Примеры решения задач (1094491), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Ñðàâíåíèå äâóõ äèñïåðñèé (êðèòåðèé Ôèøåðà)Ïóñòü ïî íåçàâèñèìûì âûáîðêàì îáú¼ìîâ n1 è n2 èç íîðìàëüíûõ2ñîâîêóïíîñòåé íàéäåíû èñïðàâëåííûå âûáîðî÷íûå äèñïåðñèè S1∗ è22S2∗ , ãäå S1∗ áîëüøàÿ èç íèõ. Òðåáóåòñÿ ïðè çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè α ïðîâåðèòü íóëåâóþ ãèïîòåçó H0 î ðàâåíñòâå òåîðåòè÷åñêèõäèñïåðñèé:H0 : σ12 = σ22 .Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó íåñìåù¼ííîñòè îöåíîê S1∗ è S2∗ íóëåâóþ ãèïîòåçó ìîæíî çàïèñàòü è òàê:22H0 : M (S1∗ ) = M (S2∗ ).22 êà÷åñòâå êðèòåðèÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû ïðèìåì îòíîøåíèå áîëüøåé èñïðàâëåííîé äèñïåðñèè ê ìåíüøåé:S1∗2.S2∗2F =Èçâåñòíî, ÷òî ïðè óñëîâèè ñïðàâåäëèâîñòè íóëåâîé ãèïîòåçû, âåëè÷èíà F èìååò ðàñïðåäåëåíèå ÔèøåðàÑíåäåêîðà (ñì.
ï. 93.4) ñîñòåïåíÿìè ñâîáîäû k1 = n1 − 1, k2 = n2 − 1. Ðåøàþùåå ïðàâèëî çàâèñèò îò êîíêóðèðóþùåé ãèïîòåçû.• H0 : σ12 = σ22 , H1 : σ12 > σ22 . ýòîì ñëó÷àå ñòðîÿò ïðàâîñòîðîííþþ êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü,Ëåêöèÿ 97. Äèñïåðñèîííûé àíàëèç87èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî ïðè ñïðàâåäëèâîñòè H0 (σ12 = σ22 ) âåðîÿòíîñòü áîëüøèõ çíà÷åíèé F ìàëà: P {F > t2 (α; k1 ; k2 )} = α.Êðèòè÷åñêóþ òî÷êó t2 (α; k1 ; k2 ) íàõîäÿò ïî òàáëèöå êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ðàñïðåäåëåíèÿ ÔèøåðàÑíåäåêîðà (ïðèëîæåíèå5) èëè, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ îáðàòíîé ôóíêöèè F ðàñïðåäåëåíèÿñðåäè ñòàòèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé Excel.
Åñëè Fíàáë > t2 (α; k1 ; k2 ),ãèïîòåçó H0 îòâåðãàþò ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α.• H0 : σ12 = σ22 , H2 : σ12 ̸= σ22 . ýòîì ñëó÷àå ñòðîÿò äâóñòîðîííþþ êðèòè÷åñêóþ îáëàñòüòàê, ÷òîáû âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â ëåâóþ è ïðàâóþ ïîëîâèíó áûëè áû ðàâíû α/2:{()}{()} αP F < t1 α/2; k1 ; k2 = P F > t2 α/2; k1 ; k2 = .2Êðèòè÷åñêóþ òî÷êó t2 (α/2; k1 ; k2 ) íàõîäÿò ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 5 èëè ñ ïîìîùüþ ÝÂÌ.
Åñëè Fíàáë > t2 (α/2; k1 ; k2 ),ãèïîòåçó H0 îòâåðãàþò ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α.• H0 : σ12 = σ22 , H3 : σ12 < σ22 .22Ïîñêîëüêó S1∗ > S2∗ , áåç äîïîëíèòåëüíîãî èññëåäîâàíèÿ ÿñíî,÷òî ïðè êîíêóðèðóþùåé ãèïîòåçå H3 ãèïîòåçà H0 ïðåäïî÷òèòåëüíåå. Ýòîò ñëó÷àé î÷åâèäåí.Ïðèìåð 97.1. Ïî äâóì íåçàâèñèìûì âûáîðêàì èç íîðìàëüíûõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé, îáú¼ìû êîòîðûõ ðàâíû n1 = 12 è n2 = 15,22íàéäåíû èñïðàâëåííûå âûáîðî÷íûå äèñïåðñèè S1∗ = 10, S2∗ = 5,5.Ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α = 0,05 ïðîâåðèòü íóëåâóþ ãèïîòåçó î ðàâåíñòâå äèñïåðñèé H0 : σ12 = σ22 ïðè êîíêóðèðóþùåé ãèïîòåçå H1 :σ12 > σ22 .Ð å ø å í è å:  äàííîì ïðèìåðå k1 = 12 − 1 = 11, k2 = 15 − 1 = 14,2S1∗Fíàáë = ∗2 = 1,82. Âûáèðàåì ñðåäè ñòàòèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ExcelS2îáðàòíîå F ðàñïðåäåëåíèå è íàõîäèì t2 (0,05; 11; 14) = 2,56. Òàê êàêFíàáë < t2 (α; k1 ; k2 ), òî íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü íóëåâóþ ãèïîòåçó îðàâåíñòâå äèñïåðñèé.Âåðí¼ìñÿ òåïåðü ê çàäà÷å äèñïåðñèîííîãî àíàëèçà.88Ëåêöèÿ 97.
Äèñïåðñèîííûé àíàëèç97.3. Îäíîôàêòîðíûé äèñïåðñèîííûé àíàëèçÏóñòü èìååòñÿ n íàáëþäåíèé xij (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , k) íàäêàæäîé èç k íîðìàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , . . . , ξk , ñ îäèíàêîâîéäèñïåðñèåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ k óðîâíÿì F1 , . . . , Fk ôàêòîðà F (ñì.òàáë. 97.1).
Òðåáóåòñÿ ïðè çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè α ïðîâåðèòüíóëåâóþ ãèïîòåçó î ðàâåíñòâå âñåõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé: H0 :M (ξ1 ) = . . . = M (ξk ) ïðè àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçå H1 î òîì, ÷òî íåâñå èç íèõ ðàâíû.Äàííûå îäíîôàêòîðíîãîíîìåðíà- F1F2áëþäåíèÿ1x11 x122x21 x22.........nãðóïïîâûåñðåäíèåÒàáëèöà 97.1äèñïåðñèîííîãî àíàëèçàFk.........x1kx2k...xnkxãðkxn1 xn2 . . .xãð1 xãð2 . . .Îïðåäåëèì âûáîðî÷íûå ñðåäíèå xãðj äëÿ êàæäîãî ñòîëáöà íàáëþäåíèé (j = 1, . . . , k) è x âûáîðî÷íóþ ñðåäíþþ âñåõ íàáëþäåíèé:1∑=xij ;n i=11 ∑∑x=xij .kn j=1 i=1nxãðjkn(97.1)Íàéä¼ì ñóììû êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé. Îáùàÿ ñóììà êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé íàáëþäåíèé xij îò îáùåé ñðåäíåé îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:∑îáù=k ∑n∑(xij − x)2 .(97.2)j=1 i=1Ôàêòîðíàÿ ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ îòêëîíåíèé ãðóïïîâûõ ñðåäíèõxãðj îò îáùåé ñðåäíåé x îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:∑ôàêò=nk∑j=1(xãðj − x)2 .(97.3)Ëåêöèÿ 97.
Äèñïåðñèîííûé àíàëèç89Îñòàòî÷íàÿ ñóììà êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé íàáëþäåíèé xij îò ãðóïïîâûõ ñðåäíèõ xãðj îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:∑îñònk ∑∑=(xij − xãðj )2 .Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî:∑îáù(97.4)j=1 i=1=∑ôàêò+∑îñò.(97.5)Ïðèìåì ýòî áåç äîêàçàòåëüñòâà.∑Óáåäèìñÿ, ÷òî ôàêò õàðàêòåðèçóåò âëèÿíèå ôàêòîðà F . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ôàêòîð ñóùåñòâåííî âëèÿåò íà ξ1 , . . .
, ξk , òî ãðóïïîâûåñðåäíèå xãðj çíà÷èòåëüíî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà è îíè òåì ñèëüíåå ðàçáðîñàíû âîêðóã îáùåé ñðåäíåé x, ÷åì ñóùåñòâåííåå âëèÿíèåôàêòîðà F .∑Çàìåòèì, ÷òîîáù õàðàêòåðèçóåò ðàçáðîñ âñåõ íàáëþäåíèé âîêðóã îáùåé ñðåäíåé, îïðåäåëÿåìûé êàê âîçäåéñòâèåì ôàêòîðà F , òàêè ñëó÷àéíûìè ïðè÷èíàìè.∑ ñèëó ðàâåíñòâà (97.5) ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî îñò õàðàêòåðèçóåò âëèÿíèå ñëó÷àéíûõïðè÷èí íà âåëè÷èíû ξ1 , . . .∑, ξk . Äåéñòâè∑òåëüíî, òàê êàê ôàêò çàâèñèò îò âëèÿíèÿ ôàêòîðà, à îáù îïðåäå∑ëÿåòñÿ è âëèÿíèåì ôàêòîðà è ñëó÷àéíûìè ïðè÷èíàìè, íà äîëþ îñòîñòà¼òñÿ ðàçáðîñ, âûçâàííûé ñëó÷àéíûìè ïðè÷èíàìè.Ðàçäåëèâ ñóììû êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé (97.2) (97.4) íà ñîîòâåòñòâóþùåå ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû, ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâóþùèå âûáîðî÷íûå äèñïåðñèè:∑∑∑22ôàêòîáù∗∗∗2îñòSîáù =;Sôàêò =;Sîñò =.(97.6)nk − 1k−1k(n − 1)Åñëè íóëåâàÿ ãèïîòåçà î ðàâåíñòâå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé H0 :M (ξ1 ) = .
. . = M (ξk ) ñïðàâåäëèâà, òî âñå ýòè äèñïåðñèè ÿâëÿþòñÿ íåñìåù¼ííûìè îöåíêàìè òåîðåòè÷åñêîé äèñïåðñèè è îòëè÷àþòñÿíåçíà÷èòåëüíî. Ñðàâíèâ ïî êðèòåðèþ Ôèøåðà (ñì. ï. 97.2) ôàêòîðíóþ è îñòàòî÷íóþ äèñïåðñèè, ìû ïðîâåðèì òåì ñàìûì ãèïîòåçó H0 .Åñëè êðèòåðèé ïîêàæåò ðàâåíñòâî ôàêòîðíîé è îñòàòî÷íîé òåîðåòè÷åñêèõ äèñïåðñèé ïðè êîíêóðèðóþùåé ãèïîòåçå î òîì, ÷òî ôàêòîðíàÿòåîðåòè÷åñêàÿ äèñïåðñèÿ áîëüøå, òî ãèïîòåçó H0 ñëåäóåò ïðèíÿòü, âïðîòèâíîì ñëó÷àå îòâåðãíóòü.90Ëåêöèÿ 97. Äèñïåðñèîííûé àíàëèçÈòàê, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ïðàâèëî äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è îäíîôàêòîðíîãî àíàëèçà ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì íàáëþäåíèé íà êàæäîì óðîâíåôàêòîðà.∗2∗2• Åñëè Sôàêò< Sîñò, íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü ãèïîòåçó H0 , ò.ê.â ýòîì ñëó÷àå î÷åâèäíî, ÷òî ãèïîòåçà î ðàâåíñòâå òåîðåòè÷åñêèõ äèñïåðñèé ïðåäïî÷òèòåëüíåå, ÷åì ãèïîòåçà î òîì, ÷òîôàêòîðíàÿ òåîðåòè÷åñêàÿ äèñïåðñèÿ áîëüøå îñòàòî÷íîé.∗2∗2> Sîñò, òî âû÷èñëÿåì• Åñëè Sôàêò∗∗Fíàáë = Sôàêò/Sîñò,22(97.7)ïî òàáëèöå êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ðàñïðåäåëåíèÿ ÔèøåðàÑíåäåêîðà (ïðèëîæåíèå 5) èëè ñ ïîìîùüþ ÝÂÌ íàõîäèì t2 (α; k1 ;k2 ), ãäå k1 = k − 1; k2 = k(n − 1) è åñëè Fíàáë > t2 (α; k1 ; k2 ), òîãèïîòåçó H0 îòâåðãàåì ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α.
ÅñëèFíàáë 6 t2 (α; k1 ; k2 ), òî íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü ãèïîòåçó H0(ñì. ï. 97.2).Ïðèìåð 97.2. Äëÿ ïðèâåä¼ííûõ â òàáë. 97.2 äàííûõ ðåéòèíãàñòóäåíòîâ ïî ðàçëè÷íûì ïðåäìåòàì ïðîâåðèòü ãèïîòåçó îá îäèíàêîâîé óñïåâàåìîñòè ïî ýòèì ïðåäìåòàì.  òàáëèöå 97.2 ïðèâåäåíûäàííûå óñïåâàåìîñòè (ðåéòèíã) ñòóäåíòîâ ïî ÷åòûð¼ì ïðåäìåòàì.Ñëåäóåò ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α = 0,1 ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î çíà÷èìîì îòëè÷èè ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ðåéòèíãà ïî ýòèì ïðåäìåòàì.∗∗∗Îáùàÿ Sîáù, ôàêòîðíàÿ Sôàêòè îñòàòî÷íàÿ Sîñòäèñïåðñèè íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì (97.6). Çäåñü n = 20, k = 4, x̄ = −13,655.Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ:∑∑∗2= 61138,0802,Sîáù= 733,8998,= 27789,1219,îáùôàêò∑∗2∗2Sôàêò= 9263,0406,= 33348,9583,Sîñò= 438,8021.222îñòÏðîâåðêà:∑∑=îáùôàêò+∑îñò= 27789,1219 + 33348,9583 = 61138,0802.Ïðîâåðèì ïî êðèòåðèþ Ôèøåðà íóëåâóþ ãèïîòåçó î ðàâåíñòâå ôàêòîðíîé è îñòàòî÷íîé òåîðåòè÷åñêèõ äèñïåðñèé, äëÿ ÷åãî íàéäåì íàáëþäàåìîå çíà÷åíèå êðèòåðèÿ:∗Sôàêò2Fíàáë =∗2Sîñò= 21,110.Ëåêöèÿ 97.
Äèñïåðñèîííûé àíàëèç91Òàáëèöà 97.2Èñõîäíûå äàííûå ïðèìåðà 97.2Ðåéòèíã óñïåâàåìîñòè ïî ïðåäìåòàì1234567891011121314151617181920Ìàòåìàòè÷åñêèéàíàëèç0,05−1, 22−1, 74−1, 97−1, 92−2, 76−1, 17−0,01−81, 9−81, 2−81, 8−82, 2−82, 1−82, 0−82, 4−83, 5−84, 9−83, 64,50−81, 6xãðj−45, 672NÀíãëèéñêèéÿçûêËèíåéíàÿàëãåáðà−2, 16−8, 31−7, 16−6, 58−7, 16−6, 42−8, 16−8, 42−10,3−8, 89−7, 16−2, 42−1, 74−4, 26−7, 74−4, 84−8, 89−8, 89−11, 0−6, 8400−1−1−1−0,58−10−1−1−20−0,580−1−3−2, 16−1, 580−1, 58Äèñêðåòíàÿìàòåìàòåìàòèêà−1, 840−1, 583,11−1, 690,42−1, 690,84−1, 110,580,58−1, 16−2, 42−1, 16−1, 58−3, 26−1, 26−2, 53−3, 69−3, 69−6, 867−0,924−1, 1565Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ôàêòîðíîé âûáîðî÷íîéäèñïåðñèè ðàâíî k1 = k − 1 = 3, ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû îñòàòî÷íîé âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè k2 = k(n − 1) = 76, ïî óðîâíþ çíà÷èìîñòèα = 0,1 è ÷èñëàì ñòåïåíåé ñâîáîäû íàõîäèì ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî F ðàñïðåäåëåíèÿ (ñòàòèñòè÷åñêèå ôóíêöèè Excel) êðèòè÷åñêóþ òî÷êó92Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 97.
Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåçFêð ðàñïðåäåëåíèÿ ÔèøåðàÑíåäåêîðà:Fêð (0,1; 3; 76) = 2,105.Òàê êàê Fíàáë > Fêð , òî íóëåâóþ ãèïîòåçó î ðàâåíñòâå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ðåéòèíãà ïî äàííûì ïðåäìåòàì îòâåðãàåì ñ óðîâíåìçíà÷èìîñòè α = 0,1. Òî åñòü ãðóïïîâûå ñðåäíèå (óñïåâàåìîñòü) â öåëîì ðàçëè÷àþòñÿ çíà÷èìî.Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 97. Ïðîâåðêàñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç97.1. Ïî âûáîðêå îáú¼ìà n = 20, èçâëå÷åííîé èç äâóìåðíîé íîðìàëüíîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè (ξ, ζ), íàéäåí âûáîðî÷íûé∗êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè rxy= 0,15. Òðåáóåòñÿ ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,05 ïðîâåðèòü íóëåâóþ ãèïîòåçó H0 : rξζ=0 î ðàâåíñòâå íóëþòåîðåòè÷åñêîãî êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè ïðè êîíêóðèðóþùåé ãèïîòåçå H1 : rξζ ̸= 0.ÏðèìåðÐ å ø å í è å: Íàéäåì íàáëþäàåìîå çíà÷åíèå êðèòåðèÿ ïî ôîðìóëå(95.1):√20 − 2≈ 0,429.Tíàáë = 0,15 · √1 − 0,152∗Òàê êàê êîíêóðèðóþùàÿ ãèïîòåçà H1 : rxy̸= 0, òî ïîýòîìó êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äâóñòîðîííÿÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
