé . Ïîñòðîèâ â êîîðäèíàòàõ (u; v) ãðàôèê ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïðîâîäÿò ïðÿìóþ òàê, ÷òîáû ïîîáå ñòîðîíû îò íå¼ íàõîäèëîñü ïðèìåðíî îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ¾ñòóïåíåê¿ ãðàôèêà ôóíêöèè y = Fý (x); çàòåì îïðåäåëÿþò k-âåëè÷èíóòàíãåíñà óãëà, îáðàçîâàííîãî ýòîé ïðÿìîé ñ îñüþ Ou, è b-êîîðäèíàòóïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ Ov . Ïðèðàâíÿâ ïîëó÷åííûå âåëè÷èíû ê èõ òåîðåòè÷åñêèì çíà÷åíèÿì φ(α, β) è ψ(α, β), íàõîäÿò îöåíêè íåèçâåñòíûõËåêöèÿ 96. Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ69ïàðàìåòðîâ α è β èç ñèñòåìû óðàâíåíèé:{k = φ(α, β),b = ψ(α, β).Åñëè íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð îäèí, äëÿ íàõîæäåíèÿ îöåíêè äîñòàòî÷íî îäíîãî óðàâíåíèÿ.Äëÿ íîðìàëüíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ(x − m)F (x, m, σ) = Φ+ 0,5,σ∫xz21ãäå Φ(x) = √e− 2 dz ôóíêöèÿ Ëàïëàñà, èñïîëüçóåì ñëåäóþ2π0ùóþ çàìåíó êîîðäèíàò:u = x,v = Φ−1 (y − 0,5),(96.2)ãäå x = Φ−1 (y) ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ê ôóíêöèè Ëàïëàñà.

 íîâûõ êîîðäèíàòàõ (u; v) óðàâíåíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ y = Φ( x−m) + 0,5σïðèìåò ñëåäóþùèé âèä:)( (x − m)−1−1+ 0,5 − 0,5 =v = Φ (y − 0,5) = ΦΦσ( ()x − m)u−mx−m−1=ΦΦ=.=σσσÏîëó÷èâøååñÿ óðàâíåíèå:v=u−mσ(96.3)åñòü óðàâíåíèå ïðÿìîé ëèíèè âèäà (96.1), ãäåφ(m; σ) =1,σψ(m; σ) = −m.σÎöåíèâ ïî ãðàôèêó ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (96.3)âåëè÷èíû k (óãëîâîé êîýôôèöèåíò) è b (ïåðåñå÷åíèå ñ îñüþ Ov ), çíà÷åíèÿ m è b ïîëó÷èì èç ñèñòåìû: k = 1, σ = 1,kσ(96.4)⇐⇒b b = −m, m = − .σk70Ëåêöèÿ 96. Êðèòåðèè ñîãëàñèÿÄëÿ óäîáñòâà ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (96.3) ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îáû÷íîé ìèëëèìåòðîâîé áóìàãîé èëè ñïåöèàëüíîé ¾íîðìàëüíîé âåðîÿòíîñòíîé áóìàãîé¿ ñ íåëèíåéíûì ìàñøòàáîì ïî âåðòèêàëüíîé îñè, ãäå îêîëî çíà÷åíèév = Φ−1 (y − 0,5) îòìå÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ y .96.1.

Íà ðèñ. 11 äëÿ ïðèâåä¼ííûõ â òàáë. 96.1 96.3äàííûõ â êîîðäèíàòàõ (u, v) (ôîðìóëû (96.2)) èçîáðàæåíû ãðàôèêè ýìïèðè÷åñêèõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ (ñòóïåí÷àòûå ôóíêöèè I III) è àïïðîêñèìèðóþùèå èõ ãðàôèêè òåîðåòè÷åñêèõ ðàñïðåäåëåíèé(íåïðåðûâíûå ëèíèè). Äëÿ íàãëÿäíîñòè çíà÷åíèÿ Fý (x) â òàáë. 96.2ïðèâåäåíû â âèäå ïðîñòûõ äðîáåé, â òàáë. 96.1, 96.3 ýòè æå çíà÷åíèÿ ïðèâåäåíû â âèäå äåñÿòè÷íûõ äðîáåé. Ïàðàìåòðû m è σ îöåíèâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ (96.4) èñõîäÿ èç âåëè÷èí k è b,êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ïî ãðàôèêàì â êîîðäèíàòàõ (u, v) ñ ó÷¼òîììàñøòàáà ïî îñÿì Ou è Ov .ÏðèìåðÄëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (I): k = 1, 0; b = −1, 8 ⇐⇒ m = 1, 8;σ = 1, 0;äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (II): k = 1, 4; b = −5, 7 ⇐⇒ m = 4, 1;σ = 0,71;ãðàôèê ðàñïðåäåëåíèÿ (III) èìååò çàìåòíóþ èñêðèâë¼ííîñòü, ÷òî ãîâîðèò î òîì, ÷òî òåîðåòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (III) íå ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé.Äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:{1 − e−λx x > 0,y = F (x, λ) =0x<0èñïîëüçóþò ñëåäóþùóþ çàìåíó êîîðäèíàò:u = x,v = − ln(1 − y)(96.5) íîâûõ êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèå òåîðåòè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ y = F (x, λ) ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä:()()v = − ln(1 − y) = − ln 1 − F (x, λ) = − ln 1 − (1 − e−λx ) == − ln(e−λx ) = λx = λu.Ïîëó÷èâøååñÿ óðàâíåíèå v = λ · u è åñòü óðàâíåíèå ïðÿìîé ëèíèè âèäà (96.1), ãäå k = λ, b = 0; íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð λ ðàâåíòàíãåíñó óãëà íàêëîíà àïïðîêñèìèðóþùåé ïðÿìîé.Ëåêöèÿ 96.

Характеристики

Список файлов учебной работы