Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передаваемая при этом маятгику, берется либо за счет раскручи- эээ 4. Колебания я оолаы вающейся пружины, либо за счет опускающегося груза, Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей. Автоколебательными системами являются также двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый генератор и т.д. й 147.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого- либо периодически действующего фактора Х(Г), изменяющегося по гармоническому закону: Х(Г)=Хо соз оад Если рассматривать механические колебания, то роль Х(!) играет внешняя вынуждающая сила Г=с"О СОЗ М. (147.1) С учетом силы (147.1) закон движения для пружинного маятника (146/9) запишется в виде глх'= )ах — гх+ го соз Оад Используя (142.2) и (146,10), придем к уравнению х+26х+ыох=(РО/ш) соз ы!.
(147.2) Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль Х(!) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э. д. с, или переменное напряжение (/= (/ соз ыд (147.3) Тогда уравнение (143.2) с учетом (!47.3) можно записать в виде и Я+ — Г)+ — (/= — соз ы!.
й ЕС Е Используя (143.4) н (146.11), придем к уравнению 0+25!3+ыо!3= ((/.,/Е) соз мд (147.4) Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически измевяющейся э. д. с,, называются соответственно вынуждеинымн механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями. Уравнения (147.2) и (! 47,4) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению ба дз — +26 — +ы~з=хосоз ы(, б! (! 47.5) применян впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физической природы (хо в случае механических колебаний равно го/гл, в случае электромагнитных — (/ /А). Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения (146.5) однородного уравнения (146.!) и частного решения неоднородного уравнения.
Частное решение найдем в комплексной форме (см. э 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину хое'"'. з+ 25з+ ы~оз = хое'"'. (147.6) Частное решение этого уравнения будем искать в виде з = з е'"'.
— о Подставляя выражение для з и его производных (з=!чзое'"', з= — г)'зое'т) в уравнение (147.6), получим ловок ( — па+ 2!5Ч+ що) = хое'"'. (! 47.7) Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время Г из него должно исключаться. Отсюда следует, что Ч=в. Учитывая зто, из уравнения (147.7) найдем величину зо и умножим ее числитель и знаменатель на (о1о — со~ — 2!бы): хо О з (ыо — ы )+2!бы Г л з в а 18.
Механические и электромагнитные колебш кк где р . вов 26м чз = асс!я ы — и о (147.9) 26м Х соз оз! — агс(п мо где (147.! 1) (! 47.! 6) (ыо кз ) — 216м ( 3 з)2 (,1,,!3 з Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме: з =Ае о— А = ~ (147.8) Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид з=Аед ' Его вещественная часть, являющаяся решением уравнения (!47.5), равна э=А соз (мг — зр), (147.!О) где А н ф задаются соответственно формулами (!47.8) и (147.9). Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (! 47.5) имеет внд «О Я Х з(И вЂ” т+зз* ' Решение уравнения (!47.5) равно сумме общего решения однородного урав- нения з,=А,е 'сов(ызт+грз) (147.12) (см.
146.5) ) и частного решения (!47.! 1). Слагаемое (147.12) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством (147.8). Графически вынужденные колебания представлены на рис. 209. Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой м и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяе- мыс выражениями (147.8) и (!47.9), также зависят ст ы Запишем формулы (!4?.10), (147.8) и (!47.9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что ма=1/((.С) (см.
(143.4)) и б=)7/(2Е) (см. (146.11)): и Гк и Й + мх'.—— 1я а= Я (! 47.13) ! /(мС) — ай Проднфференцировав я=(З„,соз(мà — а) по Г, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях: 1= — мЯ,„з)п (оз! — а) = =1 соз (м) — а+и/2), (147.14) (147.15) Выражение (147.!41 может быть записано в виде 1=! соз (Ы вЂ” зр), где зр=а — и/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см, (147.3) ), В соответствии с выражени- ем (147.!3) их 1 (я ф=1п а —— 2 ) (па ый — 1/(озС) 234 4. Колебания и о«лны л /ло ле 2 е Ряс. 2!О "о во "о хо во во Из формулы (147.16) вытекает, что ток отстает по фазе от напряжения (~р)О), если в(.) 1/(вС), н опережает напряжение (~р(0), еслн вЬ(!/(вС).
Формулы (147.15) и (147.16) можно также получить с помощью векторной диаграммы. Это будет сделано в 4 149 для переменных токов. й 148. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний (механическнх н злектромагннтных). Резонанс Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты в. Механические н электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величнну либо смещением (л) колеблющегося тела нз положения равновесия, либо зарядом Я) конденсатора. Из формулы (147.8) следует, что ам.
плитуда А смещення (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту вр„— частоту, при которой амплитуда А смещения (заряда) достигает максимума,— нужно найти максимум функции (147.8), нлн, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Проднфференцнровав падкоренное выражение по в н приравняв нулю, получим условие, определяющее вмк — 4(вдо — в~) в+86 в=О.
Это равенство выполняется прн в=О, ш ~/ар — 262, у которых только лишь положительное значение нмеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота вр„— — 2Я вЂ” 262. (! 48. ! ) Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближенна частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте вр„называется резонансом (соответственно механическим нли злектрнческнм). При 6 «во значение в„, практиче- 2 2 скн совпадает с собственной частотой во колебательной системы. Подставляя (148.1) в формулу (147.8), получим Арее .
(148.2) 26 ~(гв~ — 62 На рис, 2!О приведена зависимость амплитуды вынужденных колебаний ат частоты прн различных значениях 6. Из (!48.1) н (148.2) вытекает, что чем меньше 6, тем выше и правее лежнт макснмум данной кривой. Еслн в-е-0, то все кривые (см. также (147.8)) приходят к одному н тому же, отличному ст нуля, предельному значению х,/в,, так называемому статнческому отнлоненню. В случае механических колебаний ко/во=го/(арво), в случае электромагнитных — 1/ /((.в~~). Если в — ее«, то все кривые аснмптатическн стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансмымн крнвымн. Из формулы (148.2) вытекает, что при малом затухании (6 «вхо) резонансная амплитуда смешения (заряда) где Π— добротность колебательной системы (см. (146.8)), хо/во — рассмотренное выше статическое отклонение.
Отсюда следует, что добротность 2'2 характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше !,"е, тем больше Ария На рис. 2! ! представлены резонансные кривые для амплитуды скоростн (тока). Амплитуда скорости (тока) хов вА = ~Я вЂ” ! еее Г л л э а 18. Механические и электроиэгиитиые колеблкии 235 мт "ю Ю Рис. 211 (-о--')' +46 2 максимальна при ыр.к=во и равна хо/(26), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
