Буренин А.Н. - Фьючерсные, форвардные и опционные рынки (1094318), страница 24
Текст из файла (страница 24)
- 37 долл. = 0,58 долл.Если цена будет меньше 37 долл., то он не исполнит опцион, акупит акцию на рынке по более дешевой цене, например, за 35долл. Тогда его прибыль составит:37,58 долл. — 35 долл. = 2,58 долл.Формула (36) показывает нам переменные, от которых зависитразмер премии опциона колл, а именно: премия опциона колл тембольше, чем выше значение курса акций спот (S), больше периодвремени до истечения контракта (T), больше ставка без риска (г) именьше цена исполнения (X).е) Нижняя граница премии европейского опциона путНижняя граница премии европейского опциона пут по акциям,не выплачивающим дивиденд, равна:Xe-rt-SДля доказательства данного утверждения рассмотрим два портфеля.135Портфель А состоит из одного европейского опциона пут иодной акции.
В портфель Б входит облигация с нулевым купономстоимостью Хе-rТ.Если в конце периода ТР < X, то держатель исполнит опцион, ипортфель А будет стоить X. Если Р ≥ X, то опцион не исполнится истоимость портфеля равна Р. Таким образом, в момент T портфельА стоит или Р или X. Облигация с нулевым купоном в концепериода гасится по номиналу, который равен X, и портфель Б стоитX. Поэтому портфель А будет всегда стоить столько же или больше,чем портфель Б (см. таблицу 23).Таблица 23Стоимость портфеля в концепериода ТСтоимостьпортфеля вначалепериода ТР≥ХР<ХПортфель АVA=pe+SVA = 0+РVA = (X-P)+PПортфель БVБ = Xe-rTVБ = ХVБ = ХVA>VБVA=VБПри отсутствии возможности совершения арбитражных операций портфель А и в начале периода T должен стоить не меньшепортфеля Б, поэтому:pe + S ≥ X − rT илиpe ≥ Xe − rT − S(37)Таким образом, европейский опцион пут стоит не меньше, чемразность между приведенной стоимостью цены исполнения и ценой спот акции.Пример.
X = 52 долл., S = 50 долл., r = 10%, T=3 месяца.Необходимо определить нижнюю границу цены опциона пут.Она равна:52 долл.e −0,1×0,25 − 50 дол. = 0,716 долл.Предположим, что премия равна 0,6 долл., то есть меньше рассчитанного минимального уровня. В этом случае инвестор совершит арбитражную операцию: займет 50,6 долл. на три месяца икупит опцион и акцию. Через три месяца он должен будет вернуть:13650,6 долл. e0,1×0,25 = 51,88 долл.Если к этому времени Р < X, то арбитражер исполнит опцион,продаст акцию за 52 долл. и получит прибыль:52 долл. - 51,88 долл. = 0,22 долл.Если Р≥ X, то опцион не исполняется, однако акция продаетсяуже по более высокой цене, например, за 53 долл.
В итоге прибыльарбитражера после выплаты ссуды составит:53 долл. - 51,88 долл. = 1,22 долл.Формула (37) показывает нам переменные, от которых зависитразмер премии опциона пут, а именно, премия опциона пут тембольше, чем больше цена исполнения (X), меньше курс акций спот(S), меньше ставка без риска (r), меньше период времени до истечения контракта (7) (зависимость премии европейского опционапут от последней переменной несколько сложнее, чем показановыше, и будет уточнена при дальнейшем рассмотрении материала).ж) Раннее исполнение американского опциона колл.Нижняя граница премии американского опциона коллАмериканский опцион колл может быть исполнен инвесторомдо истечения срока контракта. Ответим на вопрос, будет ли такоерешение оптимальным, когда в основе опциона лежат акции, невыплачивающие дивиденды. Например, инвестор владеет опционом колл.
Цена исполнения равна 65 долл., цена спот 80 долл., доистечения срока контракта остается два месяца. Как видно изпримера, в случае немедленного исполнения опциона держательполучил бы прибыль, равную 15 долл. Однако данная стратегиявряд ли может быть расценена как оптимальная. Инвестору выгоднее поступить следующим образом: инвестировать 65 долл. на двамесяца, чтобы получить дополнительный доход, исполнить опцион по истечении срока действия контракта.
Поскольку акции невыплачивают дивиденды, то вкладчик не несет никаких потерь.Рассмотренный вариант является оптимальной стратегией, еслиинвестор планирует держать акции в случае исполнения опционаеще два месяца, то есть до истечения срока действия контракта.Возможен вариант, когда инвестор сочтет, что цена спот акциизавышена, и поэтому решит исполнить опцион, чтобы продатьакцию.
Однако данная стратегия также не является оптимальной.Держателю выгоднее продать опцион вместо его исполнения. Ми137нимальная цена, которую получит продавец, будет больше, чемвнутренняя стоимость опциона. Она составит при непрерывноначисляемой ставке без риска, равной 10%:80долл. -65 е-0,1×0,1667 долл. = 16,07 долл.В противном случае возникает возможность получить прибыльза счет арбитражной операции.Вышесказанное в общей форме можно доказать следующимобразом. Имеются два портфеля. Портфель А состоит из одногоамериканского опциона колл и облигации с нулевым купоном,равной X е-rТ.
В портфель Б входит одна акция. Если опционисполняется раньше срока истечения контракта (время t), то портфель А всегда будет меньше портфеля Б. Если инвестор держитопцион до момента истечения контракта, то в зависимости оттого,больше цена спот цены исполнения или меньше, портфель А будетбольше или равен портфелю Б.
Приведенные рассуждения наглядно представлены в таблице 24. Таким образом, американский опцион колл, в основе которого лежат акции, по которым невыплачиваются дивиденды, не будет исполняться до даты истечения контракта. Поэтому цена американского и европейского опционов для таких акций одинакова, и нижняя граница премииамериканского и европейского опционов равны.3) Раннее исполнение американского опциона пут.Нижняя граница премии американского опциона путОтветим теперь на поставленный выше вопрос, но применительно к американскому опциону пут. Сравним два портфеля.Портфель А состоит из одного американского опциона пут и однойакции. В портфель Б входит одна облигация с нулевым купономстоимостью Хе-rТ. При досрочном исполнении опциона (время t)портфель А будет стоить X, портфель Б — Хе-r(T-t).
Если инвестордержит опцион до момента истечения контракта, то в зависимостиот цены спот акций портфель А будет равен Х или Р. Портфель Б вэтот момент равен X. Таким образом, в случае раннего исполненияопциона портфель А больше портфеля Б. Если опцион держитсядо момента истечения контракта, то портфель А равен или большепортфеля Б. Изложенные рассуждения представлены в таблице 25.138Таблица 24Стоимость портфеляв конце периода Тв началепериода Тпри раннемисполнении опционаПортфельАVA=сa+Xe-rTVA-Р-Х + Хе-r(T-t)VA=(P-X)+XПортфельБVБ=SVБ=РVБ=PVБ=PVA<VБVA = VБVA>VБР>ХР≤ХVA = O +Xса — американский опцион коллТаблица 25Стоимость портфеляПортфельАПортфельБв началепериода Тпри раннемисполненииопционаР≥ХР<ХVA=pA + SVА=(Х-Р)+РVA=O+PVA=(X-P)+PVБ=Хе-rТVБ=Хе-r(T-t)VБ=ХVБ=XVA>VБVA>VБVA = VБв конце периода ТИз приведенного доказательства не следует однозначный вывод, что раннее исполнение является нежелательным, посколькупортфель А дает больше преимуществ инвестору по сравнению спортфелем Б в течение всего срока действия опционного контракта.
Если цена спот акций понизилась в существенной степени(опцион имеет большой выигрыш), то очевидно, что его разумноисполнить досрочно, так как вряд ли стоит ожидать дальнейшегопадения курса. Кроме того, инвестор имеет возможность сразу же139инвестировать полученные от исполнения опциона средства. Поскольку для американского опциона раннее исполнение можетоказаться оптимальной стратегией, то нижняя граница его ценыдолжна быть равна:pa ≥ X − SТаким образом, американский опцион пут всегда будет стоитьбольше аналогичного европейского опциона.§ 27.
ГРАНИЦЫ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ, В ОСНОВЕКОТОРЫХ ЛЕЖАТ АКЦИИ, ВЫПЛАЧИВАЮЩИЕДИВИДЕНДЫДо настоящего времени мы рассматривали опционы, в основекоторых лежат акции, не выплачивающие дивиденды. Остановимся теперь на случаях, когда в течение срока действия опционногоконтракта на акции выплачиваются дивиденды. В дальнейшихрассуждениях мы предполагаем, что 1) эффект, привносимый дивидендами, наблюдается на дату учета компанией акционеров,имеющих право на получение текущего дивиденда; 2) начиная сданного числа, новый владелец не имеет права на получение данного дивиденда, и поэтому курс акции падает на величину дивиденда. Исходя из практики, которая наблюдается на примерезападных стран, на дату учета курс акций падает в среднем на75-85% от величины дивиденда. Курс акций, имеющих более высокую ставку дивиденда, падает в большей степени, чем курс акцийс более низкой ставкой дивиденда.
Для простоты анализа в последующих рассуждениях мы полагаем, что на день учета курс акцийпадает на величину дивиденда. Решая практические задачи, инвестор должен корректировать значение курса акций, как было указано выше, на величину, равную 75-85% стоимости дивиденда.а) Нижняя граница премии американского и европейскогоопционов коллЧтобы определить нижнюю границу премии европейского опциона колл, рассмотрим два портфеля — А и Б.
Портфель Асостоит из одной акции. Портфель Б — из европейского опционаколл, облигации с нулевым купоном, равной Хе-rT и суммы денег,равной D (D — это приведенная стоимость дивиденда, которыйвыплачивается по акциям. Она получена путем дисконтированиядивиденда под непрерывно начисляемую ставку без риска r навремя Т. Составляя часть портфеля Б, сумма D инвестируется навремя T под процент r).Если Р > X, то опцион колл исполняется и портфель Б стоитP + D rT. Если Р≤ X, то портфель Б стоит X + D rT .140Портфель А в обоих случаях равен Р + D rТ. Следовательно,портфель Б стоит дороже или столько же, сколько портфель А (см.таблицу 26). Данный результат мы имеем в конце периода Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
