Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 72
Текст из файла (страница 72)
206). Кроме того, если А =В, то эллипс (145.4) вырождается в окрдзкность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу. Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурамн Лиссажу*.
Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 201 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху). Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.
$146. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механнческнх н электромагнитных) н его решение. Автоколебания Рассмотрим свободные затухающме колебания — колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, з Ж. Лиссзжу (1822 — !880) — француз скип физик. а так.ке омическнх потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.
Закон затухающих колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса ие изменяются.
Линейными системами являются, например, пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когдз справедлив закон Гука), колебательный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого ие зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями, что позволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моделирование, в том числе и иа ЭВМ. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде ,)гз + 26 — + ы~~з =О, (! 46.1) где з — колеблющаяся величина, описывающая тот илн иной физический процесс, 6 = сопз1 — ковффнцнент затухания, ыо — циклическая частота свободных неэагукаюа(их колебаний той же колебательной системы, т.
е. при 6 =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы. Решение уравнения (146.1) рассмотрим в виде з=е за, (146.2) где и =и(г). После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и подстановки их в (146.!) получим й+(оззо — 6') и =О. (146.3) Решение уравнения (!46.3) зависит от знака коэффициента перед искомой вели. чиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен: ы =ы;,— 6 (148.
41 4. Колебэннн н волны (если (ыв — б'))О, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим уравнение типа (142.1) Й+м~и=О, решением которого является функция и=Аз сов (ыг+ф) (см. (!40.1)). Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий (бз~ыф з =Аве ' соз (ыв+ ф), (! 46 5) где А =Аее (146.6) — амплитуда затухающих колебаний, а Ав — начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис. 208 сплошной линией, а зависимость (!46.6) — штриховыми линиями.
Промежуток времени т = 1/б, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации. Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться по. нятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис.
208). Тогда период затухающих колебаний с учетом фор- мулы (146,4) равен Т=2п/и =2п/ч~ю~~ — бх. Если А(!) и А(г+Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение А(Г) вг А(!+ Т) называется декрементом затухания, а его логарифм 0= 1п— А(Г) Т 1 =ЬТ= — = А(!+ Т) т ЛГ, (! 46.7) — логарифмическим декремеитом затухания; Л1, — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания— постоянная для данной колебательной системы величина. Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности !2, которая прн малых значениях логарифмического декремента равна Я = — = пЛ1, = = — (146.8) и я ме 0 ' ЬТэ 26 (так как затухание невелико (б «ыз), то Т принято равным Тр).
Из формулы (146.8) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Л/ы совершаемых системой за время релаксации. Применим выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический колебательный контур). !.
Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маятника (см. $142) массой лв, совершающего малые колебании под действием упругой силы Р= — йх, сила трения пропорциональна скорости, т, е. Гл э э э 18. Механические и электромагнитные колеаэькя где г — ковффнциеит сопротивления; знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости. При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид гпх = — йх — гх.
(146.9) Используя формулу мь=~ф/ги (см. (142.2)) и принимая, что коэффициент затухания 6=2/(2гп), (146,10) получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника: х+ 2бх + м~~х = О. Из выражений (!46.1) и (!46.5) вытекает, что маятник колеблется по закону х= Аэе " соз (м(+ р) гэ с частотой ы= мь — — (см. 2 4ж2 (146.4) ) . Добротность пружинного маятника, ! согласно (146.8) и (146.10), О= —.)(гйи. г 2.
Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре (при )7~0) имеет вид (см. (143.2)) О+ - () + О=О. )7 1 Учитывая выражение (142.2) и принимаи коэффициент затухания 6 = )7/(2Е), (146.11) дифференциальное уравнение (143.2) можно записать в идентичном уравнению (146.1) виде О+269+о,'Я=О Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания заряда совершаются по закону Я=Я е ь'соз(м!+ф) (146.12) с частотой, согласно (146.4), меньшей собственной частоты контура мь (см. (143.4) ).
При Я=О формула (146.13) переходит в (143.4). Логарифмический декремент затухания определяется формулой (146.7), а добротность колебательного контура (см. (146.8)) О= — ~ —. (146.14) Р Чс' В заключение отметим, что при увеличении коэффициента затухания 6 период затухающих колебаний растет и при б=мь обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим.
В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда ьа. Процесс не будет колебательным. Он называется апериоднческнм. Огромный интерес для техники представляет возможность поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко применимы так называемые автоколебання — незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внещнега источника энергии, причем свойства этик колебаний определяются самой системой.
Автоколебания принципиально отличаются ат свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, в также от вынужденных колебаний (см.4147), происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциямн в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
