Примеры решения задач (1094491), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå çíà÷åíèå â2(93.11), ïîëó÷àåì (4,71;5,69).Îòâåò: (4,71;5,69).Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ íåèçâåñòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè èìååòâèä:(S∗S∗ )x̄ − tγ √ ; x̄ + tγ √ ,(93.15)nnãäå âåëè÷èíà tγ îïðåäåëÿåòñÿ ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 3 êðèòè÷åñêèõòî÷åê ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà äëÿ α = 1 − γ è k = n − 1 èëè ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà èç óðàâíåíèÿ äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà Fst (x) c n − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû:1+γ,(93.16)2ãäå x̄ è S ∗ ñîîòâåòñòâåííî âûáîðî÷íîå ñðåäíåå è èñïðàâëåííîå ÑÊÎ.Äëÿ ïîëó÷åíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà (93.15) ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà, ÷òî åñëè íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξi ∼ N (a; σ),i = 1, .
. . , n, òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàξ¯ − at= ∗ √(93.17)S / nFst (tγ ) =èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû (ñì ï. 93.4).Îáîçíà÷èì tγ çíà÷åíèå, ïðè êîòîðîì ñ âåðîÿòíîñòüþ γ âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:P {|t| < tγ } = γ.(93.18)Ñ ó÷¼òîì ÷åòíîñòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà φst (t) çíà÷åíèå tγ îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ:P {|t| < tγ } = γ ⇐⇒ P {|t| > tγ } = 1 − γ =⇒ P {t > tγ } =1−γ⇐⇒21−γ1+γ⇐⇒ Fst (tγ ) =.22Ïîäñòàâëÿÿ â (93.18) âûðàæåíèå (93.17), ïîëó÷àåì:}{{ ¯}¯− a ξ−a ξP ∗ √ < tγ = γ ⇐⇒ P − tγ < ∗ √ < tγ = γ,S / nS / n⇐⇒ 1 − Fst (tγ ) =îòêóäà ïîëó÷àåì äëÿ a äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë â âèäå (93.15).24Ëåêöèÿ 93.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêèÇàìå÷àíèå 93.6.  íåêîòîðûõ ïàêåòàõ ïðèêëàäíûõ ïðîãðàììäëÿ ÝÂÌ, íàïðèìåð â Excel, ïîä ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüþäåíòà ïîíèìàåòñÿ 1 − Fst (x). Ïîýòîìó, çàäàâàÿ çíà÷åíèå 1 − γ è ÷èñëî ñâîáîäû,ñ ïîìîùüþ îáðàòíîé ôóíêöèè ìîæíî ñðàçó ïîëó÷èòü çíà÷åíèå tγäëÿ äâóñòîðîííåãî èíòåðâàëà (áåç èñïîëüçîâàíèÿ (93.16)). Óêàçàííûå îñîáåííîñòè ìîæíî óçíàòü èç èíñòðóêöèé ê ïðîãðàììàì.Ïðèìåð 93.8. Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ íåèçâåñòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ a íîðìàëüíî ðàñïðåäåë¼ííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ âûáîðî÷íûì ñðåäíèì x̄ = 10,5 è èñïðàâëåííûì ÑÊÎS ∗ = 1,6 ïî âûáîðêå îáú¼ìà n = 16. Íàäåæíîñòü äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà γ = 0,99.Ð å ø å í è å: Ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 3 äëÿ ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäûk = n − 1 = 15 è α = 1 − γ = 0,01 íàõîäèì tγ = 2,98.
Ïîäñòàâëÿÿïîëó÷åííîå çíà÷åíèå â (93.15), ïîëó÷àåì: (9,308; 11,692).Îòâåò: (9,308; 11,692).Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 93. Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè25Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 93. ÊîýôôèöèåíòêîððåëÿöèèÏðèìåð 93.1.  ïðîäóêöèè çàâîäà áðàê âñëåäñòâèå äåôåêòà A ñîñòàâëÿåò 5%, à âñëåäñòâèå äåôåêòà B 2%. Ãîäíàÿ ïðîäóêöèÿ ñîñòàâëÿåò 94%. Ïóñòü ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ 1 èëè 0 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, îáëàäàåò èëè íå îáëàäàåò âçÿòîå èçäåëèå äåôåêòîì A, à ζ äåôåêòîì B . Ñîñòàâèòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, ζ).
Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèèäåôåêòîâ A è B .Ð å ø å í è å: Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1, åñëè âçÿòîå èçäåëèå îáëàäàåò äåôåêòîì A, è ðàâíà 0, åñëè íå îáëàäàåò.Àíàëîãè÷íî âåëè÷èíà ζ ðàâíà 1 èëè 0 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, îáëàäàåò èëè íåò ýòî èçäåëèå äåôåêòîì B . Òàêèì îáðàçîì, x1 = 1, x2 = 0,y1 = 1, y2 = 0. Îáîçíà÷èì âåðîÿòíîñòè pij = P {ξ = xi , ζ = yj }. Âåðîÿòíîñòü p22 = P {ξ = 0, ζ = 0} = 0,94. Ïðè x2 = 0 y1 = 1 èëè y2 = 0;òîãäà ïî òåîðåìå ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé èìååì P (x2 ) = p21 + p22 .
Òàêêàê P (x2 ) = 0,95 è p22 = 0,94, òî p21 = P (x2 ) − p22 = 0,01. Àíàëîãè÷íî íàéäåì, ÷òî p12 = P (y2 ) − p22 = 0,98 − 0,94 = 0,04. ÏîñêîëüêóP (x1 ) = 0,05, òî èç óðàâíåíèÿ P (x1 ) = p11 + p12 îïðåäåëèì p11 = 0,01.Èñêîìîå ðàñïðåäåëåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå òàáëèöû:ξ\ζ y1 =1 y2 =0x1 =1 0,10 0,04x2 =0 0,01 0,94Ðàñïðåäåëåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ðàâíû:ξ10ζ10p 0,05 0,95 p 0,02 0,98Îòñþäà íàéäåì, ÷òî M (ξ) = 0,05, M (ξ 2 ) = 0,05, D(ξ) = 0,0475,M (ζ) = 0,02, M (ζ 2 ) = 0,02, D(ζ) = 0,0196.Ñ ïîìîùüþ òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû (ξ, ζ) íàïèøåì çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ ξ · ζ :ξ·ζ01p 0,04+0,01+0,94=0,99 0,01è íàéäåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå M (ξ · ζ) = 0,01.
Ïî ôîðìóëå ( )îïðåäåëèì êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè0,01 − 0,0010,009rξζ = √≈≈ 0,295.0,03050,0475 · 0,0196??26Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 93. Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè93.2. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, ζ) ðàâíà:{ 1cos(x − y) ïðè x ∈ [0, π2 ], y ∈ [0, π2 ],2φ(x, y) =0 ïðè x ∈/ [0, π2 ] èëè y ∈/ [0, π2 ].ÏðèìåðÍàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è ζ .Ð å ø å í è å: Ïîñêîëüêó çäåñü ñèñòåìà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé, òî ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ âåëè÷èí ξ è ζ îïðåäåëèì ïî ôîðìóëàì:+∞∫∫M (ξ) =+∞∫∫xφ(x, y)dxdy,M (ζ) =−∞yφ(x, y)dxdy.−∞Òîãäà âû÷èñëÿÿ èíòåãðàë ïî x ïî ÷àñòÿì, íàéäåì∫∫ π/21 π/2πM (ξ) =xdxcos(x − y)dy = .2 040Èç ñèììåòðèè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè îòíîñèòåëüíî ξ è ζ (ôóíêöèÿcos(x − y) ÷¼òíàÿ) ñëåäóåò, ÷òî M (ζ) = M (ξ) = π/4.
Äèñïåðñèÿ+∞∫∫x2 φ(x, y)dxdy − M 2 (ξ).D(ξ) =−∞èëè1D(ξ) =2∫∫π/2x dx0π/2cos(x − y)dy −20( π )24=π2 π+ − 2.16 2Çäåñü èíòåãðàë ïî x âû÷èñëÿëè äâà ðàçà ïî ÷àñòÿì. ÄèñïåðñèÿD(ζ) = D(ξ). Êðîìå òîãî, íåîáõîäèìî íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðîèçâåäåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Òîãäà â îáùåì ñëó÷àå+∞∫∫M (ξ · ζ) =xyφ(x, y)dxdy,−∞à ïðè äàííîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè∫∫ π/21 π/2π2 πM (ξ · ζ) =xdxy cos(x − y)dy =− + 1.2 0820Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 93. Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè27Ïîñëåäíèé èíòåãðàë ïî x è ïî y âû÷èñëÿëè ïî ÷àñòÿì. Ïîäñòàâëÿÿíàéäåííûå çíà÷åíèÿ â ôîðìóëó ( ), îïðåäåëèì êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè:( π2 π) π 2 − 8π + 16π2 ) ( π2 πrξζ =− +1−/+ −2 = 2≈ 0,245.821616 2π + 8π − 32??Ïðèìåð 93.3.
Ñèñòåìà äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, ζ)ïîä÷èíåíà íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìèM (ξ) = 2,M (ζ) = −5,D(ξ) = 9,D(ζ) = 4.Íàïèñàòü âûðàæåíèÿ äëÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè è ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû (ξ, ζ).Ð å ø å í è å: Ïîñêîëüêó çäåñü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íåêîððåëèðîâàíû, òî ïîëîæèì â ôîðìóëå ( ) rξζ = 0. Òîãäà ïîëó÷èì ïðèçàäàííûõ ïàðàìåòðàõ ñëåäóþùóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ:1 − 1 ( (x−2)2 + (y+5)2 )4φ(x, y) =e 2 9.12πÇäåñü ó÷ëè, ÷òî σξ = 3, σζ = 2.
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿñèñòåìû∫ x ∫ yF (x, y) =φ(x, y)dxdy,??òî∫−∞−∞∫ yx(x−2)2(y+5)21− 18eF (x, y) =dx ·e− 8 dy =12π −∞−∞∫ x∫ y) (∫ 0)2(x−2)(x−2)2(y+5)2(y+5)2− 18− 18− 8dx+dx ·dy+eeee− 8 dy .∫1 ( 0=12π −∞0−∞0Ïåðâûå èíòåãðàëû â ñêîáêàõ íàéäåì ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ïóàññîíà√∫ 0∫ +∞π−x2 /2−x2 /2edx =.edx =2−∞0Âòîðûå èíòåãðàëû âûðàçèì ÷åðåç ôóíêöèþ Ëàïëàñà∫ xz21Φ(x) = √e− 2 dz.2π 0Äëÿ ýòîãî ââåäåì íîâûå ïåðåìåííûå: u = (x − 2)/3, v = (y + 5)/2.Òîãäà()∫ x∫ x−22√3(x−2)2x−2− 18− u2edx = 3 ·du = 3 2πΦe,30028Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 93.
Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè∫∫√(y + 5)v2e− 2 dv = 2 2πΦ.200Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ(√(()) ())√√√118πx−2y+5F (x, y) =+ 3 2πΦ·2π + 2 2πΦ=12π232(()) (())x−21y+51+Φ·+Φ.=2322y−e(y+5)28dy = 2 ·y+52Ïðèìåð 93.4. Äâóìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (ξ, ζ) ïîä÷èíåíà çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ φ(x, y) = axy â îáëàñòè G èφ(x, y) = 0 âíå ýòîé îáëàñòè. Îáëàñòü G òðåóãîëüíèê, îãðàíè÷åííûé ïðÿìûìè x + y − 1 = 0, x = 0, y = 0.
Íàéòè âåëè÷èíó a èêîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè rξζ .Ð å ø å í è å: Ïàðàìåòð a íàéäåì èç óñëîâèÿ+∞∫∫φ(x, y)dxdy = 1.−∞Òîãäà∫a∫101−x1= 1 ⇔ a = 24.24xydy = 1 ⇔ a ·dx0Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå+∞∫∫∫M (ξ) =xφ(x, y)dxdy = 241−x2x dx0−∞∫102ydy = .5Àíàëîãè÷íî íàéäåì, ÷òî M (ζ) = 2/5. Äèñïåðñèÿ+∞∫∫∫1∫2D(ξ) =x φ(x, y)dxdy = 240−∞01−x1412= .x3 ydy − ( )2 = −55 2525Ìîæíî ïîêàçàòü òàêæå, ÷òî D(ζ) = 1/25. Äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ · ζ ïîëó÷èì:+∞∫∫∫ 1∫ 1−x22xyφ(x, y)dxdy = 24x dxy 2 dy = .M (ξ · ζ) =1500−∞Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 93.
Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè29??) êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ÷èñëåííî îïðåäåëèòñÿÏî ôîðìóëå (êàê(rξζ =22 2− ·15 5 5) ()1 12/·=− .5 53Ïðèìåð 93.5. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è ζ íåçàâèñèìû è ðàñïðåäåëåíû íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè M (ξ) = M (ζ) = 0, σ(ξ) = σ(ζ) = 1.Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ òî÷êà (ξ, ζ) ïîïàä¼ò â êðóãG ðàäèóñà R = 2 ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.Ð å ø å í è å: Òàê êàê ξ è ζ íåçàâèñèìû, òî èõ ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòüðàñïðåäåëåíèÿ φ(x, y) = φξ (x) · φζ (y).
Ïî óñëîâèþ12φξ (x) = √ e−x /2 ,2πÑëåäîâàòåëüíî,12φζ (y) = √ e−y /2 .2πφ(x, y) = φξ (x) · φζ (y) =1 − 1 (x2 +y2 )e 2.2πÈñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü∫∫∫∫1122e− 2 (x +y ) dxdy.P =φ(x, y)dxdy =2πGGÂû÷èñëÿÿ äâîéíîé èíòåãðàë â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ, ïîëó÷èì:∫∫∫ 2π∫ 21 211− 21 r2eP =rdrdφ =dφe− 2 r rdr = 1 − e−2 ≈ 0,865.2π2π 00GÏðèìåð 93.6. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è ζ íåçàâèñèìû è ðàñïðåäåëåíû íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè M (ξ) = M (ζ) = 0, σ(ξ) = σ(ζ) = 1.Íàéòè ðàäèóñ êðóãà R ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò, âåðîÿòíîñòüïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ñëó÷àéíîé òî÷êè (ξ, ζ) ðàâíà 0,9.Ð å ø å í è å: Ñîãëàñíî ïðåäûäóùåé çàäà÷å, äàííàÿ âåðîÿòíîñòüR∫ R− 12 r2− 12 r2 − 12 R2P =erdr = −e.
=1−e00Äëÿ îïðåäåëåíèÿ R ïîëó÷èì óðàâíåíèå: 1 − e−Ríàéäåì, ÷òî R ≈ 2,145.2 /2= 0,9. Îòñþäà30Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 93. Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèèÏðèìåð 93.7. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (ξ, ζ) ïîä÷èíÿåòñÿ íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñ ïàðàìåòðàìè M (ξ) = M (ζ) = 0, σξ , σζ , rξζ = 0.Âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé òî÷êè â îáëàñòü G,îãðàíè÷åííóþ ýëëèïñîì ñ ïîëóîñÿìè a = kσξ , b = kσζ .Ð å ø å í è å: Óðàâíåíèå ýëëèïñà x2 /(kσξ )2 + y 2 /(kσζ )2 = 1, àèñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü∫∫P ((ξ, ζ) ∈ G) =φ(x, y)dxdy,Gãäå ïëîòíîñòü22− 12 ( x2 + y 2 )1φ(x, y) =e σξ σζ .2πσξ σζÄëÿ âû÷èñëåíèÿ äâîéíîãî èíòåãðàëà ïåðåéäåì ê îáîáù¼ííîé ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, ãäå x = σξ r cos φ, y = σζ r sin φ, à ÿêîáèàíýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ I = σξ σζ r. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè âåðîÿòíîñòü∫ 2π ∫ k122P ((ξ, ζ) ∈ G) =re−r /2 dr = 1 − e−k /2 .2π 00Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà93.8.
Èçãîòàâëèâàåìûå äåòàëè öèëèíäðè÷åñêîé ôîðìûñîðòèðóþòñÿ ïî îòêëîíåíèþ èõ äëèíû îò îïðåäåë¼ííîãî ðàçìåðà íà0,4; 0,5; 0,6 ìì è ïî ðàçáðîñó èõ äèàìåòðà íà 0,12; 0,14 ìì. Ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå îòêëîíåíèé äëèíû ξ è äèàìåòðà ζ çàäàíî òàáëèöåéξ\ζ 0,4 0,5 0,60,12 0,05 0,2 0,150,14 0,15 0,25 0,2Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è ζ è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó íèìè.ÏðèìåðÏðèìåð 93.9.  ïðîäóêöèè ïðåäïðèÿòèÿ áðàê âñëåäñòâèå äåôåêòàα ñîñòàâëÿåò 3%, à âñëåäñòâèå äåôåêòà β - 4, 5%.
Ãîäíàÿ ïðîäóêöèÿñîñòàâëÿåò 95%. Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè äåôåêòîâ α è β .93.10. Çàäàíà ïëîòíîñòü ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, ζ): φ(x, y) = 41 sin x sin y âêâàäðàòå 0 6 x 6 π, 0 6 y 6 π ; âíå êâàäðàòà φ(x, y) = 0. Íàéòèäèñïåðñèè ñîñòàâëÿþùèõ è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè.ÏðèìåðÏðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 93. Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè31Ïðèìåð 93.11. Ñèñòåìà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, ζ) ïîä÷èíåíà çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ{ 1sin(x + y) ïðè x ∈ [0, π2 ], y ∈ [0, π2 ],2φ(x, y) =/ [0, π2 ].0 ïðè x ∈/ [0, π2 ] èëè y ∈Íàéòè ñðåäíèå êâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ σξ , σζ , à òàêæå êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè rξζ .Ïðèìåð 93.12. Ñèñòåìà äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, ζ) ïîä÷èíÿåòñÿ íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòèφ(x, y) = ae−(x+1)2(y−4)2− 27.Íàéòè êîýôôèöèåíò a.93.13.
Ñëó÷àéíàÿ òî÷êà (ξ, ζ) íà ïëîñêîñòè ðàñïðåäåëåíàïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ öåíòðîì ðàñïðåäåëåíèÿ(M (ξ), M (ζ)) = (0,1) è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèìè îòêëîíåíèÿìèσξ = 1, σζ = 2. Âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé òî÷êèâ ïðÿìîóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè (−1; 1), (2; 1), (2; 3), (−1; 3).Ïðèìåð93.14. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû (ξ, ζ) çàäàíà ôîðìóëîé5 − 25 ((x−2)2 −(6/5)(x−2)(y+3)+(y+3)2 )φ(x, y) =e 32.8πÍàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè âåëè÷èí ξ, ζ .ÏðèìåðÏðèìåð 93.15. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è ζ íåçàâèñèìû è íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåíû ñ M (ξ) = M (ζ) = 0, D(ξ) = D(ζ) = 1. Íàéòè âåðîÿòíîñòü√ òîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ òî÷êà ïîïàä¼ò â êîëüöî2 6 x2 + y 2 6 3.32Ëåêöèÿ 94.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
