Буренин А.Н. - Фьючерсные, форвардные и опционные рынки (1094318), страница 28
Текст из файла (страница 28)
58. Дляточки Sd он равен Sd= 40 долл. х 0,9039 = 36,16 долл.Для точки Sd2 Sd2 = 40 долл. х (0,9039)2 = 32,68 долл.Для точки Su Su = 40 долл. х 1,1063 = 44,25 долл.и т.д.Значения курса акций представлены на дереве распределения(см. рис. 59).После того как мы получили значения вероятности повышенияя понижения курса акции и значения цены акции в конце каждогомесяца, можно перейти к определению величины премии опциона.Рис.59.
Дерево распределения цены акцииПример. Инвестор приобретает опцион пут на три месяца, курсакции в момент заключения контракта равен 40 долл., цена исполнения 45 долл., непрерывно начисляемая ставка без риска — 10%,стандартное отклонение акции — 35%. Определить стоимостьопциона.160Через три месяца в точке Su3 величина премии опциона будетравняться нулю.
В точке Su = 45 долл - 44,25 долл., = 0,75 долл.В точке Sd = 45 долл. - 36,16 долл. = 8,84 долл.В точке Sd3 = 45 долл. -29,54 долл. = 14,46 долл.Цена опциона в начале периода Δt3, то есть для точек Su2, S, Sd2представляет собой дисконтированную стоимость его ожидаемойцены в конце этого периода и так далее для каждого предыдущегоотрезка времени. Ожидаемое значение случайной величины определяется как ее математическое ожидание.
Поэтому цену опционав начале периода Δt можно определить по формулецена опциона = (Мх) е-rΔTгде Мх — сумма произведения ожидаемых значений цены опционавконцепериодаΔtнаихвероятность.Найдем цену опциона в точке Su2. Она равна:(0,5163 × 0 + 0,4837 × 0,75) е-0,1×0,0833 = 0,36 долл.Для точки S она составит:(0,5163 × 0,75 + 0,4837 × 8,84) е-0,1×0,0833 = 4,62 долл. и т.д.Цена опциона для каждой точки на дереве распределения представлена второй строкой на рис. 59. В итоге получаем — премияопциона в начале периода Гравна 5 долл.Выше мы определили премию для европейского опциона пут.Рассмотрим теперь случай, когда инвестор покупает аналогичныйпо своим условиям американский опцион. Как известно, досрочное исполнение контракта может явиться оптимальным решением.
Поэтому для каждого момента времени (в нашей модели этоконец каждого периода Δt) его цена должна быть не меньше, чем X- Р. Дерево распределения цены акции и премии американскогоопциона приведено на рис. 60. Рассмотрим цену опциона в точкеSu2. Согласно расчету она составляет 0,36 долл.
Однако в случаеисполнения опциона в данный момент он будет стоить:45 долл. — 48,96 долл. = -3,96 долл.Естественно, что в этот момент времени исполнение опционане является оптимальной стратегией и инвестору следует продатьопцион или подождать еще некоторый период времени. Следовательно, его цена в указанной точке равна полученной расчетнойвеличине, то есть 0,36 долл.161Рис.60. Дерево распределения премии американского опциона путДля точки S (начало периода Δt3) расчетная цена равна 4,62долл., однако в случае его исполнения в этот момент инвесторполучит прибыль, которая составит:45 долл. - 40 долл.
= 5 долл.Следовательно, при таком развитии событий американский опцион будет стоить не 4,62 долл, а 5 долл. и его оптимально исполнить. Для точки Sd2 премия опциона должна быть не меньше чем:45 долл. - 32,68 долл. = 12,32 долл.Для точки Sd при немедленном исполнении опцион стоит:45 долл. -36,1бдолл.= 8,84долл.Его расчетная цена составляет:(0,5163 × 5,0 + 0,4837 × 12,32) е-0,1×0,0833 =8,47 долл.Следовательно, он должен стоить не меньше 8,84 долл.В точке Su при немедленном исполнении опцион стоит:45 долл.
- 44,25 долл. = 0,75 долл.162Однако расчеты показывают, что в этом случае исполнение неявляется оптимальной стратегией и цена опциона должна составить не 0,75 долл., а(0,5163 × 0,36 + 0,4837 × 5,0) е-0,1×0,0833 = 2,58 доллВ итоге получаем — цена американского опциона пут в моментзаключения контракта равна 5,56 долл.Мы рассмотрели биноминальную модель оценки премии опциона для акций, не выплачивающих дивиденды. В нашем примеревесь период опционного контракта, который насчитывал три месяца, был разбит на три периода. На практике для определенияцены опциона период Т необходимо разбить на большее числопериодов Δt. Обычно деление опционного контракта на 30-50интервалов дает приемлемый результат.§ 33. БИНОМИНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АКЦИЙ,ВЫПЛАЧИВАЮЩИХ ДИВИДЕНДЫВ основе опциона могут лежать акции, на которые в течениедействия контрактов выплачиваются дивиденды.
Данный фактдолжен найти отражение в некоторой корректировке премии опциона.Информация о дивиденде может быть задана в двух видах, аименно, инвестор знает: а) величину ставки дивиденда; б) абсолютный размер предполагаемого дивиденда. Рассмотрим последовательно оба случая.Как известно, курс акций на дату учета падает на величинувыплачиваемого дивиденда.
Поэтому дере во распределения ценыакции принимает вид, как это представлено на рис. 61. Данныйрисунок сделан для случая, когда нам известна ставка дивиденда.Начиная с даты учета, и для всех последующих точек пересеченияветвей дерева курс акций корректируется на величину 1 - q. Если втечение действия опционного контракта дивиденд выплачиваетсянесколько раз, то данная корректировка производится соответствующее число раз. В остальном техника определения цены опциона сводится к уже рассмотренной выше схеме для акций, невыплачивающих дивиденд.Инвестор может располагать данными об абсолютном размерепредполагаемого дивиденда. Соответственно на дату учета стоимость акций понизится на данную величину.
Теперь сделаемдопущение, что цена акции в каждый момент состоит из двухчастей, а именно, чистой цены, то есть цены без дивиденда, иприведенной стоимости будущего дивиденда. После данной посылки для определения премии опциона можно воспользоваться163построением дерева как и для акций, не выплачивающих дивиденды. В расчетах значение стандартного отклонения курса акцииберется для ее чистой цены.
Значение цены акции в каждой точкепересечения ветвей дерева, за исключением даты учета, представляет собой сумму ее чистой цены и приведенной стоимости дивиденда для соответствующего момента времени.Пример. Инвестор планирует купить американский опцион путсроком на четыре месяца, цена акции — 48 долл., цена исполнения — 45 долл., стандартное отклонение цены акции — 35%,ставка без риска — 10%. Дата учета наступает через три месяца,Рис.61.
Дерево распределения цены акции, для которой известна ставка дивидента. Дивидент выплачивается один раздивиденд равен 3 долл. Определить премию опциона.В качестве первого шага рассчитаем приведенную стоимостьдивиденда для момента заключения контракта.3e-0,1х0,25= 2,93 долл.Чистая цена акции в этот момент составит:48 долл. -2,90 долл. = 45,07 долл.Вероятность повышения и понижения курса акции составит каки в рассмотренном выше примере для акций, не выплачивающихдивиденды, соответственно 0,5163 и 0,4837, и = 1,1063, d = 0,9039.Чистая цена акции в точке Su (конец интервала Δt1) равняется:45,07 долл. × 1,1063 = 49,86 долл.Приведенная стоимость дивиденда: 3 е -0.1x0,1667= 2,95 долл.Полная цена в этой точке: 49,86 долл. + 2,95 = 52,81 долл.Чистая цена акции в точке Su (конец периода Δt2 ) составит:16445,07 долл.× 1,10632 = 55,16 долл.Приведенная стоимость дивиденда равна:3е-0,1x0,0833= 2,98 долл.Курс акции в этой точке равен:55,16 дол.
+ 2,98 долл. = 58,14 долл.3В точке Su курс акции составит:45,07 долл.× 1,10633 = 61,02 долл.К данной цене дивиденд не прибавляется, так как в этот день онвыплачивается акционерам. Цена акции в точке Su4 составит 67,5долл. Даже если предположить, что через несколько месяцев наакцию будет выплачен дивиденд, корректировка курса акций наприведенную стоимость дивиденда не производится, так какконтракт заключен на четыре месяца, и, следовательно, выплатаследующего дивиденда лежит уже за рамками данного опциона.Аналогичным образом, как представлено выше, рассчитываетсяцена акций для каждой точки пересечения ветвей дерева (см.рис. 62).Необходимо обратить внимание читателя на точку Sd3.
Согласно расчетам, цена опциона должна составлять в этот момент 11,34долл. Однако, поскольку это американский опцион, он может бытьРис.62. Дерево распределения цены акции и премии американского опциона пут для акций, выплачивающих известный дивиденд.
Верхниечисла — курс акции, нижние — премия опциона165исполнен в любой момент времени и, соответственно, цена егосоставит 11,71 долл. Равным образом сказанное выше относится ик точке Sd (конец интервала Δt3 , в которой цена опциона должнасоставлять 4,28 долл. Используя технику расчета, о которой говорилось в примере с акциями, не выплачивающими дивиденды,получаем значение цены опциона пут для момента заключенияконтракта 2,80 долл.Как уже было отмечено в начале данной главы, биноминальнаямодель используется для оценки премии американских опционов.Премии европейских опционов рассчитываются с помощью аналитических формул, которые мы рассмотрим в следующем параграфе.§ 34. МОДЕЛЬ БЛЭКА-СКОЛЕСАа) Определение премии опционов на акции, не выплачивающие дивиденды. Логнормальное распределение. Стандартное отклонениеВ начале 70-х годов Ф.
Блэк и М. Сколес разработали модельоценки премии европейских опционов колл и пут для акций, невыплачивающих дивиденды. Блэк и Сколес вывели формулы, основываясь на концепции формирования портфеля без риска. Онирассмотрели портфель из акций и опциона. При оценке премииопциона модель учитывает следующие параметры: цену акции,цену исполнения, ставку без риска, стандартное отклонение курсаакций, время до истечения контракта. В то же время она не принимает во внимание ожидаемый доход на акции. Данный подходвытекает из принципа формирования портфеля нейтрального криску. В такой ситуации ожидаемый доход на все бумаги являетсяодинаковым и равняется ставке без риска. Именно она используется для оценки дисконтированной стоимости будущих доходов.Опционный контракт — это срочный контракт, поэтому величина премии должна уловить поведение курса акции. В качествевероятностного распределения цены акции в модели принято логнормальное распределение. Рассмотрим его более подробно.ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕИзменение цены актива в будущем — это случайный процесс,который в принципе должен описываться нормальным распределением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
