Буренин А.Н. - Фьючерсные, форвардные и опционные рынки (1094318), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Выплата дохода на актив в течение действия европейского опциона может привести к тому, что опцион с более близкойдатой истечения будет стоить дороже опциона с более отдаленнойдатой истечения.Опцион на актив, цена которого имеет более высокое стандартное отклонение, должен стоить дороже опциона с меньшей величиной стандартного отклонения.Между ценами европейских опционов пут и кол на активы,выплачивающие и не выплачивающие доход, существуют паритетные отношения.
Если условия паритета не выдерживаются, тооткрываются возможности для арбитражных операций.Глава XL МОДЕЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯЦЕНЫ ОПЦИОНОВНастоящая глава посвящена проблеме определения премииопционных контрактов. Вначале мы остановимся на общем теоретическом подходе к расчету цены опциона, рассмотрим вопросформирования портфеля без риска и оценки величины премии спомощью простой биноминальной модели. После этого перейдемк моделям, которые используются на практике, а именно, биноминальной модели и модели Блэка-Сколеса для акций, выплачивающих и не выплачивающих дивиденды. В рамках моделиБлэка-Сколеса остановимся на таких вопросах, как логнормальное распределение и стандартное отклонение цены актива.§ 30.
ОБЩИЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮЦЕНЫ ОПЦИОНАОдна из главных задач, которую решает инвестор — это определение цены опциона. В теории разработаны модели, позволяющие справиться с данной проблемой. Прежде чем перейти к ним,рассмотрим общий подход к определению премии опциона.Допустим, инвестор приобретает трехмесячный европейскийопцион колл с ценой исполнения 100 долл.
Он полагает, что вероятность цены актива составить к моменту исполнения 120 долл.равна 10%, 110 долл. — 20%, 105 долл. — 25%, 100 дол. — 20%,90 долл. — 15%, 80 долл. — 10%. Премия опциона должна равняться ожидаемому доходу инвестора отданной операции. Чтобыопределить ожидаемый доход, необходимо каждый возможныйвариант исхода умножить на его вероятность и сложить полученные значения.
Если к моменту истечения срока контракта ценаактива будет равна или меньше цены исполнения, то стоимостьопциона окажется равной нулю, если цена спот превысит ценуисполнения, то цена опциона составит Р - X. Поэтому ожидаемыйдоход от такой операции для инвестора будет равен:0,1×0 + 0,15×0 + 0,2×0 + 0,25×5 + 0,2×10 + 0,1×20 = 5,25 долл.154Вкладчик приобретает опцион на три месяца, поэтому полученное значение необходимо дисконтировать с учетом данного интервала времени.
Предположим, что непрерывно начисляемая ставкабез риска равна 8%. Тогда теоретическое значение премии опциона составит:5,25 долл е0,08×0,25 = 5,15 долл.§ 31. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ БЕЗ РИСКА.ПРОСТАЯ БИНОМИНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИПРЕМИИ ОПЦИОНОВВ основе моделей оценки премии опционов лежит посылка отом, что инвестор имеет возможность сформировать из опционови активов, лежащих в основе опционов, портфель, нейтральный криску изменения цены актива или опциона.
Поэтому необходимосказать несколько слов о концепции формирования портфеля безриска.а) Портфель без рискаКупив акции, инвестор подвергает себя риску финансовых потерь, которые могут возникнуть в связи с падением курса ценныхбумаг. Чтобы избежать такой ситуации, вкладчику следует сформировать соответствующий портфель из акций и опционов.
Длятакого портфеля падение курса акций должно компенсироватьсяростом цены опционов и наоборот. При составлении портфелянеобходимо помнить, что изменение цены акций и опциона коллимеет положительную корреляцию, а опциона пут — отрицательную. Таким образом, данный портфель будет нейтрален к рискуизменения курсов ценных бумаг. Поскольку курсы бумаг на рынкепостоянно меняются, портфель остается нейтральным к рискутолько в течение короткого промежутка времени. Чтобы сохранитьэто качество, его состав должен постоянно пересматриваться.
Например, в момент /7 портфель не несет риска при соотношенииодин опцион колл и 0,3 акции. В момент t2 один опцион колл —0,5 акции. Это значит, что инвестору в первом случае следуеткупить 0,3 акции на каждый проданный опцион колл, а во втором,вследствие изменившихся обстоятельств — 0,5 акции.
В результате в течение всего периода действия опционного контракта можноподдерживать нейтральность портфеля. Чтобы воспользоватьсяпредложенной техникой для оценки премии опциона, необходимоответить на вопрос, какой уровень доходности должен такой портфель принести инвестору. Поскольку он является нейтральным криску, то должен обеспечить вкладчику доходность, равную ставкебез риска.155б) Простая биноминальная модель оценки премии опционовИспользуем рассмотренный принцип для оценки премии опциона применительно к простой биноминальной модели, то естьмодели, когда значение опциона и курса акций рассматриваетсятолько в начале и конце некоторого периода времени Т. Предположим, выписывается европейский опцион колл на 5 месяцев сценой исполнения 36 долл.
В момент заключения контракта ценаакций равна 33 долл. Непрерывно начисляемая ставка без риска10%. На основе своих расчетов инвестор определил, что курс акцийк моменту истечения контракта может составить 34 долл. или 38долл. Необходимо оценить премию опциона.Если ко времени окончания контракта курс акций составит 34долл., стоимость опциона будет равна нулю. Если цена возрастетдо 38 долл., то премия составит 2 долл. Предположим, инвесторформирует портфель без риска, приобретая п акций и продаваяодин опцион.
Данный портфель не будет нести риск, если в концепериода Т его стоимость окажется одинаковой, независимо отреальной динамики курса акций.При Р= 34 долл. стоимость портфеля составит 34 п долл. При Р= 38 долл. она будет равняться 38 п долл. — 2 долл. Чтобы сформировать портфель без риска, инвестор должен купить такое числоакций, которое бы удовлетворяло уравнению:34 п долл. = 38 n долл.
- 2 долл.Решая уравнение, получаем п = 0,5 акций. В этом случае портфель и при первом и при втором сценарии развития событий через5 месяцев будет стоить 17 долл. Стоимость портфеля в моментзаключения контракта составит:33 долл. ×0,5 - cе = 16,5 долл. - cеПортфель без риска должен приносить инвестору доход, равныйставке без риска.
Поэтому стоимость портфеля в начале периода Тдолжна соответствовать его дисконтированной стоимости через 5месяцев, то есть:16,5 долл.- се = 17 долл.е -0,1х0,4167=16,31 долл.Тогдасе =0,19 долл.В рассмотренном примере премия опциона зависела в конечномитоге от тех значении, которые могла принять цена акций к моменту истечения опциона. Поэтому для построения «рабочей модели», которую можно было бы использовать на практике,156необходимо ввести в нее элемент вероятностной оценки.
Даннаязадача решается с помощью построения биноминальной модели,которую впервые предложили Дж. Кокс, С. Росс и М. Рубинштейн.Биноминальная модель используется для оценки премии американских опционов, однако для простоты изложения мы рассмотрим ее вначале применительно к европейскому опциону и послеэтого скорректируем относительно американского опциона.§ 32. БИНОМИНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АКЦИЙ,НЕ ВЫПЛАЧИВАЮЩИХ ДИВИДЕНДЫВесь период действия опционного контракта разбивается нарядинтервалов времени, в течение каждого из которых курс акции Sможет пойти вверх с вероятностью p или вниз с вероятностью 1-р,как показано на рис.
56. В конце периода акция соответственностоит Su или Sd, где и — процент прироста курсовой стоимостиакций, поэтому и > 7, a d — процент падения курсовой стоимости,то есть d < 1.Рассматривая динамику курса акций на каждом временном интервале, можно построить дерево распределения цены акции длявсего периода действия опционного контракта.
Данная картинапредставлена на рис. 57. Начальная цена акции равна S. За первыйпериод Δt1 ее курс может составить Su или Sd. За второй периодΔt2 — соответственно Su2, Sd2 или Sud и т.д. для следующихпериодов. В целях упрощения модели, поскольку период действияопционного контракта делится на большое число интервалов, делается допущение, что u=1/d , поэтому значения курса акций надереве распределения можно представить следующим образом (см.рис. 58).Рис.5б.
Динамика курса акции для одного периода биномальной модели157Как известно, к моменту истечения срока действия контрактацена опциона может принимать два значения, а именно, 0 илиP-X для опциона колл. и 0 или X-Р для опциона пут. Для того,чтобы рассчитать стоимость опциона в начале периода 7, необходимо определить стоимость опциона для начала каждого периодаΔt , то есть в каждой точке пересечения ветвей дерева.
Даннуюзадачу решают последовательным дисконтированием. Так, известную величину опциона в конце периода Т дисконтируют, чтобыполучить ее значение в начале периода Δt4. Затем значение опциона в начале периода Δ t4 дисконтируют и определяют его стоимость в начале периода Δ t3 и т.д.158Биноминальная модель основывается на концепции формирования портфеля без риска. Поэтому для дисконтирования принимается процент, равный ставке без риска для инвестиций,соответствующих времени действии опционного контракта. Длятого, чтобы упростить модель, вместо указанной выше ставки используем эквивалентную ей ставку непрерывно начисляемогопроцента.В условиях отсутствия риска ожидаемый доход на акцию запериод At должен составить Se гΔt , где r — непрерывно начисляемая ставка без риска. В то же время, исходя из значения математического ожидания, он должен быть равен:рSu + (1 –p) SdТаким образомилиSe r∆t = pSu + ( 1 − p )Sde r∆t = pu + ( 1 − p )dИз формулы (41) найдем p.(40)(41)e r∆t − d(42)u−dПроцент прироста или падения курсовой стоимости акции зависит от времени, в течение которого наблюдается изменениекурса бумаги, и ее стандартного отклонения.
Поэтому можно записать, чтоp=u = eσΔt;d = e − σΔtФормула (42) позволяет определить вероятность повышенияили понижения курса акций.Пример. Курс акции в начале периода равен 40 долл., стандартное отклонение цены акции 35%, непрерывно начисляемая ставкабез риска 10%. Определить вероятность повышения и понижениякурса акций через месяц.ПолучаемΔ t = 0,0833u = e 0,35d = e −0,350, 0833= 1,10630, 00833= 0,9039e r∆t = e 0,1×0,0833 = 1,0084159p=1,0084 − 0,9039= 0,51631,1063 − 0,90391 – р = 1 – 0,5163 = 0,4837Таким образом, вероятность повышения курса акции через одинмесяц составляет 0,5163 и понижения 0,4837.После того как мы рассчитали значения u и d, можно определитьзначение курса акции для любого периода времени. Предположим, что инвестора интересуют возможные значения курса акцийпоследовательно через один, два и три месяца, то есть для каждойточки пересечения ветвей дерева, представленного на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
