Примеры решения задач (1094491), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé n íàçûâàåòñÿ îáú¼-8Ëåêöèÿ 93. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêèÏðè áîëüøîì ÷èñëå íàáëþäåíèé (ñîòíè, òûñÿ÷è) ïðîñòàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñîâîêóïíîñòü ïåðåñòà¼ò áûòü óäîáíîé ôîðìîé çàïèñè ñòàòèñòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà îíà ñòàíîâèòñÿ ñëèøêîì ãðîìàäíîé.
Äëÿáîëåå ýêîíîìè÷íîé çàïèñè íàáëþäàåìûå çíà÷åíèÿ ãðóïïèðóþò.Ïóñòü â âûáîðêå çíà÷åíèå x1 íàáëþäàëîñü n1 ðàç, x2 n2 ðàç, . . .,k∑xk nk ðàç èni = n îáú¼ì âûáîðêè.i=193.2. Íàáëþäàåìûå çíà÷åíèÿ xi íàçûâàþò âàðèàíòàìè, à èõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, çàïèñàííóþ â âîçðàñòàþùåì ïîðÿäêå âàðèàöèîííûì ðÿäîì. ×èñëà íàáëþäåíèé n1 , n2 , . . . , nk íàçûâàþò ÷àñòîòàìè.ÎïðåäåëåíèåÑòàòèñòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì âûáîðêè íàçûâàþò ïåðå÷åíü âàðèàíò è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ÷àñòîò òàáë.
93.1.Òàáëèöà 93.1Ñòàòèñòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèåâàðèàíòû xi x1 . . .xk÷àñòîòû ni n1 . . .nk93.3. Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ è ãèñòîãðàììàÑ êàæäûì èñïûòàíèåì, â êîòîðîì íàáëþäàåòñÿ íåêîòîðàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ , ìîæíî ñâÿçàòü ñëó÷àéíîå ñîáûòèå ξ = xi , íî èíîãäàóäîáíåå ðàññìàòðèâàòü ñîáûòèå ξ < xi .Îïðåäåëåíèå 93.3. Ýìïèðè÷åñêîé (ñòàòèñòè÷åñêîé) ôóíêöèåéðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ F ∗ (x), êîòîðàÿ ïðè êàæäîì x ðàâíà îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòå ñîáûòèÿ ξ < x,ò.å. îòíîøåíèþ nx ÷èñëà íàáëþäåíèé ìåíüøèõ x ê îáú¼ìó âûáîðêèn:nx.nÏðèìåð 93.4.
Ïîñòðîèòü ýìïèðè÷åñêóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿäëÿ äàííîé âûáîðêè:Âàðèàíòû xi 1 4 6 7 8 10×àñòîòû ni 5 10 15 5 10 5F ∗ (x) = P ∗ (ξ < x) =Ëåêöèÿ 93. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêè9Ð å ø å í è å: Îáú¼ì âûáîðêè n ðàâåí 5+10+15+5+10+5=50.Íàèìåíüøàÿ âàðèàíòà ðàâíà 1, ñëåäîâàòåëüíî F ∗ (x) = 0 ïðè x 6 1.Çíà÷åíèå x < 3, à èìåííî x = 1 íàáëþäàëîñü 5 ðàç, ñëåäîâàòåëüíî5= 0,1 ïðè 1 < x 6 4. Çíà÷åíèÿ x < 6, à èìåííî x = 1 èF ∗ (x) = 50x = 4 íàáëþäàëèñü 5+10=15 ðàç, ñëåäîâàòåëüíî F ∗ (x) = 15= 0,3 ïðè5030∗4 < x 6 6. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì F (x) = 50 = 0,6 ïðè 6 < x 6 7 è ò.ä.Òàê êàê 10 íàèáîëüøàÿ âàðèàíòà, F ∗ (x) = 1 ïðè x > 10.0ïðèx 6 1,0,1ïðè1<x6 4, 0,3 ïðè 4 < x 6 6,0,6 ïðè 6 < x 6 7,F ∗ (x) =0,7 ïðè 7 < x 6 8, 0,9 ïðè 8 < x 6 10,1ïðèx > 10.F *(x)10.90.70.60.30.11467810xÐèñ.
1. Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿÃðàôèê íàéäåííîé ôóíêöèè ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 1.Èç îïðåäåëåíèÿ F ∗ (x) âûòåêàþò å¼ ñâîéñòâà:1) 0 6 F ∗ (x) 6 1;2) F ∗ (x) ñòóïåí÷àòàÿ íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ;3) åñëè x1 íàèìåíüøàÿ, à xk íàèáîëüøàÿ âàðèàíòû, òî F ∗ (x) =0 ïðè x 6 x1 è F ∗ (x) = 1 ïðè x > xk .10Ëåêöèÿ 93. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêèÃèñòîãðàììà ïðåäñòàâëÿåò âûáîðêó áîëåå íàãëÿäíî. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãèñòîãðàììû ðàçäåëèì âåñü äèàïàçîí íàáëþäåíèé íà s èíòåðâàëîâ âèäà (aj−1 ; aj ] è îïðåäåëèì êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé mj , ïîïàâøèõ â j -é èíòåðâàë. Îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà íàáëþäåíèé, ïîïàâøèõ âmjj -é èíòåðâàë ðàâíà Pj∗ =(m1 + . .
. + ms = n), ñóììà âñåõ ÷ànñòîò, î÷åâèäíî, ðàâíà åäèíèöå. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãèñòîãðàììû ïî îñèPj∗mj=. Ïîëó÷åííàÿîðäèíàò îòêëàäûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ∆ajn · (aj − aj−1 )ôèãóðà, ñîñòîÿùàÿ èç ïðÿìîóãîëüíèêîâ, íàçûâàåòñÿ ãèñòîãðàììîé îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò. Ïëîùàäü êàæäîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòå íàáëþäåíèé, ïîïàâøèõ â äàííûé èíòåðâàë. Äëÿäàííûõ ïðèìåðà 93.4 ïîëó÷àþòñÿ ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ:N ï/ï aj−1 aj mj123403693 56 259 1512 5Pj∗mj=n0.10.50.30.1Pj∗∆aj1/305/303/301/30Ïîëó÷èâøàÿñÿ ãèñòîãðàììà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ.
2.530330130036912xÐèñ. 2. Ãèñòîãðàììà îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîòËåêöèÿ 93. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêè11Äðóãèì íàãëÿäíûì ñïîñîáîì ïðåäñòàâëåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëèãîí îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò. Äëÿ åãî ïîñòðîåíèÿ ïî îñè àáñöèññ îòêëàäûâàþòñÿ âàðèàíòû, à ïî îñè îðäèíàò îòíîñèòåëüíûå÷àñòîòû (ðèñ. 3), è ïîëó÷åííûå òî÷êè ñîåäèíÿþòñÿ ëîìàíîé ëèíèåé.Pi*0.30.20.11467810xÐèñ. 3. Ïîëèãîí îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîòÄëÿ âûáîðêè èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè çíà÷åíèé íåïðåðûâíîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ãèñòîãðàììà ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèì àíàëîãîìïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ, à äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîëèãîí îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèì àíàëîãîì ìíîãîóãîëüíèêà âåðîÿòíîñòåé.
Ïðè óâåëè÷åíèè îáú¼ìà âûáîðêè ýòè ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè â îïðåäåë¼ííîì ñìûñëå ïðèáëèæàþòñÿ êñâîèì òåîðåòè÷åñêèì àíàëîãàì.93.1. Íàðÿäó ñ ãèñòîãðàììîé è ïîëèãîíîì îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò èíîãäà ðàññìàòðèâàþò ñîîòâåòñòâåííî ãèñòîãðàììó è ïîëèãîí ÷àñòîò, îòëè÷àþùèåñÿ ìàñøòàáîì ïî îñè îðäèíàò âñå çíà÷åíèÿ ïî îñè îðäèíàò óìíîæàþòñÿ íà n îáú¼ì âûáîðêè.Ïîíÿòíî, ÷òî ôîðìó ïîëó÷àåìûõ ôèãóð ýòî íå èçìåíÿåò.Çàìå÷àíèå93.4. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñòàòèñòè÷åñêîãîðàñïðåäåëåíèÿÑòàòèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ è ãèñòîãðàììà ÿâëÿþòñÿïîëíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â äàííîé ñåðèè èñïûòàíèé.
Îäíàêî èíîãäà öåëåñîîáðàçíî îãðàíè÷èòüñÿ áîëåå ïðîñòîé, õîòÿ è íåïîëíîé õàðàêòåðèñòèêîé ðàñïðåäåëåíèÿ.12Ëåêöèÿ 93. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêèÏðîñòåéøåé õàðàêòåðèñòèêîé ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ âûáîðî÷íîåñðåäíåå, êîòîðîå äëÿ ïðîñòîé ñòàòèñòè÷åñêîé ñîâîêóïíîñòè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:n1∑x̄ =xi .(93.1)n i=1Åñëè äàííûå ñãðóïïèðîâàíû, òî:1∑x̄ =ni · xi .n i=1k(93.2)Èíûìè ñëîâàìè, âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñðåäíååâçâåøåííîå çíà÷åíèå, ïðè÷¼ì âåñà ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì ÷àñòîòàì.Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ðàçáðîñà çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îòíîñèòåëüíî å¼ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ èñïîëüçóåòñÿ âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ1∑S =(xi − x̄)2 = (x − x̄)2n i=1n2(93.3)äëÿ ïðîñòîé ñîâîêóïíîñòè è1∑S =ni (xi − x̄)2n i=1k2(93.4)äëÿ ñãðóïïèðîâàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Î÷åâèäíî, âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî èêâàäðàò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Ïðàêòè÷åñêè óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ âåëè÷èíîé, èìåþùåé òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è äàííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî èç äèñïåðñèè èçâëå÷ü êâàäðàòíûé êîðåíü.Ýòà âåëè÷èíà√(93.5)S = S2íàçûâàåòñÿ âûáîðî÷íûì ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì (ÑÊÎ).Íà ïðàêòèêå âìåñòî ôîðìóëû (93.3) áûâàåò óäîáíåå ïðèìåíÿòüäðóãóþ:n1∑ 2S2 =x − (x̄)2 = x2 − x2(93.6)n i=1 iäëÿ ïðîñòîé ñîâîêóïíîñòè è1∑S =ni x2i − (x̄)2n i=1k2(93.7)Ëåêöèÿ 93. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêè13äëÿ ñãðóïïèðîâàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Äîêàæåì ôîðìóëó (93.6):nn1∑1∑ 222S =(xi − x̄) =(xi − 2xi x̄ + x̄2 ) =n i=1n i=11∑ 21∑xi − 2x̄xi + x̄2 = x2 − 2x̄ · x̄ + x̄2 = x2 − x2 .n i=1n i=1n=nÏðèìåð 93.5.
Ïîêàæåì, êàê ïîñòðîèòü ãèñòîãðàììó è ýìïèðè÷åñêóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, âû÷èñëèòü ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììû íà Mathcad.Ñôîðìèðóåì ìàññèâ x âûáîðêè n = 500 ñ ïîìîùüþ äàò÷èêà ñëó÷àéíûõ ÷èñåë.ORIGIN := 1n := 500/*Îáú¼ì âûáîðêè*//*Ìàññèâ çíà÷åíèé âûáîðêè ãåíåðèðóåì ïðè ïîìîùè äàò÷èêà ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 145 è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ = 15 è ¾èñêðèâëÿåì¿ åãî äðóãèìè ñëó÷àéíûìè ÷èñëàìè â äèàïàçîíå îò 0 äî10.*/x := rnorm(n, 145, 15)i := 1..nxi = xi + rnd(10)12345678· · · 500xT =149.59 145.7 133.5 138.9 143.1 155.8 118.5 154.1 · · · 110.6/*Ïîñòðîèì âàðèàöèîííûé ðÿä, ðàñïîëîæèâ çíà÷åíèÿ ïî âîçðàñòàíèþ.
Ñîðòèðóåì âûáîðêó ïî âîçðàñòàíèþ:*/x := sort(x)12345678· · · 500xT =104.5 104.9 105.2 105.5 106.5 107.9 108.2 111.4 · · · 194.8/*Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãèñòîãðàììû âåñü äèàïàçîí ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé îò x1 äî xn ðàçîáüåì íà 20 èíòåðâàëîâ îäèíàêîâîé äëèíû ∆ èïîñ÷èòàåì ÷èñëî íàáëþäåíèé hm , ïîïàâøèõ â mé èíòåðâàë.*//*Äèàïàçîí èçìåíåíèÿ çíà÷åíèé.*/x1 = 104.5xn = 194.9xn − x1s := 20 ∆ :=∆ = 4.52s/*Äëèíà èíòåðâàëà.*/m := 1..s + 2 k := 1..s + 3 Tk = x1 + ∆ · (k − 2)/*Ãðàíèöû èíòåðâàëîâ.*/tm := Tm+12+Tm /*Ñåðåäèíû èíòåðâàëîâ.*/14Ëåêöèÿ 93. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêèh := hist(T, x)/n /*Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé îðäèíàò ãèñòîãðàììû.*/∑hm = 1/*Êîíòðîëü ñóììû îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò.*/m/*Íèæå ïðåäñòàâëåíû ãðàôèê ïîëó÷åííîé ãèñòîãðàììû, ðèñ.
4.*/Ãèñòîãðàììà îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò äëÿ ïðèìåðà 93.4Ðèñ. 4./*Íàéäåì çíà÷åíèÿ ýìïèðè÷åñêèõ çíà÷åíèé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F ∗ (x) äëÿ çíà÷åíèé x ñ øàãîì ∆ è ïîñòðîèì åå ãðàôèê:*/j := 2..MFT =F1 := h1Fj := Fj−1 + hj123456789 ···0 0.008 0.014 0.022 0.044 0.078 0.12 0.202 0.29 · · ·/*Íèæå ïðåäñòàâëåí ãðàôèê ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ðèñ. 5*//*Íàéäåì òàêæå íåêîòîðûå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè äàííîé âûáîðêè:*/M x := mean(x) M x = 148.378 . /*Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå.*/var(x) = 238.26/*Ñìåù¼ííàÿ âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ.*/V ar(x) = 238.737/*Íåñìåù¼ííàÿ âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ.*/Ëåêöèÿ 93.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêè15Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ïðèìåðà 93.5Ðèñ. 5.stdev(x) = 15.436. /*Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.*/Stdev(x) = 15.451. /*Íåñìåù¼ííîå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.*/median(x) = 148.615 /*Ìåäèàíà çíà÷åíèå âàðèàíòû, äëÿ êîòîðîãî êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ íàõîäÿùèõñÿ ñëåâà è ñïðàâà, îäèíàêîâî.*/Maxima-ïðîãðàììà:(%i0) kill(all)$ fpprintprec:4$ numer:true$ n:500$(%i4) load(distrib)$/*Ãåíåðèðóåì âûáîðêó îáú¼ìà n ïñåâäîñëó÷àéíûìè ÷èñëàìè. */(%i5) x:random_normal(145, 15, n)$/*Èçìåíÿåì çíà÷åíèå âûáîðêè äîáàâëåíèåì ñëó÷àéíûõ ÷èñåë â äèàïàçîíå îò 0 äî 10.*/(%i6)x:makelist(x[i]+random(10),i,1,n)$/*Çàãðóæàåì áèáëèîòåêó descriptive.*/(%i7) load (descriptive)$/*Ñòðîèì ãèñòîãðàììó ÷àñòîò.*/(%i8) histogram(x, nclasses=20, title="çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ",16Ëåêöèÿ 93.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêèxlabel="x", ylabel="÷àñòîòû",fill_color=black, fill_density=0.05);/*Ñîðòèðóåì ñïèñîê â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ çíà÷åíèé.*/(%i9) x:sort(x)$/*Ðàçáèâàåì âûáîðêó îáú¼ìà n íà s èíòåðâàëîâ äëèíîé delta. */(%i10) s:20$ delta:(x[n]-x[1])/s;/*T ìàññèâ óçëîâûõ êîîðäèíàò ðàçáèåíèÿ. */(%i12) T:makelist(x[1]+delta*k,k,-1,s+1);/*Êîîðäèíàòû ñðåäíèõ òî÷åê îòðåçêîâ.*/(%i13) t:makelist((T[m]+T[m+1])/2,m,1,s+2);/* ×àñòîòû ïîïàäàíèÿ â ñîîòâåòñòâóþùèå îòðåçêè.*/(%i14) h:makelist(0, i, 1, s+2); for j:1 while j<=n do(k:fix((x[j] -x[1])/delta)+1,h[k]:h[k]+1);/*Êîíòðîëüíàÿ ñóììà îáú¼ìà âûáîðêè.*/(%i15) sum(h[i],i,1,s+2);(%o15) 500/*Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ.*/(%i16) F[1]:h[1]; for j:2 while j<=s+2 do(F[j]:F[j-1]+h[j]);(%i17) listarray(F);/*Ãðàôèê ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ.*/(%i18) wxplot2d([['discrete,makelist([t[j],F[j]/n],j,1,s+2)]],[style,[lines,3,5]], [gnuplot_preamble,"set grid"],[ylabel,""])$/* Íàéäåì òàêæå íåêîòîðûå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè äàííîé âûáîðêè: Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå.*/(%i19) mean(x);/* Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ.(%i20) var(x);/* Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.*/(%i21) std(x);/* Íåñìåùåííàÿ âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ.*/Ëåêöèÿ 93.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
