Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 71
Текст из файла (страница 71)
чем колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного палей. Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями маятника (рис. 202 внизу), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника. В данном случае энергия электрического поля конденсатора (/;)'/'(2С)) аналогична потенциальной энергии упругой деформа- Г л л в а 18 Механические к шектрочагннткме коле/пшик ции (йхт/2), энергия магнитного поля ка- тушки (ЕОт/2) — кинетической энергии (тхт/2), сила тока в контуре — скорости движения маятника. Индуктивность Е играет роль массы т, а сопротивление контура — роль силы трения, действующей на маятник. Согласно закону Ома, для контура, содержащего катушку индуктивностью Е, конденсатор емкостью С и резистор сопро- тивлением /7, //т + (/С ®о где //т — напряжение на резисторе, Е/с= = О/С вЂ” напряжение иа конденсаторе, 4/ и',= — Š— — э.
д. с. самоиндукции, возш никающая в катушке при протекании в ней переменного тока (и, — единственная э. д. с, в контуре). Следовательно, Š— + /тт + -с-= О. (143.1) Разделив (143.!) иа Е и подставив /= т(/ =9 и — = О, получим дифференциальд/ нос уравнение колебаний заряда О в контуре: ч'+ — / (/+ ЕС 0=0. (143.2) // ' 1 В данном колебательном контуре внешние э. д.
с. отсутствуют, поэтому рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания (см. 4 140). Если сопротивление /!=О, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из (143.2) получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре: 1 О+ ЕС 9=0 Из выражений (!42.1) и (140.1) вытекает, что заряд О совершает гармонические колебания по закону О = Я„соз (мо/+ ~р), (143.3) где Я вЂ” амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой ыо, называемой собственной частотой контура, т,е.
(! 43.4) 8 т. и трофккова н периодом 7=2п )(ЕСС. (143.5) Формула (143.5) впервые была получена У. Томсоном и называется формулой Томсона. Сила тока в колебвчелвиом контуре (см. ('40.4) ) /=Я= — ыЯ з(п(ыо/+тр) = = /,„соз (ыо/+ <р+ и/2), (143,6) где / =ыД вЂ” амплитуда силы тока. Напряжение на конденсаторе и,= — = . (,/+ р)= С С = (/,„соз (ыо/+ ~р), (! 43.7) где 1/ = 9ы/С вЂ” амплитуда напряжения. Из выражениИ (143.3) и (143.6) вытекает, что колебания тока / опережают по фазе колебания заряда Ц на я/2, т.
е., когда ток достигает максимального значения, заряд (а также и напряжение (см. (143.7) ) обращается в нуль, и наоборот. 4 144. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить.
Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты к~=А~ соз(ыа/+ф~), хт =Аг соз (ыо/+ <рт), воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды (см. 4140). Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 203). Так как векторы А~ н Ат вращаются с одинаковой угловой скоростью мк, то разность фаз (трт — ~р1) между ними остается постоянной. Очевидно, что ураинение результирую- 226 4. Килеоииии и волны Рис.
203 (144.2) х,=А соз ыг, хи=А соз (а+Лы)г. Рис. 204 щего колебания будет х=х,+хе=А сов(ыо(+ф) (!44 1) В выражении (144.! ) амплитуда А и начальная фаза ф соответственно задаются соотношениями А =А',+А,'+2А,А,соз(~р,— ф,); А 1 з)п~р~ +Аз з)п фе А~ соз ф~+Ас соз ри Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что н складываемые нолебания.
Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаэ (фе — ф~) складываемых колебаний. Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз (фи — ф1): 1) ф,— ф, = ~2шп (лс=О, 1, 2,...), тогда А=А~+Ам т. е. амплитуда результи. рующего колебания А равна сумме ампли. туд складываемых колебаний; 2) фе — ф1= ~ (2т+1)п (гп О, 1, 2,...), тогда А=!А| — Аи), т. е, амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.
Для практики особый интерес пред. ставляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.
Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны е1 и ы+Аиь причем Лы«ы. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю: Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Лы/2((ы, найдем х=(2А соз — 1) соэ ы(. (!44.3) Лы 2 Получившееся выражение есть произведение двух колебаний.
Так как ЬысСы, то сомножитель, стоящий в скобках, почти не изменяется, когда сомножитель соз ы( со. вершит несколько полных колебаний. Поэтому результирующее колебание х можно рассматривать как гармоническое Г л л н л !8 М к нннеекне и электромагнитные колебания 227 с частотой в, амплитуда Ае которого изменяется по следующему периодическому закону; А,= !2А соь — 1!. (144.4) 2 Частота изменения Ае в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е, частота биений равна разности частот складываемых колебанийй: во = бв. Период биений То=2п//эв.
Характер зависимости (!44.3) показан иа рис. 204, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания (!44.3), а огибающие их — график медленно меняющейся по уравнению (1444) амплитуды. Определение частоты тона (звука определенной высоты (см.4 158)) биений между эталонным и измеряемым колебаниями — наиболее широко применяемый иа практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной.
Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д. Любые сложные периодические колебания ь=((1) можно представить в виде суперпозиции одновременна совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте во'. 4о ь = Г (1) = — -+ А, соь (во(+ ф,) + 2 +Аэ соь (2во(+фе)+ ... +А„соз (лво1+фк). (!44.5) Представление периодической функции в виде (144.5) связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, илн разложения Фурье о. Члены ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами во, 2во, 3вв..., называются первой (или основной), * Ж.
Фурье (1768 в !830) — французский ученый. второй. третьей и т. д. гармониками слож- ного периодического колебания. й 145. Сложение взаимно перпендикулярных к иле б ан и й Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты в, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей к и у. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю: "=А саь вг (145 !) у=В саь(в(+го). Разность фаз обоих колебаний равна ф, А и  — амплитуды складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений (145.!) параметра б Записывая складываемые колебания з виде х/А=сок вй у/В =соь (в(+ р)= =сов в( соыр — ь!п в! зйп гр и заменяя во втором уравнении соь вГ на *гл ~ ~ тг-кгА)Г, у сле несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно: хэ 2ху — — соыр+ =ь!и ф.
А' АВ В' (145.2) Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются зллиптически поляризованными. Ориентация асей эллипса и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз ф. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес: !) ~р=тп(в=О, ~1, ~2,...). В данном случае эллипс вырождается в отрезок 4. Колебания и волны н=б 22ЬЛ п~ = Х ! . и 3,. Рнс.
202 Рис. 206 ирллой ха уа — + — =!. А' В' (! 45.4) С)>мб 27/4 2)Уг 327У0 Рис. 207 у= ~(В/А)х, (!45.3) где знак плюс соответствует нулю и четным значениям ги (рис. 205, а), а знак минус — нечетным значениям ги (рис. 205, б). Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой со и амплитудой )/А +Ва, совершающимся вдоль прямой (145.3), составляющей с осью х угол р = ув =агс10 — соз нсл . В данном случае ~ А имеем дело с линейно поляризованными колебаниями. 2) сг=(2е+!) — (т=О, ~1, ~2, ...). В данном случае уравнение примет вид 229 Г л з о з 18 Механические и злехтралагпитнме кольба ~кя Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
