Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 77
Текст из файла (страница 77)
(!44.5)) любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т. е, в виде волнового пакета, или группы волн. Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства. «Сконструируем» простейший волновой пакет нз двух распространяющихся вдоль положительного направления оси х гармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкимн частотами и волновыми числами, причем дм«м и ей« «й.
Тогда а=Аз соз (ы! — йх)+ +А, сов ((м+дм) ! — (у+ей) х)= /!Йм — хайд =2Ас соэ 2 саэ (и! — йх). Эта волна отличается от гармонической тем, чта ее амплитуда А )22 ( )( есть медленно изменяющаяся функция координаты х и времени б За скорость распространения этой не- гармонической волны (волноваго пакета) принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны, рассматривая тем самым макскмум з качестве центра волнового пакета. При условии, что ! 2!2« — х сй=сопз1, получим Дх Дм — = — =и. б! бй (155.1) Скорость и есть групповая скорость.
Ее можно определить как скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет. Хотя выражение (155.!) получено для волнового пакета из двух составляющих, можно доказать, что оно справедливо в самом общем случае. Рассмотрим связь между групповой дм и= (см. (155.1)) и фазовой и=ог/й сй (см. (154.8) ) скоростями. Учитывая, чта Л=2п/й (см. (154.3) ), получим бм д(ий) до и= —— =и+у — = сй сй сй =с+й — — =и+й нли и = а — Л вЂ”.
(155.2) бо дЛ' Из формулы (155.2) вытекает, что и может быть как меньше, твк и больше и в эабо внсимости ат знака —. В недиспергирую- ЙЛ дв щей среде — =0 и групповая скорость дЛ совпадает с фазовой. Понятие групповой скорости очень важно, так как именно она фигурирует при измерении дальности в радиолокации, в системах управления космическими объектами и т. д.
В теории относительности доказывается, что групповая скорость и«с, в та время как для филовой скорости ограничении не существует. й!56. Интерференция волн Согласованное протекание во времеки н пространстве нескольких колебательных илн волновых процессов связывают с понятием когерентности. Волны называются Гл а в в !9.
Упругие волны 247 В точках, где й (г, — гт) — (ф, — ра) = ~2тп наблюдается интерференционный макси- мум: амплитуда результирующего колеба- ния А=Аа/г1+Аа/гь В точках, где й (г, — гт) — (ф, — фа)= ~(2т+1) и Рис. 22! наблюдается интерференцнонный минимум: амплитуда результирующего колебания А=)Аа/г~ — Аа/га) (т=О, 1, 2, ...,) называется соответственно порядком ннтерференцнонного максимума или минимума. Условия (156.1) и (156.2) сводятся к тому, что г, — та=сонэ!. (!56.3) Выражение (! 56.3) представляет собой уравнение гиперболы с фокусами в точках 3, и Яа.
Следовательно, геометрическое место точек, в которых наблюдается усиление или ослабление результирующего колебания, представляет собой семейство гипербол (рис. 221), отвечающих условию р~ — ~ра=О. Между двумя интерференционными максимумами (на рис. 221 сплошные линии) находятся иитерференционные минимумы (иа рис. 221 штриховые линии). й !57.
Стоячие волны Особым случаем интерференции являются стоячие волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами. Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси к в среде беэ затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда фазы обеих волн равны нулю.
Тогда со- г) 1 г, гтз когерентиыми, если разность нх фаэ остается постоянной во времени. Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту. При наложении в пространстве двух (нли нескольких) когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн, Зто явление называется интерференцией волн.
Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками Я~ и Ва (рис. 221), колеблющимися с одинаковыми амплитудой Аа и частотой и и постоянной разностью фаз. Согласно (154.7), Аа 5, = — соэ (м( — йг, + ф,), г~ Аа $э= — соэ (ыà — йгт+ рт), га где г~ и га — расстояния от источников волн до рассматриваемой точки В, й— волновое число, ~р~ и фа — начальные фазы обеих накладывающихся сферических волн.
Амплитуда результирующей волны в точке В по (144.2) равна + — соэ [й (г~ — га) — (ф! — фа) ) 2 г1га Так как для когерентных источников разность начальных фаэ Ор~ — уа)=сонэ(, то результат наложения двух волн в различных точках зависит от величины Л=г~ — га, называемой равностью хода волн. (т=О, 1, 2,...), (156.1) (т=О, 1, 2, ...), (156.2) 248 4. Колебания я вахяы ответственно уравнения полны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид < $, =А соь (ы( — йх), $, = А соь (ы)+ йх).
Сложив зги уравнения н учитывая, что й=2л/Л (см. (154.3) ), получим уравнение стоячей волны: $ =$, + 5з =2А саь йх соь М = = 2А соь (2лх/Л) соь ый (157.2) Из уравнения стоячей волны (157.2) вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты ы с амплитудой А„=(2А соь (2лх/Л)), зависящей от координаты х рассматриваемой точки.
В тачках среды, где 2лх/Л= ~тл (т=О, 1, 2„...), (157.3) амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2 А. В точках среды, где 2лх/Л= ~(т+1/2) л (т=О, 1, 2, ...), (157.4) амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (А„=2 А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (А„=О), называются узлами стоячей волны.
Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Из выражений (157.3) н (157.4) получим соответственно координата лунностей и узлов: х„= ~ т — (т =О, 1, 2, ...), (157.5) Л 2 х„„= ~(т+ — ) — (т = О, 1, 2, ...). 1 Л (157.6) Из формул (157.5) и (157.6) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями н двумя соседнимн узлами одинаковы н равны Л/2. Расстояние между со- седними пучностью н узлом стоячей волны равна Л/4.
В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе (в уравнении (157.1) бегущей волны фаза колебаний зависит от координаты х рассматриваемой точки), все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одипоковглми фазами (в уравнении (157.2) стоячей волны аргумент косинуса не зависит от х) .
При переходе через узел множитель 2А сов(2лх/Л) меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на л, т. е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн. Например, если конец веревки закрепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной н об. разует стоячую волну.
На границе, где происходит отражение волны, в данном случае получается узел. Будет лн на границе отражения узел илн пучнасть, зависит ат соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, та в месте отражения получается пучность (рис. 222, и), если более плотная — узел (рнс. 222, б). Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний противоположных направлений, в результате чего получается узел.
Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы колебания складываются с адннаковымн фазами — получается пучность. Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нег, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заклю- Гл а в а !9 Упругие волны 249 бу 2 Рнс. 222 ченной между узловыми точкамн, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
