Примеры решения задач (1094491), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêè17(%i22) var1(x);/* Íåñìåùåííîå ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.*/(%i23) std1(x);/* Ìåäèàíà.*/(%i24) median(x);93.5. Òî÷å÷íûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿÂûáîðî÷íîå ñðåäíåå, âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ è ÑÊÎ ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðàìè òî÷å÷íûõ îöåíîê ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ.93.4. Òî÷å÷íîé îöåíêîé ean íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà a ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ îòíàáëþäåíèé:ean = ea(x1 , .
. . , xn ).ÎïðåäåëåíèåÄëÿ èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ ýòîé îöåíêè å¼ ðàññìàòðèâàþò êàê ôóíêöèþ îò n íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , . . . , ξn , èìåþùèõ òàêîåæå ðàñïðåäåëåíèå, ÷òî è ξ ; x1 , . . . , xn â ýòîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàþòñÿêàê íàáëþäåíèÿ íàä ýòèìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè: x1 ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ξ1 , x2 íàáëþäåííîå çíà÷åíèå ξ2 è ò.ä. Ñàìà îöåíêà eanâ ýòîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà òî÷å÷íîé îöåíêè ean , êîòîðûå ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ ¾õîðîøèìè¿.an íàçûâàåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé, åñëèÎïðåäåëåíèå 93.5.
Îöåíêà eïðè n → ∞ îíà ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê îöåíèâàåìîìó ïàðàìåòðó a:lim P {|ean − a| < ε} = 1 äëÿ ∀ ε > 0.n→∞Îïðåäåëåíèå 93.6. Îöåíêà ean íàçûâàåòñÿ íåñìåùåííîé, åñëè å¼ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî îöåíèâàåìîìó ïàðàìåòðó a:M (ean ) = a.Èíîãäà òî÷å÷íûå îöåíêè îáëàäàþò áîëåå ñëàáûì ñâîéñòâîì: èõñìåùåíèå M (ean ) − a ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞.
Òàêèå îöåíêèíàçûâàþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè íåñìåù¼ííûìè.93.7. Íåñìåù¼ííàÿ îöåíêà ean íàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíîé, åñëè å¼ äèñïåðñèÿ íàèìåíüøàÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè íåñìåù¼ííûìè îöåíêàìè.Îïðåäåëåíèå18Ëåêöèÿ 93. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêèÍà ïðàêòèêå îöåíêà íå âñåãäà óäîâëåòâîðÿåò âñåì ýòèì òðåáîâàíèÿì îäíîâðåìåííî.93.6. Äîêàçàòü, ÷òî âûáîðî÷íîå ñðåäíåå x̄ ÿâëÿåòñÿ íåñìåù¼ííîé è ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ(ãåíåðàëüíîãî ñðåäíåãî) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.ÏðèìåðÐ å ø å í è å: Îáîçíà÷èì M (ξ) = a, D(ξ) = σ 2 . Ðàññìàòðèâàÿ x̄êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, íàéäåì å¼ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.
Ïðèýòîì, êàê áûëî îòìå÷åíî ðàíåå, ñ÷èòàåìM (ξ1 ) = . . . = M (ξn ) = a, D(ξ1 ) = . . . = D(ξn ) = σ 2 .M (ξ) = M n∑n∑ξi =M (ξi )i=1=na= a.nnnÍåñìåù¼ííîñòü âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî äîêàçàíà. Îöåíèì òåïåðüäèñïåðñèþ âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî:i=1D(ξ) = D n∑ξi =i=1nn∑D(ξi )i=1n2nσ 2σ2= 2 = .nn?? ñîîòâåòñòâèè ñ íåðàâåíñòâîì ×åáûøåâà (òåîðåìà) ïîëó÷àåì∀ ε > 0:{}σ 2 /n1 > P ξ − M (ξ) < ε > 1 − 2 .εÇàìåíÿÿ M (ξ) = a è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè n → ∞, ïîëó÷àåì{}1 > lim P ξ − a < ε > 1,n→∞îòêóäà ïîëó÷àåì:{}lim P ξ − a < ε = 1.n→∞Ýòî ðàâåíñòâî è îçíà÷àåò ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíêè x̄.93.2. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî âûáîðî÷íîå ñðåäíåå áóäåò ýôôåêòèâíîé îöåíêîé ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ â ñëó÷àå, êîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Çàìå÷àíèåËåêöèÿ 93.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêè19Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ S 2 ÿâëÿåòñÿñîñòîÿòåëüíîé è ñìåù¼ííîé îöåíêîé äèñïåðñèè σ 2 :n−1 2M (S 2 ) =σ .(93.8)nÏðèìåì ýòî áåç äîêàçàòåëüñòâà.Ïðè ìàëûõ îáú¼ìàõ âûáîðêè n äëÿ îöåíêè äèñïåðñèè σ 2 èñïîëü2çóþò èñïðàâëåííóþ âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ S ∗ :nn1 ∑∗22S =S =(xi − x̄)2 .(93.9)n−1n − 1 i=1Îöåíêà S ∗ ÿâëÿåòñÿ íåñìåù¼ííîé, ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé äèñïåðñèè σ 2 .2Ôîðìóëà (93.9) ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü S ∗ äëÿ ïðîñòîé ñîâîêóïíîñòè. Äëÿ ñãðóïïèðîâàííûõ äàííûõ èñïîëüçóþò àíàëîãè÷íóþ ôîðìóëó(93.10):k1 ∑2S∗ =ni (xi − x̄)2 .(93.10)n − 1 i=12Çàìå÷àíèåêîé ÑÊÎ S .93.3.
Èñïðàâëåííîå ÑÊÎ S ∗ ÿâëÿåòñÿ ñìåù¼ííîé îöåí-93.6. Ðàñïðåäåëåíèÿ, èñïîëüçóåìûå â ñòàòèñòèêåÏîçíàêîìèìñÿ ñ íåêîòîðûìè íåïðåðûâíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè, êîòîðûå ïðèìåíÿþòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå.Ðàñïðåäåëåíèå χ2 (õè-êâàäðàò).Ïóñòü èìååòñÿ n íåçàâèñèìûõ ñòàíäàðòíûõ íîðìàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , ξi ∼ N (0; 1), i = 1, . . . , n.n∑2Îïðåäåëåíèå 93.8. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû χn =ξi2íàçûâàåòñÿ χ2 ðàñïðåäåëåíèåì ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Î÷åâèäíî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà χ2n > 0.Ïëîòíîñòü ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä:k−1 (x 2 ) e− x2 ïðè x > 0,kφ(x) =Γ k2 2 20ïðè x < 0.i=120Ëåêöèÿ 93.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêèÇäåñü Γ(x) =∫∞tx−1 · e−t dt ãàììà ôóíêöèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ îáîáùå-0íèåì ïîíÿòèÿ ôàêòîðèàëà: Γ(x) = (x − 1)! ïðè x > 1.93.4. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn ñâÿçàíûêàêîé-íèáóäü çàâèñèìîñòüþ, íàïðèìåð ξ1 + . . . + ξn = n · x, òî ÷èñn∑ëî ñòåïåíåé ñâîáîäû óìåíüøàåòñÿ, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàξi2 áóäåòÇàìå÷àíèåèìåòü ðàñïðåäåëåíèå χ2n−1 .i=1Ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà.Ïóñòü èìååòñÿ n + 1 íåçàâèñèìàÿ ñòàíäàðòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàζ, ξ1 , . . . , ξn .93.9.
Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûζt= √χ2nníàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüþäåíòà ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.ÎïðåäåëåíèåÏëîòíîñòü ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä:() n+12x21+ 2φ(x) = n−1 ( )√ .2 2 Γ n2πnÏîñêîëüêó ðàñïðåäåëåíèå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íóëÿ (ïëîòíîñòü ÷¼òíàÿ ôóíêöèÿ), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî íóëþ.Ñòüþäåíò ïñåâäîíèì àíãëèéñêîãî ñòàòèñòèêà Ãîññåòà.F Ðàñïðåäåëåíèå ÔèøåðàÑíåäåêîðà.Ïóñòü èìååòñÿ n + k íåçàâèñèìûõ ñòàíäàðòíûõ âåëè÷èí: ξ1 , . . .
, ξn ;ζ1 , . . . , ζk ; ξi ∼ N (0; 1), i = 1, . . . , n; ζi ∼ N (0; 1), j = 1, . . . , k .Îïðåäåëåíèå93.10. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûχ2nFn,k = n2χkkíàçûâàåòñÿ Fðàñïðåäåëåíèåì ÔèøåðàÑíåäåêîðà (ðàñïðåäåëåíèåìÔèøåðà èëè Fðàñïðåäåëåíèåì) ñ n, k ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Ëåêöèÿ 93. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêè21Î÷åâèäíî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Fn,k > 0.Ïëîòíîñòü ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä:(m + k )( n ) n2(Γnn )− n+k2−122·x1+x)()(φ(x) =knkk·ΓΓ220ïðè x > 0,ïðè x < 0.Äëÿ âñåõ ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé èìåþòñÿ òàáëèöû ïëîòíîñòè è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ; èõ ìîæíî òàêæå âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì íà ÝÂÌ (òàêèõ, êàê Excel, Mathcad, Maxima è ïðî÷.).93.7.
Èíòåðâàëüíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿÍàðÿäó ñ ðàññìîòðåííûìè òî÷å÷íûìè îöåíêàìè, îïðåäåëÿåìûìèîäíèì ÷èñëîì, èñïîëüçóþò èíòåðâàëüíûå îöåíêè íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìûå äâóìÿ ÷èñëàìè êîíöàìè èíòåðâàëà, äàþùèìè âåðîÿòíîñòíóþ îöåíêó ñâåðõó è ñíèçó íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ.Èíòåðâàëüíûå îöåíêè öåëåñîîáðàçíî ïðèìåíÿòü ïðè ìàëîì îáú¼ìåâûáîðêè, êîãäà äèñïåðñèÿ òî÷å÷íîé îöåíêè âåëèêà è îíà ìîæåò ñèëüíîîòëè÷àòüñÿ îò îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà.Îïðåäåëåíèå 93.11. Äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì äëÿ íåñìåù¼ííîãî ïàðàìåòðà a íàçûâàþò èíòåðâàë (a1 ; a2 ) ñî ñëó÷àéíûìè ãðàíèöàìè, çàâèñÿùèìè îò íàáëþäåíèé: a1 = a1 (x1 , .
. . , xn ), a2 == a2 (x1 , . . . , xn ), íàêðûâàþùèé íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð ñ çàäàííîéâåðîÿòíîñòüþ γ : P {a ∈ (a1 ; a2 )} = γ . Âåðîÿòíîñòü γ íàçûâàåòñÿäîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ èëè íàäåæíîñòüþ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà.Îáû÷íî γ çàäàþò ðàâíûì 0,95; 0,99 è áîëåå.Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ íåèçâåñòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè èçâåñòíîé äèñïåðñèè èìååòâèä:(σσ )x̄ − τ γ √ ; x̄ + τ γ √ ,(93.11)22nnãäå âåëè÷èíà τ γ îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ:2Φ(τ γ ) =2γ2(93.12)22Ëåêöèÿ 93.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêèïî òàáëèöàì ôóíêöèè Ëàïëàñà èëè ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà, à x̄ âûáîðî÷íîå ñðåäíåå.93.5. Ïðè âîçðàñòàíèè îáú¼ìà âûáîðêè n, êàê âèäíîèç (93.11), äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë óìåíüøàåòñÿ. Ïðè óâåëè÷åíèèíàäåæíîñòè γ óâåëè÷èâàåòñÿ âåëè÷èíà τ γ , ò.ê.
ôóíêöèÿ Ëàïëàñà â2(93.12) âîçðàñòàþùàÿ; ñëåäîâàòåëüíî, óâåëè÷èâàåòñÿ è äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (93.11).Çàìå÷àíèåÄëÿ ïîëó÷åíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà (93.11) çàìåòèì, ÷òîåñëè íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξi ∼ N (a; σ), i = 1, . . . , n, òîñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ξ¯ = (ξ1 + . . . ξn )/n òîæå ðàñïðåäåëåíî íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè:¯ = a,M (ξ)¯ = √σ .σ(ξ)n(93.13)Ôîðìóëû (93.13) áûëè ïîëó÷åíû â ïðèìåðå 93.1. Áóäåì èñêàòüäîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ a â âèäå:P {|ξ¯ − a| < ε} = γ,(93.14)ãäå γ çàäàííàÿ äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ε âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé ( ), êîòîðàÿ â äàííîì ñëó÷àå ñ ó÷¼òîì (93.13)ïðèíèìàåò âèä:( ε )¯√ .P {|ξ − a| < ε} = 2Φσ/ n??Íàéä¼ì ε èç óðàâíåíèÿ:( ε )( ε ) γε√√√ = τ γ =⇒2Φ= γ =⇒ Φ==⇒22σ/ nσ/ nσ/ nσε = τγ · √ .2nÑ ó÷¼òîì ïîëó÷åííîé âåëè÷èíû ε äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (93.14)ïðèíèìàåò âèä (93.11).93.7.
Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ íåèçâåñòíîãîìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ a íîðìàëüíî ðàñïðåäåë¼ííîé ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû ñî ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ = 2 ïî âûáîðêåîáú¼ìà n = 64 ñ âûáîðî÷íûì ñðåäíèì x̄ = 5,2. Íàäåæíîñòü äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà γ = 0,95.ÏðèìåðËåêöèÿ 93. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêè23Ð å ø å í è å: Èç óðàâíåíèÿ (93.12) ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 2íàõîäèì äëÿ γ2 = 0,475 τ γ = 1,96.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
