Буренин А.Н. - Фьючерсные, форвардные и опционные рынки (1094318), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Таким образом, мы не можем однозначно утверждать, чтопремия европейского опциона пут с более отдаленной датой истечения контракта будет больше премии опциона пут с более близкойдатой истечения.Выплаты дивидендов на акции, лежащие в основе опционов,могут привнести дополнительные нюансы в сравнительную оценку премии опционов. Рассмотрим их на примерах.Пример 1. Имеется два европейских опциона колл, выписанныхсроком один — на два месяца, другой — на три. Через два споловиной месяца ожидается выплата дивидендов по акциям, лежащим в основе опционов.
В таком случае вполне вероятно, чтопервый опцион будет стоить дороже второго.Пример 2. Имеется два европейских опциона пут, выписанныхсроком один — на два месяца, другой — на три. а) Через два споловиной месяца ожидается выплата дивидендов по акциям, лежащим в основе опционов. В таком случае не исключено, чтовторой опцион будет стоить дороже первого.
б) Выплата дивидендов ожидается через полтора месяца. В этом случае вполне вероятно, что первый опцион стоит дороже второго.в) Соотношение между премиями опционов, у которыхцены активов имеют различные стандартные отклоненияИмеются два опциона. Они отличаются друг от друга толькоодним параметром: цена акции, лежащей в основе первого опциона, имеет меньшее стандартное отклонение (σ), то есть меньшийразброс колебаний, чем цена акции второго опциона.
Для такогослучая возникает следующая закономерность. Если σ1< σ2, ςоc1 ≤ c 2и147р1 ≤ р 2Таким образом, опцион на акцию, несущую более высокий рискдля инвестора, будет стоить дороже. Это объясняется тем, чтопотенциально второй опцион предоставляет инвестору большевозможностей получить большую прибыль при ограниченной степени риска. Показатель стандартного отклонения является ещеодним показателем, от которого зависит величина премии опциона. Чем больше будет значение стандартного отклонения, тембольше должен стоить опцион.§ 29.
ПАРИТЕТ И ВЗАИМОСВЯЗЬ ОПЦИОНОВа) Паритет европейских опционов пут и коллдуш акций, не выплачивающих дивидендыОпределим взаимосвязь между рe и се, которая носит названиепаритета опционов пут и колл. Значение паритета состоит в том,что, приравнивая друг к другу опционы пут и колл, имеющиеодинаковые цены исполнения и сроки истечения контрактов,можно, зная, например, величину премии опциона пут, определить цену опциона колл и наоборот. Если условия паритета невыдерживаются, то возникает возможность получить прибыль засчет арбитражной операции. Рассмотрим вышесказанное болеедетально.Предположим, имеется два портфеля — А и Б. Портфель Асостоит из одного европейского опциона колл и облигации с нулевым купоном, равной Xе-rT. В портфель Б входит один европейский опцион пут и одна акция.
Если к моменту истеченияконтракта Р > X, то портфель А равен Р и портфель Б также равенР. Если Р ≤ X, то портфели А и Б равны X. Таким образом, в концепериода T оба портфеля имеют одинаковую стоимость. Поэтомуможно сделать вывод, что в начале периода Т стоимость их такжедолжна быть равна, то есть:ce + Xe − rT = pe + sУказанное равенство носит название паритета опционов пут иколл.Пример. S = 42 долл., Х=40долл., r — 10%, срок контрактов —3 месяца, се =3,5 долл. Определить стоимость pe.Она равна:се + Xe-rT = 3,5 долл.
+ 40 долл. е-0,1×0,25 = 42,5 долл.ре = 42,51 долл. – 42 долл. = 0,51 долл.Предположим теперь, что цена ре завышена и составляет не 0,51долл., а 1 долл. В этом случае открывается возможность совершить148следующую арбитражную операцию. Арбитражер покупает европейский опцион колл и продает европейский опцион пут и акцию,заняв ее у брокера.
В результате он получает сумму:-3,5 долл. + 1 долл. + 42 долл. = 39,5 долл.и инвестируетее под ставку без риска на три месяца:39,5 долл. е0,1×0,25 = 40,5 долл.Если по окончании срока контрактов Р> 40 долл., то арбитражерисполнит опцион колл, то есть купит акцию за 40 долл. В этомслучае его прибыль от данной операции составит:40,5 долл. - 40 долл. = 0,5 долл.Если Р < 40 долл., то будет исполнен опцион пут. Арбитражеркупит у контрагента акцию за 40 долл. и получит прибыль отоперации в размере:40,5 долл. — 40 долл.
= 0,5 долл.Допустим теперь, что цена опциона пут занижена и равна 0,2долл. Тогда инвестор продает опцион колл и покупает опцион пути акцию. Для этого он занимает под ставку без риска сумму вразмере:0,2 долл. + 42 долл.-3,5 долл. = 38,7 долл.Через три месяца он должен вернуть кредитору сумму, равную:38 долл.е0,1×0,25 = 39,68 долл.При Р < 40 долл. арбитражер исполняет опцион пут и получаетприбыль:40 долл. -39,68 долл. = 0,32 долл.При Р > 40 долл.
контрагент исполняет опцион колл, то естьарбитражер продает ему акцию за 40 долл. Вновь его прибыльсоставит:40 долл.-39,68 долл. = 0,32 долл.б) взаимосвязь между премиями американских опционовпут и колл для акций, не выплачивающих дивидендыПаритет существует только для европейских опционов пут иколл. В то же время можно установить определенную взаимосвязьмежду американскими опционами пут и колл.Выше мы доказали, что ра >ре и ре +S = се+Хе-rT.149Следовательно,ра > се + Х е-rT - Sпоскольку са = се , тора > са + Х е-rT – S илиса - ра < S – X е-rTТеперь сравним два портфеля — А и Б.
Портфель А состоит изодного американского опциона пут и одной акции. В портфель Бвходит один европейский опцион колл и облигация с нулевымкупоном, равная X, эмитированная под процент er на период Т.Опционы имеют одинаковую цену исполнения и срок контрактовравен Т. Предположим, что опцион пут не исполняется раньшесрока истечения контракта. Если в конце периода ТР > X, опционпут не исполняется, и портфель А стоит Р. Если Р < X, то опционисполняется и портфель равен X.Если Р >X, исполняется опцион колл портфель Б равен(P -Х)+ХеrT .
При Р < X портфель равен ХеrT Таким образом вобоих случаях портфель Б стоит больше портфеля А.Предположим, что имеет место раннее (время t) исполнениеамериканского опциона пут. Это означает, что Р < Х и портфель Аравен X. Портфель Б в этот же момент стоит как минимум, еслипредположить, что са = 0, Xert.
Таким образом, портфель Б вновьстоит больше портфеля А. Вышесказанное наглядно представленов таблице 28.Таблица 28Стоимость портфеляв конце периода Тв началепериода Тпри раннемисполненииопционаР<ХР>ХПортфель АVA=pa+SVA=(X-P)+PVA=(X-P)+PVA=0+PПортфель БVБ=се+ХVБ = O+XerTVБ = 0+ХеrТVБ = (Р-Х)+ХеrТVБ>VAVБ>VAVБ>VA150В итоге правомерно записать, чтосе + Х > ра + SПосколькуcе = са, тоса + Х > ра + S или са – ра > S - XВыше мы записали, чтоса - ра < S – X е-rTОтсюда следует: S – X < са - ра < S – X е-rTПример.
Для акций, не выплачивающих дивиденды, са = 2 долл.,Х= 35 долл., S= 33,5 долл., срок действия контракта — 3 месяца, r =10%. Определить премию опциона пут для данных условий.33,5 долл. - 35 долл. < са -ра < 33,5 долл. - 35 долл. е-0,1х0,25-1,5 долл. < сa -рa < 0,64 долл.1,5 долл. > ра -са > 0,64 долл.3,5 долл.
>ра> 2,64 долл.Таким образом, цена американского опциона пут должна бытьне выше 3,5 долл. и не ниже 2,64 долл.в) Паритет опционов для акций, выплачивающих дивидендыРассмотрим два портфеля. Портфель А состоит из одною европейского опциона колл, облигации с нулевым купоном X е-rT исуммы денег D. В портфель Б входят один европейский опцион пути одна акция. В конце периода T стоимость портфелей будет равна(см. табл. 29).Таблица 29Стоимость портфеляв начале периода ТПортфельАПортфельБв конце периода ТР>ХP<XVA=сe+Хе-rТ+DVA=(P-X)+X + D rTVA=0+X+D rTVБ=pe + SVБ = 0+P + D rTVБ=(X-P) +P + D rTVA=VБ VA=VБ151Следовательно, мы можем записать, что в начале периода Тсе + X е-rt + D = ре + sДанное равенство представляет собой паритет опционов пут иколл, в основе которых лежат акции, выплачивающие дивиденды.г) Взаимосвязь американских опционов пут и коллдля акций, выплачивающих дивидендыРассмотрим портфели А и Б.
Портфель А состоит из одногоевропейского опциона колл, облигации с нулевым купоном, равной X, эмитированной под процент r, и суммы D. В портфель Бвходят один американский опцион пут и одна акция. Как следуетиз таблицы 30, портфель А в конце периода T стоит больше портфеля Б. Поэтому правомерно записать, что и в начале этого периодара + S < се + X + DТаблица 30Стоимость портфеляв началепериода ТПортфельVA=ce+X+DАПортфельVБ=P*+SБпри раннемисполненииопционаrTVA=0+Хе ++ DrtVБ=(X-P)+PVA>VБв конце периода ТР>ХР<ХVA=(P-X) ++XerT + DrTVБ=0 + P + DVA=0+XerT ++ D rTVБ=(X-P)+P++ D rTVA>VБVA>VБrT(даже если допустить, что се - 0)Поскольку европейский опцион никогда не будет стоить дорожеамериканского, тора + S < са + X + D илиS – X - D < са - раВыше мы записали, что для акций, не выплачивающих дивиденды, справедливы следующие условия:152ca - pa< S - Xe -rTДанные условия выдерживаются и для акций, выплачивающихдивиденды, поскольку выплата дивидендов уменьшает премиюамериканского опциона колл и увеличивает премии американского опциона пут.
В итоге взаимосвязь между американскими опционами пут и колл принимает следующий вид:S -X -D < са - ра < S -Хе-rТКРАТКИЕ ВЫВОДЫОпцион колл с более низкой ценой исполнения должен стоитьдороже опциона с более высокой ценой исполнения. Опцион путс более низкой ценой исполнения должен стоить дешевле опционас более высокой ценой исполнения.Цена американских опционов колл и пут возрастает по мереувеличения периода действия контрактов. Нельзя однозначно настаивать на данном утверждении применительно к европейскимопционам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
