Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 70
Текст из файла (страница 70)
l л. вч Ьч '1~сачи~сыч и зсь рчгзо 1,,«. мо; ." и 221 В физике часто применяется дру~ой метод, который отличается от метода вращающегося вектора амплитуды лишь по форме. В этом методе колеблющуюся величину представляют комплекснмм числом. Согласно формуле Эйлера, для комплексных чисел е'" =сов а+1 з(пц, (140.7) где 1=.~( — 1 — мнимая единица.
Поэтому уравнение гармонического колебания (140.1) можно записать в экспоиенциальной форме; 2=Ае' "+". (140.8) Вещественная часть выражения (140.8) )(е(а)=А соэ(ыог+ф)=2 представляет собой гармоническое иолебание. Обозначение )(е вещественной части условимся опускать и (140.8) будем записывать в виде 2 =Ае'""+21. В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина а равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа. й 141.
54гханическиг гармонические колебания Пусть материальная точка совершает пря. молинейиые гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты к от времени 1 задается уравнением, аналогичным уравнению (140.1), где а=к: к=А соз (мчт+ф), (141.1) Согласно выражениям (140.4) и (!40.5), скорость о и ускорение а колеблющейся точки соответственно равны и= — Аогч з(п (ычг+ф)= = Аыч соз (ы21+ 22+ и/2); а= — Амо„сов (мо(+ф)= =Ам~~сов(ыо(+ф+и), (141.2) Сила В=та, действующая на колеблющуюся материальную точку массой лг, с учетом (!41.1) и (141.2) равна Р = — ЛгмчХ. 2 Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положения раьиовесия и направлена в протнвоположнук2 сторону (к положению равновесия). Киаетическая энергия материальной точки, овершающей прямолинейные гармониче~ кие колебания, равна гпп гпА ь)0 2 2 2 Т:=.
— = — — гйп (маг+ 42), 2 2 (!41.3) или 2пА 222„ 7'= [! — соэ 2(м22+ ф)] 4 (141.4) Потенциальная энергия материальной точки, овершающей гармонические колебания под действием упругой силы Р, равна 2 2 И= — ~ Р дх=- 2 2 тА м„ = — соэ (222!+ ф), (141.5) 2 или лгА2шг П = - [!+сов 2 (ы21+ ф)], 4 (141,6) Сложна (141.3) и (141.5), получим формулу для полной энергии: Е=Т+П=лгА~м~о/2. (141.7) Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.
Из формул (141.4) н (141.6) следует, что Т и П изменяются с частотой 2ым т. е. с частотой, которая в два раза превышает гастоту гармонического колебания. 4 Калсааннч и в тны или к х+ — х=0. гн 1 2 и периодом Рнс. 200 П=)гх /2. Рис. 201 На рис. 200 представлены графики зависимости х, Т и П от времени. Так как (згп гх) = (соз и) =1/2, то из формул (141.3), (141.5) и (141.7) следует, чта (Т) = (П) ='/гЕ. 2 142.
Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описан ваемые уравнением вида (140.6): з+ с =0. Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной илн приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гарионического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для таков и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными; см.
4 146). 1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине н совершающий гармонические колебания под действием упругой силы Р= — )гх, где й — коэффициент упругости, в случае пружины называемый жестко- стью. Уравнение движения маятника тх = — йх, Из выражений (142.1) н (140.1) следует, чта пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х= А соз(ысг+ ф) с циклической частотой мс = )г)г/т (142.2) Т=2то~т/Ы. (142.3) Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (см. (21.3)), т. е.
когда масса пружины мала па сравнению с массой гела. Потенцнальнаи энергия пружинного маятника, согласно (141.51 н (142.2), равна 2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее пад действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной асн падвеса, не проходящей через центр масс С тела (рис. 201). Если маятник отклонен нз положения равновесия на некоторый угол и, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) момент М возвращающей силы можно Г л л о и <3 Механические и электроилгнитные коле !н< ни записать в виде М=Уе=/а=г,1= — тл! ейп аяо — тй!а, (!42.4) где У вЂ” момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О, !— расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника, Р„= †ейп а — — тйа — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления г", и а всегда противоположны; ейп а-а соответствует малым колебаниям маятника, т.
е. малым отклонениям мантника из положения равновесия). Уравнение (142.4) можно записать в виде У а+ ту!а = О, тд! а+ — а=о. у Принимая получим уравнение о а+ =О, идентичное с (142.1), решение которого (140,1) известно: а = <х, соз (ыо!+ <р). (142.6) Из выражения (!42.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ыо (см. (!42.5)) и периодом Т = 2л/ыо — — 2л ~/У//(тй!) = 2л ф/д, (! 42.7) где У.=У/(т!) — приведенная длина физического маятника. Точка 0' на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведенной длины У., называется центром качаний физического маятника (рис.
201). Применяя теорему Штейнера (!6.1), получим У Ус+"'! Ус А= =!+ — )!. <и! т! т! т. е. 00' всегда больше ОС. Точка подвеса 0 и центр качаний 0' обладают свойством взаимозаменяемости; если ось подвеса перенестн в центр качаний, то точка 0 прежней <ки подвеса станет новым центром качаний и период колебаний физического маятнтка не изменится, 3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной нп нерастяжимой невесомой нити, и коле5лющаяся под действием силы тяжести.
Хорошим приближением математического маятника являетси небольшой тяжелый шарик, подвешенный иа тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника У = <л1~, (!42.8) где ! — длина маятника. Так как математический маятник можно представить как частный случай физическоло маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке— центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (!42.7), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника Т= 2л ф/у. (142.9) Сравнивая формулы (142.7) и (142,9), видим, что если приведенная длина У.
физического маятника равна длине ! математического маятника, то их периоды колебаний одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятннка— это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. з 14!!. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре Среди различных электрических явлений особое место заиимактт электромагнитные колебания, при которых электрические величинь (заряды, токи) периодически изменяются и которые сопровождаются взаим- кики и ~ и и и ~пчг КФ гйг г И./ йг гс ят — ей 1 г =2 и лг 1 гг /12 г 2 Ко — тг г 'г и/.у тг ./ г М=- /гх2 1 =2 Риг /02 ными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддерживания электромагнитных колебаний используется калебательный контур— цепь, состоящая нз включенных последовательно катушки иидуктивностью /., конденсатора емкостью С н резистора сопротивлением /чг. Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса н идеализированном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало (/чж0).
Для возбужления в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ~ г/. Тогда в начальный момент времени /=0 (рис. 202, а) чежлу обкладками конденсатора возникнеч электрическое пале, энергия которого —; чг (счч. (05,4) ). Если замкнуть коплен2С втор па катушку иалуктивнасти, ан начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий са временем ток /.
В резульчате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного ( л2 паля катушки (она равна — Сс/ ) — воз- 2 растать. Так как чч(жО, то, согласно закону сохранения энергии, полная энергия Ю= --Я + — (4 =сонэ(, 2 ) 2 2С так как ана на нагреванне не расходуется. Поэтому в момент /=-'/'1 Т, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического полн абращаетси в нуль, а энергия магнитного поля (а следовательно, н так) достигает наибольшего значения (рис. 202, б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать; следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, и в ней индуцируется так, который течет (сагласно правилу Ленца) в том же иаправлекни, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который в конце концов обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (рис.
202, в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис 202, г) и система к моменту времени /= / придет в первоначальное состояние (рис. 202, а). После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. Если бы потерь энергии не было, то н контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, т.е. периодически изменялись (колебались) бы заряд ч,/ на обкладках конденсатора, напряжение (/ на конденсаторе н сила тока /, текущего через катушку индуктнвностн. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания, прн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
