Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 76
Текст из файла (страница 76)
[гут- =1) 18.9. За время, за которое система совершает 100 полных колебаний, амплитуда уменьшается в три раза. Определить добротность системы. [286] 18.10. Колебательный контур содержит катушку иидуктивностью 25 мГн, конденсатор емиостью 10 мкф н резистор сопротивлением 1 Ом. Конденсатор заряжен количеством электричества !)м 1 мКл.
Определить: !) период колебаний контура; 2) логарифмический декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжении на обкладках конденсатора ог времени. [1) 3,!4 мс; 2) 0 05; 3) (/= !00е 'з' соз 636я!) 18.11. Последовательно соединенные резистор с сопротивлением !1О Ои н конденсатор подключены к внешнему переменному напряжению с амплитудным значением !!О В. Оказалось, что амплитудное значение установившегося тока в цепи 0,5 А.
Определить разность фаз между током н внешним напряжением. [60') Г л а з г !9 Упругие залки 13.12. В цепь переменного тока частотой 50 Гц включена катушка данной 50 см н плошадью поперечного сечения 1О см', содержащая 3000 витков. Определить активное сопротивление катушки, если сдвиг фаз между напряжением н такам составляет 50'. (4,! Ом( 13.!3. Генератор, частоте катарага составляет 32 кГц н амплитудное значение напряжения равно !20 В, включен э резонирующую цепь, емкость которой 1 нФ. Определить амплитудное значение напряжения на конденсаторе, если активное сопротивление цени 5 Ом.
(1!9 кВ( 13.14. Колебетельный контур содержит катушку нндуктнвнастью 5 мГц н конденсатор емкостью 2 мкФ. Для пш1держаняя э налебательном контур незатухающих гармонических колебаний с амлнтудным значением напряжения на конденсаторе ! В необходимо подводить среднюю мощность О,! мВт. Считая затухание колебаний в контуре достаточно малым, апрелелять добротность данного контура.
(100( Глава 19 Упругие волны 2 153. Волновые процессы. Продольныен поперечныеволны Колебания, возбужденные в какой. либо тачке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой.
Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Иначе говоря, фазы колебаний частиц среды и источника тем больше отличаются друг от друга, чем больше зто расстояние. При научении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды и среда рассматривается как сплошная, т. е. непрерывно распределенная в пространстве н обладающая упругимн свойствами. Процесс распространения колебаний в сплошной среде называетсн волновым процессом (или волной). При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия.
Вместе с волной от частицы и частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии беэ переноси вещество. Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны иа поверхности жидкости, упругие и электромагнитные во- лны. Упругими (илн механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных— в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сзсатия и ристязсгиия, т.
е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут распространяться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т. е, фактически только в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах — как продольные, так и поперечные. Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.
На рис. 220 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью а вдоль оси х, т. е. приведена зависимость между смещением К частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием х этих частиц (например, частицы В) от источника колебаний О для какого-то фиксированнога момента времени 1. Хотя приведенный график функции $(х, 1) похож на график гармонического колебания, но оии различны ло существу.
График волны дает зависимость смещения 244 4. Колебании и волны Рис. 226 всех частиц среда от расстояния до источника колебаний в данный момент времени, а график колебаний — зависимость смещения данной частица ат времени. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны й (рис. 220). Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т, е. х=ит, или, учитывая, что Т=1/ж где т — частота колебаний, и =йч.
Если рассмотреть волновой процесс подробнее, то ясно, что колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а колеблется савонупность частиц, расположенных в некотором абьеме, т.е, волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени г, называется волновым фронтом.
Геометрическое место точен, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени — один. Волновой фронт также является волновой поверхностью. В принципе волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае онн представляют собой сонокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Соответственно волна называется плоскей или сферической.
й !54. Уравнение бегущей волны. бзвзоввя скорость. Волновое уравнение Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова (по имени русского ученого Н.
А. Умова (1846— 1915), решившего задачу о движении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Для вывода уравнения бегущей волны — зависимости смещения колеблющейся частицы от координат и времени— рассмотрим плоскую волну, предполагая, чта колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с направлением распространения волны (рис.
220). В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение 5 будет зависеть только ат х и й т. е. 5=5 (х, Г). На рис. 220 рассмотрим некоторую частицу среды В, находящуюся ат источника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х=0, описываются функцией $(0, Г)= =А соз М, то частица среды В колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источнина на т, так как для прохождения волной расстояния х требуется время т = =х/и, где и — скорость распространения волны.
Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид $(х, !)=А сова(à — х/и), (154.1) откуда следует, что 5(х, Г) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (154.1) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направле- Г л а в о 19. Упругие вгони нии, то $ (х, Г)=А соз ы (1+х/и). В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления осн х в среде, ие поглощающей энергию, имеет вид 5(х, 1)=А соз [ы(1 — х/и)+9о[, (154.2) где А =сопз1 — амплитуда волны, ы— циклическая частота волны, фо — начальная фаза колебаний, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и й [ы (1 — х/и)+~ро) — фаза плоской волны.
Для характеристики волн используется волновое число 2н 2п м Л = — == —. (154.3) Х иг и Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать вид 5 (х, 1)=А соз (Ы вЂ” йх+оро). (154.4) Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком члена йх. Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны можно записать в виде 5(х 1)=А~ где физический смысл имеет лишь дей. ствительная часть (см.
$140). Предположим, что прн волновом процессе фаза постоянна, т. е. ы (1 — х/и)+оро=сопэ1. (154.5) Проднфференцировав выражение (154.5) 1 н сократив на ы, получим Ж вЂ” — г)х=0 откуда (154.6) Следовательно, скорость и распространения волны в уравнении (154.6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью. Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны — волны, волно- вые поверхности которой имеют вид кон.
центрических сфер, записывается как Ао $ (г, Г) = — соз (од — Лг+ фо), (154.7) г и = м/л. (1 54.8) Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией воли, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется днспергирующей средой. Распространение волн в однородной иэотроппой среде в общем случае описывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в частных производных до$ дос д~с 1 до$ о+ + о о о' дх' др' дг' и' д(о илн 1 доз 55= — —, из д1о (154.9) д' где и — фаэовая скорость, 5 = — + дх' д д + — + — — оператор Лапласа.
Редуо дг шепнем уравнения (154.9) является уравнение любой волны. Соответствующей подстановкой можно убедиться, что уравнению (154.9) удовлетворяют, в частности, плоская волна (см. (154.2) ) и сферическая волна (см. (154.7) ). Для плоской волны, распространяющейся вдоль осн х, волновое уравнение имеет вид — — — (154. 10) д'$ 1 д~с дхо ио д(~ где г — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, пв поглощаюи!ей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/г. Уравнение (154.7) справедливо лишь для г, значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).
Из выражения (154.3) вытекает, что фазовая скорость 24б 4. Кслебани22 и волны й 155. Принцип суперпозиция. Групповая скорость Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейно, т. е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиция (наложения) волн: при распространенкк в линейной среде нескольких вали каждая из них распространяетси так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновыхх процессов. Исходя из принципа суперпозиции и разложения Фурье (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
