Буренин А.Н. - Фьючерсные, форвардные и опционные рынки (1094318), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Поэтому правомерно сказать, что в начале периода T портфель Б такжеравен или стоит дороже портфеля А, то есть:ce + Xe − rT + D ≥ S илиce ≥ S − Xe − rT − D(38)Таким образом, премия европейского опциона колл должнабыть не меньше, чем разность между ценой спот акции и суммойприведенных стоимостей цены исполнения и дивиденда, которыйпланируется выплачивать на эти акции. Поскольку американскийопцион предоставляет инвестору больший диапазон возможностей, чем европейский, то данная формула верна и для него.Таблица 26Стоимость портфеляв конце периодав началепериодаПортфель АПортфель БVA=SР>ХVA=P + D-rTVБ = ce+Xe +DР≤ХrTVA=P + D rTVБ=(P-X)+X + D rTVБ = 0+X+D rTVБ = VAVБ>VAФормула (38) показывает еще одну переменную, которая влияетна величину премии опциона колл, а именно, стоимость опционауменьшается, если в период действия контракта по акциям выплачивается дивиденд: стоимость опциона тем меньше, чем большеразмер дивиденда.б) Нижняя граница премии американского и европейскогоопционов путЧтобы определить нижнюю границу премии европейского опциона пут, рассмотрим два портфеля — А и Б.
Портфель А состоитиз облигации с нулевым купоном, равной Хе-rT и суммы денег D.141В портфель Б входит один европейский опцион пут и одна акцияПри Р≥X портфель Б равен P + D rT. При Р < Х он стоит X+ D rT.Портфель А в обоих случаях равен X + D rT (cм. табл. 27).Таблица 27Стоимость портфеляв конце периода Тв началепериода ТПортфель АVA =Xe-rT+DПортфель БVБ=pe+SР≥ХР<ХVA=X+D rTVA=X + D rTVБ = 0+Р + D rТVБ=(X-P)+P + D rTVБ>VAVБ =VAСледовательно, стоимость портфеля Б в конце периода Т больше или равна стоимости портфеля А. Поэтому в начале периода Тпортфель Б должен стоить не меньше портфеля А, то есть:pe + S ≥ Xe − rT + D илиpe ≥ Xe − rT + D − SТаким образом, премия европейского опциона пут должна бытьне меньше разности суммы дисконтированных стоимостей ценыисполнения и дивиденда, который планируется выплатить, и ценыспот акции.
Поскольку американский опцион предоставляет инвестору больший диапазон возможностей, чем европейский, тоданная формула верна и для него.Формула (39) показывает нам еще одну переменную, котораявлияет на величину премии опциона пут, а именно, стоимостьопциона возрастает, если в период действия контракта по акциямвыплачивается дивиденд: стоимость опциона тем больше, чембольше размер дивиденда.в) Раннее исполнение американского опциона коллКак было показано выше, раннее исполнение американскогоопциона колл на акции, не выплачивающие дивиденды, не является оптимальной стратегией. Однако нельзя настаивать на этомутверждении, когда в основе лежат акции, выплачивающие дивиденды.
Как известно, выплата дивидендов приводит к падению142курса акций, а следовательно, и прибыли от исполнения опциона.Поэтому исполнение американского опциона колл перед датойучета может явиться наиболее прибыльной стратегией.Предположим, имеется опцион колл, в основе которого лежатакции, выплачивающие дивиденды Div1, Div2, Div3..., Divn на протяжении срока действия контракта соответственно в моменты t1,t2, t3,.., tn. Если инвестор исполнит опцион непосредственно переддатой учета выплаты последнего дивиденда (момент tn), он получитсумму, равную:Ptn − XЕсли не исполнит опцион, то после выплаты дивиденда ценаакции упадет до:Ptn − Div nа нижняя граница цены опциона составит:Ptn − Div n − Xe − r (T −tn )Если Ptn − Div n − Xe − r (T −tn ) ≥ Ptn − X , то есть[]Div n ≤ X 1 − e − r (T −tn )то опцион не выгодно исполнять в момент tn.
В этом случае еговыгоднее продать.Если Ptn − Div n − Xe − r (T −t n ) 〈 Ptn − X , то есть[Div n ≤ X 1 − e − r (T −tn )]то его скорее всего следует исполнить, особенно при высокомзначении Р.Проведем аналогичные рассуждения для момента tn-1 и Divn-1.Если инвестор исполняет опцион непосредственно перед датойучета предпоследнего дивиденда, он получает сумму:Ptn −1 − XЕсли опцион не исполняется, то цена акции после даты учетападает до уровня:Ptn −1 − Div n −1Следующий наиболее оптимальный срок исполнения опционаможет наступить только в момент tn. Поэтому нижняя границацены опциона в момент tn-1 равна:Ptn −1 − Div n −1 − Xe − r (tn −tn −1)143Таким образом, еслиPtn −1 − Div n −1 − Xe − r (tn −tn 1) ≥ Ptn −1 − X то есть[]Div n −1 ≤ X 1 − e − r (tntn −1)опцион не выгодно использовать.
При условииDiv n −1 〉 X 1 − e − r (tntn −1)его оптимально исполнить в данный момент. Если провестианалогичные рассуждения для любых значений ti при i < n, то мыпридем к таким же результатам.Пример. Имеется американский опцион колл, выписанный навосемь месяцев. S= 50 долл., Х= 48 долл., r = 10%, Div2 = 0,8 долл.,Div2 = 0,8 долл. Первый дивиденд выплачивается через 3 месяца,второй — через 6 месяцев. Необходимо определить, выгодно лиисполнить опцион перед первой или второй датой учета.Для первого дивиденда:[[]][]X 1 − e − r (tntn −1 ) = 48 долл. 1 − e −0 ,1(0 ,5 −0 ,25 ) = 1,185 долл.Для второго дивиденда:[][]X 1 − e − r (T − t 2 ) = 48 долл.
1 − e −0 ,1(0 ,667 −0 ,5 ) = 0,7855 долл.[][]X 1 − e − r (T −t2 ) = 48 долл. . 1 − e −0 ,1(0 ,667 −0 ,5 ) = 0,7855 долл.Поскольку на дату учета второго дивиденда0,8 > 0,7855то оптимально исполнить опцион непосредственно перед этойдатой.КРАТКИЕ ВЫВОДЫК моменту истечения контракта стоимость американского иевропейского опционов колл и пут в зависимости от цены спотактива должна равняться нулю или внутренней стоимости.Верхняя граница премии американского и европейского опционов колл для актива, не выплачивающего дохода, не должнапревышать цену спот актива.Верхняя граница премии американского опциона пут для актива, не выплачивающего дохода, не должна быть больше ценыисполнения, а для европейского опциона пут — больше приведенной стоимости цены исполнения.144Нижняя граница премии американского и европейского опционов колл для актива, не выплачивающего дохода, не должна бытьменьше разности между ценой спот актива и приведенной стоимостью цены исполнения.Нижняя граница премии европейского опциона пут для актива,не выплачивающего дохода, не должна быть меньше разностимежду приведенной стоимостью цены исполнения и ценой спотактива.
Нижняя граница премии американскою опциона пут дляактива, не выплачивающего дохода, не должна быть меньше разности между ценой исполнения и ценой спот актива. Американский опцион пут будет стоить дороже аналогичного европейскогоопциона.Нижняя граница премии американского и европейского опционов колл для актива, выплачивающего доход, должна быть неменьше, чем разность между ценой спот и суммой приведенныхстоимостей цены исполнения и дохода.Нижняя граница премии американского и европейского опционов пут для актива, выплачивающего доход, должна быть не меньше разности между суммой дисконтированных стоимостей ценыисполнения и дохода и цены спот актива.Как общее правило, раннее исполнение американского опциона для актива, не выплачивающего доход, нельзя считать оптимальной стратегией, однако нельзя настаивать на данномутверждении в отношении актива, выплачивающего доход, поскольку цена опциона колл будет падать после его выплаты. Дляамериканского опциона пут на активы, выплачивающие и не выплачивающие доход, раннее исполнение контракта может явитьсяоптимальной стратегией.
После выплаты дохода стоимость опциона пут должна возрастать.Премия опциона колл тем выше, чем больше цена спот актива,время до истечения контракта, ставка без риска, меньше ценаисполнения и размер выплачиваемого на актив дохода. Премияопциона пут тем выше, чем больше цена исполнения, выплачиваемый на актив доход, меньше цена спот, ставка без риска и периодвремени до окончания контракта.Глава X. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПРЕМИЯМИОПЦИОНОВВ настоящей главе рассматриваются ценовые соотношения, которые должны выдерживаться между премиями различных опционов.Вначале мы проанализируем зависимости между опционами сразными ценами исполнения, временем истечения и стандартнымотклонением.
После этого докажем паритетные взаимосвязи дляевропейских и американских опционов колл и пут.а) Соотношения между премиями опционов,которые имеют различные цены исполненияСравним два опциона колл, которые отличаются только ценамиисполнения.X1 — цена исполнения опциона С1Х2 — цена исполнения опциона С2.Если X1 < Х2, то для таких опционов с1 > с2, так как первыйопцион в случае его исполнения позволяет приобрести акцию поболее низкой цене. Для опционов пут верным будет обратноесоотношение.
Если X1 < Х2, то р2 ≥ p1 так как второй опцион вслучае исполнения дает инвестору возможность продать акцию поболее высокой цене.б) Соотношение между премиями опционовс различным временем до истечения контрактовЦена американских опционов колл и пут возрастает по мереувеличения периода действия контракта, то есть, если T2 > T1, тоco 2 ≥ co1ир о2 ≥ р о1Данная закономерность возникает потому, что опционы c12 ира2 предоставляют инвестору такие же возможности, как и опционы са1 и ра1 в течение периода времени 77, но в то же время даютему дополнительную потенциальную возможность получить прибыль в течение периода времени Δt, который равен Т2 - T1.146Для европейских опционов картина складывается несколькосложнее.
Рассмотрим вначале опционы на акции, не выплачивающие дивиденды. Увеличение срока действия контрактов увеличивает потенциальную возможность благоприятного исхода событийкак для опциона колл, так и пут. Следовательно, это способствуетросту премии опционов с более отдаленной датой истеченияконтрактов. В то же время, как известно, для опциона пут нижняяграница премии равнаX − rT − SПоэтому опцион с более близкой датой истечения должен стоить больше опциона с более отдаленной датой истечения контракта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
