Примеры решения задач (1094491), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ïðîâåðêà ãèïîòåçû î çíà÷èìîñòè âûáîðî÷íîãîêîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèèÏóñòü íà îñíîâàíèè äàííûõ êîððåëÿöèîííîé òàáëèöû ïî âûáîðêåîáú¼ìà n íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé íàä íîðìàëüíî ðàñïðåäåë¼ííûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè íàéäåí âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîð∗ðåëÿöèè rxy, êîòîðûé îêàçàëñÿ îòëè÷íûì îò íóëÿ. Òàê êàê âûáîðêàîòîáðàíà ñëó÷àéíî, âîçíèêàåò âîïðîñ î òîì, áóäåò ëè îòëè÷åí îò íóëÿ òåîðåòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè rξζ , ê êîòîðîìó ñõîäèòñÿâûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò ïðè n → ∞.Íåîáõîäèìî ïðè çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè α ïðîâåðèòü ãèïîòåçó H0 : rξζ = 0 ïðè àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçå H1 : rξζ ̸= 0.Åñëè H0 îòâåðãàåòñÿ, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíòêîððåëÿöèè çíà÷èìî îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ, à ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è ζ58Ëåêöèÿ 95.
Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåçêîððåëèðîâàíû, ò.å. â òîé èëè èíîé ñòåïåíè ñâÿçàíû ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ. Åñëè H0 ïðèíèìàåòñÿ, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè íåçíà÷èìî îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ, à ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è ζ íåêîððåëèðîâàíû, ò.å. íå ñâÿçàíû ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ. êà÷åñòâå êðèòåðèÿ äëÿ ïðîâåðêè H0 âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà√n−2∗T = rxy √,(95.1)∗ 21 − rxy∗ãäå rxyâû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (94.5). Ïðè ñïðàâåäëèâîñòè ãèïîòåçû H0 âåëè÷èíà T èìååò òàê íàçûâàåìîå ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñn − 2 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äëÿ ðàññìàòðèâàåìîéãèïîòåçû H1 áóäåò äâóñòîðîííåé, têð1 = −têð2 . Êðèòè÷åñêàÿ òî÷êàtêð2 îïðåäåëÿåòñÿ ïî çàäàííûì óðîâíþ çíà÷èìîñòè α è ÷èñëó ñòåïåíåé n − 2 ïî ñïåöèàëüíûì òàáëèöàì (ïðèëîæåíèå 3) èëè ñ ïîìîùüþîáðàòíîé ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà, èìåþùåéñÿ, íàïðèìåð, ñðåäè ñòàòèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé Excel äëÿ α/2 è n − 2 ñòåïåíåéñâîáîäû. Ïî ôîðìóëå (95.1) äëÿ äàííûõ íàáëþäåíèé îïðåäåëÿåì çíà÷åíèå êðèòåðèÿ Tíàáë .Åñëè |Tíàáë | > têð2 , ãèïîòåçà H0 îòâåðãàåòñÿ ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòèα, åñëè |Tíàáë | 6 têð2 íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü H0 .95.2.
Ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α = 0,1 ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î çíà÷èìîñòè âûáîðî÷íîãî êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè, âû÷èñëåííîãî â ïðèìåðå 94.2.ÏðèìåðÐ å ø å í è å: Äëÿ n = 60 è α = 0,1 ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 3 äëÿäâóñòîðîííåé êðèòè÷åñêîé îáëàñòè íàõîäèì têð2 = 1,67. Âû÷èñëÿåì∗íàáëþäàåìîå çíà÷åíèå êðèòåðèÿ ïî ôîðìóëå (95.1) äëÿ rxy= −0,55:√58Tíàáë = −0,55 · √≈ −5,015.1 − 0,552Ïîñêîëüêó |Tíàáë | > 1,67, äåëàåì âûâîä: ãèïîòåçà H0 îòâåðãàåòñÿñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α = 0,1. Äðóãèìè ñëîâàìè, ìîæíî äîâîëüíîóâåðåííî çàÿâèòü, ÷òî êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè îòëè÷åí îò íóëÿ.Ëåêöèÿ 95. Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç5995.3. Ñðàâíåíèå äâóõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèéÏóñòü èìåþòñÿ äâå íåçàâèñèìûå âûáîðêè îáú¼ìîâ n è m èç íîðìàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé ñ èçâåñòíûìè äèñïåðñèÿìè σ12 è σ22 . Òðåáóåòñÿ ïî íàéäåííûì âûáîðî÷íûì ñðåäíèì x̄ è ȳ ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè αïðîâåðèòü íóëåâóþ ãèïîòåçó H0 î ðàâåíñòâå òåîðåòè÷åñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé:H0 : M (ξ) = M (ζ).Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó íåñìåù¼ííîñòè îöåíîê x̄ è ȳ ñëåäóåò, ÷òî íóëåâóþ ãèïîòåçó ìîæíî çàïèñàòü è òàê:¯ = M (ζ̄).H0 : M (ξ)Äðóãèìè ñëîâàìè, òðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü çíà÷èìî èëè íåò îòëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé âûáîðî÷íûå ñðåäíèå.
 êà÷åñòâå êðèòåðèÿ ïðîâåðêèãèïîòåçû ïðèìåì âåëè÷èíó:x̄ − ȳ.(95.2)Z=√σ12 σ22+nmÄëÿ èçó÷åíèÿ å¼ ñâîéñòâ ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùóþ ñëó÷àéíóþâåëè÷èíó:nm∑∑ξζiiξ¯ − ζ̄i=1i=1Z=√, ãäå ξ¯ =, ζ̄ =.nmσ12 σ22+nmÅñëè âåðíà ãèïîòåçà H0 , ò.å. ξi ∼ N (a; σ1 ), ζi ∼ N (a; σ2 ),òî Z ∼ N (0; 1).Äåéñòâèòåëüíî, Z ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé íîðìàëüíî ðàñïðåäåë¼ííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïîýòîìó ñàìà ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî. ż ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ðàâíû:√()/ σ12 σ22¯ − M (ζ̄)M (Z) = M (ξ)+=nm( n)√m∑∑/ σ12 σ22=M (ξi )/n −M (ζi )/m+=nmi=1i=1√( na ma )/ σ 2 σ 21=−+ 2 = 0,nmnm60Ëåêöèÿ 95. Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç())/ σ12 σ22¯D(Z) = D(ξ) + D(ζ̄)+=nm(∑) ( 2)nm∑/ σ1 σ2222=D(ξi )/n +D(ζi )/m+=nmi=1i=1( 2) ()nσ1 mσ22 / σ12 σ22=+= 1.+ 2n2mnm(Ïîýòîìó, â çàâèñèìîñòè îò êîíêóðèðóþùåé ãèïîòåçû, ðåøàþùååïðàâèëî âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:•H0 : M (ξ) = M (ζ),H1 : M (ξ) ̸= M (ζ).Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äâóñòîðîííÿÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ α/2ïîïàäàíèÿ â êàæäóþ ïîëîâèíó â ñëó÷àå ñïðàâåäëèâîñòè H0 .Èç óðàâíåíèÿ Fñò (Zêð ) = 1 − α/2, ãäå Fñò (Z) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà, íàõîäèì çíà÷åíèå Zêð , âû÷èñëÿåì ïî äàííûì íàáëþäåíèÿì çíà÷åíèå êðèòåðèÿ Zíàáë è åñëè |Zíàáë | > Zêð , òî îòâåðãàåì ãèïîòåçó H0 ñóðîâíåì çíà÷èìîñòè α.
Åñëè |Zíàáë | 6 Zêð , ó íàñ íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü ãèïîòåçó H0 â ïîëüçó äàííîé ãèïîòåçû H1 .Íà ïðàêòèêå óðàâíåíèå Fñò (Zêð ) = 1 − α/2 ðåøàþò èëè ñïîìîùüþ ÝÂÌ (íàïðèìåð, Excel), èëè ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ2 è óðàâíåíèÿ (95.3) ò.ê.αFñò (Zêð ) = Φ(Zêð ) + 0,5 =⇒ Fñò (Zêð ) = 1 −⇐⇒2α⇐⇒⇐⇒ Φ(Zêð ) + 0,5 = 1 −21 α− ;(95.3)2 2•H0 : M (ξ) = M (ζ),H2 : M (ξ) > M (ζ).Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü ïðàâîñòîðîííÿÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ αïîïàäàíèÿ â íå¼ â ñëó÷àå ñïðàâåäëèâîñòè H0 . Èç óðàâíåíèÿFñò (Zêð ) = 1 − α íàõîäèì çíà÷åíèå Zêð , âû÷èñëÿåì ïî ôîðìóëå (95.2) Zíàáë è åñëè Zíàáë > Zêð , òî îòâåðãàåì ãèïîòåçóH0 ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α.
Åñëè Zíàáë 6 Zêð , òî íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü ãèïîòåçó H0 . Íà ïðàêòèêå Zêð íàõîäÿò èëè ñïîìîùüþ ÝÂÌ èëè ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 2, èç óðàâíåíèÿΦ(Zêð ) =Ëåêöèÿ 95. Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç61(95.4) ò.ê.Fñò (Zêð ) = 1 − α ⇐⇒ Φ(Zêð ) + 0,5 = 1 − α ⇐⇒1− α;(95.4)2•H0 : M (ξ) = M (ζ),H3 : M (ξ) < M (ζ).Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü ëåâîñòîðîííÿÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ α ïîïàäàíèÿ â íå¼ â ñëó÷àå ñïðàâåäëèâîñòè H0 . Èç óðàâíåíèÿ′′Fñò (Zêð) = α íàõîäèì çíà÷åíèå Zêð. ñèëó ñèììåòðèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îòíîñèòåëüíî íóëÿ íà ïðàêòèêå íàõîäÿò çíà÷åíèå Zêð èç óðàâíåíèÿ (95.4)′= −Zêð . Åñëè Zíàáë < −Zêð , ãèïîòåçó H0 îòè áåðóò Zêðâåðãàþò ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α, åñëè Zíàáë > −Zêð , òî íåòîñíîâàíèé îòâåðãíóòü H0 .Φ(Zêð ) =Çàìå÷àíèå 95.1.
Åñëè íåçàâèñèìûå âûáîðêè äîñòàòî÷íî áîëüøèå, óêàçàííûé êðèòåðèé ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ ñëó÷àÿ íåèçâåñòíûõ äèñïåðñèé è íå îáÿçàòåëüíî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñîâîêóïíîñòåé.  ýòîì ñëó÷àå âìåñòî ôîðìóëû (95.2) èñïîëüçóþò ôîðìóëó(95.5) äëÿ âû÷èñëåíèÿ êðèòåðèÿ Êðàìåðà-Óýë÷à:Z=√x̄ − ȳS1∗S2∗+nm22.(95.5)95.4. Ñðàâíåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿñ çàäàííûì çíà÷åíèåìÏóñòü èìååòñÿ âûáîðêà îáú¼ìà n íîðìàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñ èçâåñòíîé äèñïåðñèåé σ 2 . Òðåáóåòñÿ ïî íàéäåííîé âûáîðî÷íîé ñðåäíåéñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α ïðîâåðèòü ãèïîòåçó H0 î ðàâåíñòâå íåèçâåñòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M (ξ) çàäàííîìó çíà÷åíèþ a0 :H0 :M (ξ) = a0 . ñèëó íåñìåù¼ííîñòè îöåíêè x̄ çàêëþ÷àåì, ÷òî íóëåâóþ ãèïîòåçóìîæíî çàïèñàòü è òàê:¯ = a0 .H0 : M (ξ)Äðóãèìè ñëîâàìè, òðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü, çíà÷èìî èëè íåò îòëè÷àåòñÿ âûáîðî÷íîå ñðåäíåå îò çàäàííîãî çíà÷åíèÿ.  êà÷åñòâå êðèòåðèÿ62Ëåêöèÿ 95. Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåçâûáåðåì âåëè÷èíóU=x̄ − a0x̄ − a0 √√ =· n.σσ/ n(95.6)Àíàëîãè÷íîìó òîìó, êàê ýòî ñäåëàíî â ï.
98.3, ìîæíî äîêàçàòü(ñäåëàéòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî), ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñëó÷àéíàÿ âå(ξ¯ − a0 )ëè÷èíà U = √èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.n/σÏîýòîìó â çàâèñèìîñòè îò êîíêóðèðóþùåé ãèïîòåçû, ðåøàþùåå ïðàâèëî áóäåò ñëåäóþùèì:•H0 : M (ξ) = a0 ;H1 : M (ξ) ̸= a0 .Èç óðàâíåíèÿ (95.3) ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 2 (èëè ñ ïîìîùüþ ÝÂÌ) îïðåäåëÿåì Zêð , ïî ôîðìóëå (95.6) íàõîäèìUíàáë äëÿ èìåþùèõñÿ íàáëþäåíèé.Åñëè |Uíàáë | > Zêð , ãèïîòåçó H0 îòâåðãàåì ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α, åñëè |Uíàáë | 6 Zêð , òî íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòüãèïîòåçó H0 â ïîëüçó äàííîé ãèïîòåçû H1 .•H0 : M (ξ) = a0 ;H2 : M (ξ) > a0 .Èç óðàâíåíèÿ (95.4) îïðåäåëÿåì Zêð , ïî ôîðìóëå (95.6)íàõîäèì Uíàáë .
Åñëè Uíàáë > Zêð , ãèïîòåçó H0 îòâåðãàåì ñóðîâíåì çíà÷èìîñòè α, åñëè Uíàáë 6 Zêð , òî íåò îñíîâàíèéîòâåðãíóòü H0 .•H0 : M (ξ) = a0 ;H3 : M (ξ) < a0 .Èç óðàâíåíèÿ (95.4) îïðåäåëÿåì Zêð , ïî ôîðìóëå (95.6)íàõîäèì Uíàáë . Åñëè Uíàáë < −Zêð , ãèïîòåçó H0 îòâåðãàåì ñóðîâíåì çíà÷èìîñòè α, åñëè Uíàáë > −Zêð , òî íåò îñíîâàíèéîòâåðãíóòü H0 .Åñëè â óñëîâèÿõ ï. 98.4 äèñïåðñèÿ íåèçâåñòíà, â êà÷åñòâå êðèòåðèÿñëåäóåò âûáðàòü âåëè÷èíóx̄ − a0x̄ − a0 √T = ∗ √ =· n.(95.7)S∗S / nÌîæíî äîêàçàòü (ìû íå áóäåì ýòîãî√ äåëàòü), ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà T = (ξ¯ − a0 ) · n/S ∗ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû. Ðåøàþùåå ïðàâèëî â çàâèñèìîñòè îòêîíêóðèðóþùåé ãèïîòåçû áóäåò ñëåäóþùèì:•H0 : M (ξ) = a0 ;H1 : M (ξ) ̸= a0 .Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü â äàííîì ñëó÷àå áóäåò äâóñòîðîííåé;êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà t2 îïðåäåëÿåòñÿ ïî çàäàííûì α è n − 1 ïîËåêöèÿ 95.
Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç63ñïåöèàëüíûì òàáëèöàì (ïðèëîæåíèå 3) èëè ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè, îáðàòíîé ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà, èìåþùåéñÿ, íàïðèìåð, ñðåäè ñòàòèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé Excel. Ïîôîðìóëå (95.7) îïðåäåëÿåì Tíàáë .Åñëè |Tíàáë | > t2 , ãèïîòåçà H0 îòâåðãàåòñÿ ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α, åñëè |Tíàáë | 6 t2 , òî íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü H0â ïîëüçó äàííîé ãèïîòåçû H1 .Ïðè êîíêóðèðóþùèõ ãèïîòåçàõ H2 : M (ξ) > a0 è H3 : M (ξ) < a0ñòðîÿò ñîîòâåòñòâåííî ïðàâîñòîðîííþþ è ëåâîñòîðîííþþ êðèòè÷åñêèå îáëàñòè (ñì. [5]).95.5. Ñðàâíåíèå âåðîÿòíîñòè ñ çàäàííûìè çíà÷åíèåìÏóñòü ïðîâåäåíî n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè ñ íåèçâåñòíîé âåðîÿòíîñòüþ p ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â êàæäîì. Ïî ðåçóëüòàòàì èñïûòàíèé íàéäåíà îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà m/n, ãäå m ÷èñëîïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ A â n èñïûòàíèÿõ.
Òðåáóåòñÿ ïî âåëè÷èíå m/nñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α ïðîâåðèòü íóëåâóþ ãèïîòåçó H0 î òîì, ÷òîíåèçâåñòíàÿ âåðîÿòíîñòü p ðàâíà çàäàííîìó çíà÷åíèþ p0 :H0 :p = p0 .Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó íåñìåù¼ííîñòè îöåíêè m/n äëÿ p íóëåâóþãèïîòåçó ìîæíî çàïèñàòü è òàê:(m)H0 : M= p0 .nÄðóãèìè ñëîâàìè, òðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü, çíà÷èìî èëè íåò îòëè÷àåòñÿ ÷àñòîòà îò çíà÷åíèé p0 .  êà÷åñòâå êðèòåðèÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçûïðèìåì âåëè÷èíómnU= √− p0 √· n,p0 q0ãäå q0 = 1 − p0 .(95.8)Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðè ñïðàâåäëèâîñòè ãèïîòåçû H0 èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
