Буренин А.Н. - Фьючерсные, форвардные и опционные рынки (1094318), страница 29
Текст из файла (страница 29)
В то же время для целей вероятностной оценки стоимостиактива в теории пользуются не нормальным, а логнормальнымраспределением. Это обусловлено следующими причинами. Вопервых, нормальное распределение (рис. 63) является симметрич166ной кривой относительно ее центральной оси и может иметь какположительные, так и отрицательные значения. Однако, цена актива, лежащего в основе опционного контракта, не может бытьотрицательной. Во-вторых, нормальное распределение говорит оравной вероятности для переменной пойти вверх или вниз.
В то жевремя на практике, например, присутствует инфляция, котораяоказывает давление на цены в сторону их повышения. В связи сэтим в моделях определения цены опциона пользуются логнормальным распределением. Кривая логнормального распределениявсегда положительна и имеет правостороннюю скошенность, тоесть она указывает на большую вероятность цены пойти вверх(рис. 64). Поэтому, если, допустим, цена актива составляет 50долл., то логнормальное распределение говорит, что опцион пут сценой исполнения 45 долл. должен стоить меньше опциона коллс ценой исполнения 55 долл., в то время как в соответствии снормальным распределением они должны были бы иметь одинаковую цену.Теоретические модели определения цены опциона, как и любыемодели, устанавливают определенные условия, в рамках которыхони функционируют, например, неизменными принимаютсяставка без риска, стандартное отклонение и т.п.
В то же время напрактике данные величины подвержены изменениям. Кроме того,оценивая одни и те же активы, инвесторы, исходя из своих ожидании, оперируют цифрами, которые могут отличаться друг от друга.Поэтому на практике распределение цены актива определяется неточной формой логнормального распределения, а чаще принимаетнесколько отличную от него конфигурацию, которая имеет болеезаостренную вершину и более утолщенные концы, как это представлено на рис. 65. Однако данный факт не умаляет практическойценности моделей. Опытные трейдеры, зная отмеченные особенности, соответствующим образом корректируют значение ценыопциона.
Так, например, премия опциона с большим проигрышемна практике будет оцениваться инвестором несколько дороже, чемэто предлагает модель, построенная на логнормальном распределении.СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕВажным элементом, который присутствует в моделях оценкипремии опционов, является стандартное отклонение. Поэтому остановимся на этом вопросе несколько подробнее.Вкладчика, инвестирующего свои средства в опционные контракты, интересует не только направление движения рынка, но искорость этого движения, поскольку от нее зависит вероятность167того, что стоимость актива перешагнет за цену исполнения опциона. Показателем такой скорости выступает стандартное отклонение цены актива или, как его еще именуют, волатильность.Стандартное отклонение говорит о вероятности цены принять тоили иное значение. Оно задает Меру рассеянности цены актива.Большое значение стандартного отклонения свидетельствует отом, что цена актива может колебаться в широком диапазоне.Стандартное отклонение характеризует риск, связанный с даннымактивом.
Чем больше величины отклонения, тем больше риск, инаоборот. Стандартное отклонение задается как процент отклонения цены актива от ее средней величины в расчете на год. Например, если цена актива составляет 100 долл., а стандартноеотклонение равно 10%, то это означает, что через год цена егоможет лежать в пределах от 90 долл. до 11О долл. (100±10%) в б8,3%случаев, от 80 долл. до 120 долл. (100±2х10%) в 95,4% случаях и от16870 долл. до 130 долл. (100±3х10%) в 99,7 случаях. Поскольку ценаактива через год представляет собой результат действия рыночныхсил, то она может и выйти за указанные пределы, однако в соответствии с кривой нормального распределения 99,7% всех вероятных исходов лежат в пределах трех стандартных отклонений отсреднего значения показателя, 95,4% — в пределах двух стандартных отклонений и 68,3% — одного стандартного отклонения (см.рис. 66).Чтобы получить стандартное отклонение за период меньшегода, необходимо стандартное отклонение в расчете на год разделить на квадратный корень из числа данных торговых периодов вгоду.Пример.
Стандартное отклонение бумаги равно 10% в год. Необходимо определить стандартное отклонение в расчете на день.В году насчитывается порядка 252 торговых дней. Поэтому стандартное отклонение за один день равно:10% : 252 = 0,63%Если цена составляет 100 долл., то одно стандартное отклонениецены за день составит:100×0,0063 = 0,63 долл.На практике для расчета стандартного отклонения берут значения котировочной цены. Западные аналитические компании, предоставляющиеинформациюостандартном отклонении,рассчитывают его обычно на основе ежедневных значений котировочной цены.Формируя свои стратегии, инвестор пытается предугадать будущее значение стандартного отклонения. В этом вопросе он ориентируется в первую очередь на фактические значения стандартногоотклонения за истекший период времени, как минимум за последний год. Помимо общего стандартного отклонения за год егоинтересует стандартное отклонение и за более короткие периоды.Если он планирует заключить опционный контракт на небольшойсрок, то для него важна также информация о стандартном отклонении за последний короткий период.
Например, стандартноеотклонение актива за год составило в среднем 20%, а за последниймесяц 10%. Если инвестор планирует купить (продать) опцион надлительный период, то в расчетах ему следует учесть стандартноеотклонение, равное 20%, если же он заключает контракт на недалекую перспективу, то значение отклонения в пределах от 20% до10%, скажем, 15%, будет более верным, чем 20%.169Внутреннее стандартное отклонение(внутренняя волантильность)Прогнозы инвестора относительно будущего значения стандартного отклонения называют будущим (прогнозируемым) стандартным отклонением.
Фактическое стандартное отклонение запредыдущий период времени именуют историческим стандартнымотклонением. Опционные контракты обладают еще одним стандартным отклонением — внутренним стандартным отклонением.Оно определяется из аналитических формул, когда известны всеостальные переменные, а именно, рыночная цена опциона, времядо истечения контракта, цена исполнения, цена актива, ставка безриска. Поскольку конъюнктура рынка постоянно меняется, тозначение внутреннего стандартного отклонения также будет постоянно меняться.
Аналитические компании предоставляют информацию о внутреннем стандартном отклонении по каждомуопционному контракту или по всем опционным контрактам дляданного вида актива. В последнем случае это значение представляет собой некоторую средневзвешенную величину в зависимостиот объема опционной торговли, открытых позиции по тому илииному контракту и т.д.В качестве синонима внутреннего стандартного отклоненияброкеры используют также термин премия, хотя в прямом смыслеэтого слова термин «премия» относится к цене опциона. Так, есливнутреннее стандартное отклонение имеет большее значение посравнению с историческим стандартным отклонением, то говорят,что уровень премий высокий, и наоборот.Для сельскохозяйственных товаров инвестор должен учитыватьи такой фактор, как сезонное стандартное отклонение, посколькуоно сильно зависит от складывающихся погодных условий и времени года.
Так, для зерновых культур его значение является наименьшим в весенние месяцы, когда урожай в Южной Америке ужесобран, а в Северной еще не приступили к посеву. Наибольшееотклонение приходится на летние месяцы.Вычисление исторического стандартного отклоненияСтандартное отклонение рассчитывается по формуле1 1(xi − m)2σ=(43)∑n − 1 n−1где т — среднее значение случайной величины;п — число испытаний (периодов);xi — значение случайной величины в каждом испытании (периоде).170леСреднее значение случайной величины определяется по формуm=1 1∑ xin i =1(44)1 1(45)∑ ρi xii = 1 i =1если одно и то же значение случайной величины встречается виспытаниях несколько раз. В этом случае рi — удельный вес испытаний с результатом хi в общем числе испытаний.Наиболее часто для расчета стандартного отклонения цены используют два приема.
Первый состоит в том, что в качестве переменной величины принимают отношение изменения цены к еепредыдущему значению, то естьP − Pi(46)xi = i +1Piгде Pi — цена актива в конце i-го периода.Второй метод заключается в том, что в качестве переменнойпринимают логарифм отношения последующей цены к предыдущей, а именноP (47)xi = ln i +1 Pi Расчеты, получаемые с использованием первого или второгоприема, не сильно отличаются друг от друга. Первый прием представляет собой не что иное, как начисление процента через определенные равные промежутки времени. Второй прием заключает всебе непрерывное начисление процента.
Приведем пример расчета стандартного отклонения с использованием натурального логарифма. Схема расчета представлена в таблице 34. Значения ценырассматриваются за десять недель.Таблица 34m=Не-деля Цена(долл.)01250,051,052,0P +1ln iPiОтклонениеот среднейКвадратотклонения0,01980,01940,017820,017420.0003160.000303171Продолжение табл. 34НеделяЦена(долл.)P +1ln iPiОтклонениеот среднейКвадратотклонения351,5-0,0097-0,011680,000136450,5-0,0196-0,021580,000466549,0-0,0302-0,032180,0010366.48,5-0,0103-0,012280,000151749,00,01030,008320,000069849,50,01020,008220,000068950,50,02000,018020,0003251051,00,00990,007920,000063сумма0,0198сумма0,002933среднее значение = 0,0198 : 10 = 0,001980,002933= 0,01804999Данный результат показывает стандартное отклонение за неделю.
Чтобы получить значение отклонения за год, необходимо умножить его на корень квадратный из числа недель в году.σ=0,0180499 × 52 = 0,13016 или 13,016%Формулы Блэка-СколесаБлэк и Сколес вывели следующие формулы оценки премииопционов(48)ce = SN (d1 ) − Xe − rT N (d 2 )Поскольку се = са, то данная формула позволяет определитьпремию и американского опциона.(49)p e = Xe − rT N (− d 2 ) − SN (− d1 )ln (S X ) + (r + σ 2 2)T ln (S X ) + rT 1(50)d1 ==+ σ T2σ Tσ T172d2 =ln (S X ) + (r + σ 2 2 )Tσ T= d1 − σ T(51)с — стандартное отклонение цены акции.В формулах Блэка-Сколеса величина а берется в годовом исчислении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
