Буренин А.Н. - Фьючерсные, форвардные и опционные рынки (1094318), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В аналитических материалах стандартное отклонение дается в процентах, в формулы она подставляется в десятичныхзначенияхr — ставка без риска; на практике в формулы подставляетсясуществующая ставка без риска для инвестиций, которые осуществляются на время Т;N (di) — функция распределения, показывающая вероятностьтого, что нормированная нормальная переменная будет меньше di.Пример. S = 50 долл., =45 долл., r = 10%, T= 6 месяцев,σ= 0,525. Необходимо определить премию опциона колл.ln (50 45) + 0,1 × 0,5+ 0,5 × 0,525 × 0,5 = 0,6041d1 =0,525 × 0,5d 2 = 0,6041 − 0,525 × 0,5 = 60,2329Из таблицы значений функции N (di)(cм.
приложение 2) находим:N(d1) = 0,7271; N(d2) = 0,5921Тогдасе = 50 долл. × 0,7271 – 45 долл. е-0,1×0,5×0,5921 = 11,01 долл.б) Определение премии опционов на акции,выплачивающие дивидендыКак уже отмечалось выше, информация о дивидендах можетбыть задана в двух формах: в виде 1) ставки дивиденда и 2) какабсолютное значение дивиденда. Рассмотрим вначале вопрос определения премии опциона для первого варианта.Для такого случая дивиденд рассматривается как непрерывноначисляемый дивиденд.
Соответственно ставка дивиденда представляет собой непрерывно начисляемый процент. Если ставкадивиденда меняется в рамках рассматриваемого периода, то длярасчетных целей можно использовать ее среднюю величину в расчете на год. Как известно, выплата дивиденда вызывает падениекурса акции на величину дивиденда. Сравним динамику ростакурсовой стоимости двух акций за некоторый период Т. В концеэтого периода на первую акцию выплачивается дивиденд, а на173вторую — не выплачивается.
Тогда мы можем сказать, что темпприроста курсовой стоимости первой акции ниже на величину qили что темп прироста курсовой стоимости второй акции будетвыше на величину q.Если в начале периода T курс акции, выплачивающей дивиденд,равен S, то в конце этого периода она будет стоить столько же,сколько и акция, не выплачивающая дивиденда, которая в началепериода стоит S e-qT . Поэтому можно сделать вывод о том, чтоевропейский опцион для первой и второй акции должен иметьодинаковую стоимость. Выше мы уже привели формулы БлэкаСколеса для оценки премии европейских опционов. Данные формулы применимы и для опционов на акции, выплачивающиедивиденд, с той только разницей, что место S займет величинаS e-qTce = Se − qT N (d1 ) − Xe − rT N (d 2 )(52)p e = Xe − rT N (− d 2 ) − Se − qT N (− d1 )(53)ln (S X ) + (r − q + σ 2 2)T(54)d1 =d2 =σ Tln (S X ) + (r − q − σ 2 2)T(55)= d1 - σ Tσ Td1 и d2 принимают указанный вид вследствие следующего преобразования:Se − qTS= ln − qTXXЭтот результат впервые получил Мертон.Если инвестор имеет информацию об абсолютном размере дивиденда, то величина S уменьшается на приведенную стоимостьдивиденда, а значение σ принимается как стандартное отклонениечистой цены акции.
Полученные цифры подставляются в формулыБлэка-Сколеса.lnКРАТКИЕ ВЫВОДЫВ моделях оценки премии опционов используется техника формирования портфеля без риска. Это позволяет для целей дисконтирования применять ставку без риска, так как портфель, ненесущий риск, должен иметь доходность, равную ставке без риска.174Премию американских опционов рассчитывают с помощью биноминальной модели. Суть ее состоит в том, что время опционногоконтракта разбивают на малые интервалы и строят с учетом вероятности дерево распределения курсовой стоимости акции. Определив премию опциона перед датой истечения контракта,последовательным дисконтированием под ставку без риска находят значение цены опциона для каждой точки пересечения деревараспределения и таким образом рассчитывают величину премии вмомент заключения контракта.
Если в период действия опционана акцию выплачиваются дивиденды, то при 1) наличии информации о ставке дивиденда курсовую стоимость акции в момент выплаты дохода уменьшают на величину ставки дивиденда; 2) когдаимеются данные об абсолютной величине дивиденда, чистую стоимость акции для каждого узла дерева распределения корректируют на приведенную стоимость дивиденда.Премия европейских опционов и американского опциона коллрассчитывается с помощью формул Блэка-Сколеса. В модели принимается посылка, что цена актива имеет логнормальное распределение.В качестве показателя, характеризующего скорость движениярынка, используют стандартное отклонение цены актива. Оно говорит о степени разброса значений цены актива относительно еесредней величины и о вероятности цены актива перешагнуть черезцену исполнения в течение действия опционного контракта.
Длярасчетных целей используют историческое стандартное отклонение. Из аналитических формул можно вычислить внутреннее стандартное отклонение опциона. При определении историческогостандартного отклонения используют два метода. Первый состоитв том, что в качестве переменной величины принимают отношениеизменения цены к ее предыдущему значению. Второй метод — вкачестве переменной использует логарифм отношения последующей цены к предыдущей.Глава XII. ОПЦИОНЫ НА ИНДЕКСЫ,ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ, ОБЛИГАЦИИ,ВАЛЮТУВ настоящей главе мы охарактеризуем опционы на индексы,фьючерсные контракты, облигации и валюту, остановимся на вопросе оценки премии опционов для каждого вида актива.
Рассматривая облигации, определим понятие встроенного опциона.§ 35. ОПЦИОНЫ НА ИНДЕКСЫ. ОЦЕНКАПРЕМИИ ОПЦИОНАВ настоящее время на западном фондовом рынке заключаютсяопционные контракты на индексы, например, S & Р 100, PS & Р500, индекс нефтяных компаний (включает 15 акций); Велью Лайн(включает 1700 акций) и другие. Поскольку обычно индекс насчитывает большое количество акций, то, как правило, исполнениеопциона подразумевает осуществление взаиморасчетов деньгами,а не поставку бумаг. При исполнении опциона колл положительная разница между значением индекса и ценой исполнения, а дляопциона пут — между ценой исполнения и значением индекса —умножаются на некоторое число, которое установлено для данногоиндекса контракта.
Например, в США — это 100. Вычисленнаятаким образом сумма уплачивается покупателю опциона.Пример. Цена исполнения опциона колл на индексный контракт равна 3254. По истечении срока контракта значение индексасоставило 3284. Покупатель исполняет опцион и получает выигрыш(3284-3254) × 100 = 3000 долл.Опционы на индексы используются в качестве инструментастрахования широко диверсифицированного портфеля ценныхбумаг от риска падения их курсовой стоимости.ОЦЕНКА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНАПри оценке премии опциона на индекс предполагается, что егоможно представить как акцию с известной ставкой дивиденда.Поэтому премию опциона можно рассчитать по формулам Блэка176Сколеса для акций, выплачивающих дивиденды. Поскольку индекс включает в себя много акций, дивиденд на которые можетвыплачиваться в разное время, то для расчетных целей учитываюттолько дивиденды, выплачиваемые в период действия опциона.Пример.
Инвестор по купает европейский опцион колл на некоторый индекс А на три месяца с ценой исполнения 245. В моментзаключения контракта индекс равен 250. Стандартное отклонениедля индекса равно 20%. Ожидается, что дивиденды будут выплачиваться для ряда акций в первом месяце, других — во втором ина оставшиеся акции — в третьем. Для первого месяца ставкадивиденда равна 1%, второго — 2%, третьего — 1,5%. Ставка безриска — 10%. Определить стоимость опциона.Вначале найдем ставку среднего дивиденда.
Она равна:1% + 2% + 1,5%× 12 = 18%3После этого можно воспользоваться формулой Блэка-Сколеса.d1 =ln (250 245) + (0,1 − 0,18 + (0,2)2 2 ) ⋅ 0,250,2 0,25= 0,0520N(d1) = 0,5207d 2 = 0,5207 − 0,2 0,25 = −0,048N(d2) = 0,4809ce = 250e −0,18×0, 25 × 0,5207 − 245−0,1×0, 25 × 0,4809 = 15,3635 доллОдин контракт стоит:15,3635 × 100 =1536,35 долл.Если инвестор располагает данными об абсолютном значениивыплачиваемых дивидендов, то в этом случае начальные значенияиндекса, то есть величину S уменьшают на величину приведеннойстоимости дивидендов.§ 36. ОПЦИОНЫ НА ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ.ОЦЕНКА ПРЕМИИ ОПЦИОНАВ настоящее время в качестве предмета опционного контрактаиспользуются фьючерсные контракты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
