Числовые ряды - определения и свойства (1092165), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. . ;rn′ = vn+1 + vn+2 + . . . .Êàæäûé èç ýòèõ îñòàòêîâ ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ñõîäÿùåãîñÿ çíàêîïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà.Òàê êàê ïî óñëîâèþun+1 6 vn+1 , un+2 6 vn+2 , . . . ,òî íà îñíîâà-íèè ïåðâîãî ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ ñóììà ïåðâîãî ðÿäà íå ïðåâîñõîäèò′ñóììû âòîðîãî ðÿäà, ò. å. rn 6 rn .Åñëè äàíû äâà ñõîäÿùèõñÿ ðÿäà:u1 + u2 + u3 + · · · + un + .
. . ,(12.13)v1 + v2 + v3 + · · · + vn + . . . ,(12.14)ïðè÷¼ì ÷ëåíû ðÿäà (12.14) áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷ëåíîâ ðÿäà (12.13),òî ðÿä (12.14) íàçûâàåòñÿäó (12.13).ìàæîðèðóþùèì ðÿäîì ïî îòíîøåíèþ ê ðÿ-Èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî îñòàòîê ìàæîðèðóþùåãî ðÿäà âñåãäà áîëüøå èëè ðàâåí îñòàòêó îñíîâíîãî ðÿäà.194Ëåêöèÿ 12. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûÎáû÷íî â êà÷åñòâå ìàæîðèðóþùåãî ðÿäà áåðóò ðÿä, îñòàòîê êîòîrn′ ìîæíî ëåãêî âû÷èñëèòü (íàïðèìåð, ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ).ðîãîÒîãäà, ïî òîëüêî ÷òî äîêàçàííîé òåîðåìå, ìû ëåãêî îöåíèì îñòàòîêrnäàííîãî ðÿäà.Ïðèìåð 12.3.Îöåíèòü òðåòèé îñòàòîê ðÿäà1111+++ ··· ++ ...232·5 3·54·5(n + 1)5nÐ å ø å í è å: Êàæäûé ÷ëåí ýòîãî ðÿäà ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùåãî÷ëåíà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè1111+ 2 + 3 + ··· + n + ....5 555ñî çíàìåíàòåëåì q = 1/5.
Ñëåäîâàòåëüíî, òðåòèé îñòàòîê r3′ðÿäà ìåíüøå òðåòüåãî îñòàòêà r3 ýòîé ïðîãðåññèè:r3 < r3′ =äàííîãî11111/541+++···++···==.54 55 565n1 − 1/5500Òàêèì îáðàçîì, ñóììà äàííîãî ðÿäà îòëè÷àåòñÿ îò ñóììû åãî òð¼õ1ïåðâûõ ÷ëåíîâ ìåíüøå, ÷åì íà.500(îá îöåíêå îñòàòêà çíàêîïåðåìåííîãî ðÿäà). Ïóñòüäàí àáñîëþòíî ñõîäÿùèéñÿ çíàêîïåðåìåííûé ðÿäÒåîðåìà 12.4.u1 + u2 + u3 + · · · + un + . . . .(12.15)Òîãäà àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà åãî n-ãî îñòàòêà íå ïðåâîñõîäèò n-ãîîñòàòêà ðÿäà, ñîñòàâëåííîãî èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ÷ëåíîâ äàííîãîðÿäà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü çíàêîïåðåìåííûé ðÿä (12.15) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñõîäèòñÿ è ðÿä|u1 | + |u2 | + |u3 | + · · · + |un | + . . .Ðàññìîòðèìn-å(12.16)îñòàòêè ðÿäîâ (12.15) è (12.16):rn = un+1 + un+2 + un+3 + .
. . ; rn′ = |un+1 | + |un+2 | + |un+3 | . . . .Ïðè ëþáîìpèìååì:|un+1 + un+2 + · · · + un+p | 6 |un+1 | + |un+2 | + · · · + |un+p |.Ëåêöèÿ 12. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäû195Ïåðåõîäÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðèp → ∞,ïîëó÷èìlim |un+1 + un+2 + · · · + un+p | 6 lim |un+1 | + |un+2 | + · · · + |un+p |,p→∞èëèp→∞|rn | 6 rn′ |,÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ïðèìåð 12.4.Îöåíèòü òðåòèé îñòàòîê r3 ðÿäàsin 1 sin 2 sin 3sin n+ 2 + 3 + ··· + n + ....2222Ð å ø å í è å: Äàííûé ðÿä çíàêîïåðåìåííûé, òàê êàê, íàïðèìåð,sin 1 > 0, sin 2 > 0, sin 3 > 0, sin 4 < 0, sin 5 < 0, sin 6 < 0, sin 7 > 0, .
. . .Ðàññìîòðèì ðÿäÒàê êàê sin 1 sin 2 sin 3 sin n 2 + 22 + 23 + · · · + 2n + . . . . sin n n 6 1n , òî åãî ÷ëåíû íå ïðåâîñõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèõ22÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè1111+ 2 + 3 + ··· + n + ....2 222Ïîýòîìó äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.Îáîçíà÷èì îñòàòêè äàííîãî ðÿäà, ñîñòàâëåííîãî èç àáñîëþòíûõ′′′âåëè÷èí, è ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç r3 , r3 , r3 ,′′′ãäå |r3 | < r3 < r3 .
Òàêèì îáðàçîì, íàõîäèì îöåíêó òðåòüåãî îñòàòêàäàííîãî ðÿäà:|r3 | < r3′′ =1111/2411+++···++···== .456n22221 − 1/28Ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 12.1 (îá îöåíêå îñòàòêà çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿäà, ñõîäÿùåãîñÿ ïî ïðèçíàêó Ëåéáíèöà). Åñëè çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ ðÿä ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó Ëåéáíèöà, òî åãî îñòàòîê ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå ïðåâîñõîäèò ìîäóëÿ ïåðâîãî èç îòáðîøåííûõ÷ëåíîâ ðÿäà.Ïðèìåð 12.5.Âû÷èñëèòü ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01 ñóììó ðÿäà1111− + − · · · + (−1)n−1+ ....1! 3! 5!(2n − 1)!196Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 12.
Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûÐ å ø å í è å: Äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó Ëåéáíèöà, ïîýòîìó∆S = |S − Sn | = |rn | 6 un+1 .Òàê êàê ñóììà ðÿäà äîëæíà áûòü âû÷èñëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01, òîäîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî|rn | 6 un+1 6 0, 01,èëè16 0, 01.(2n + 1)!SÝòî íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ, íà÷èíàÿ ñ n=2.
Òàêèì îáðàçîì,≈ S2 = 1!1 − 3!1 ≈ 1 − 0, 17 = 0, 83.Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 12. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûÏðèìåð 12.1.Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü çíàêîïåðåìåííîãî ðÿäà111111 − − 2 + 3 − 4 − 5 + ··· .2 2222Ð å ø å í è å: Ñîñòàâèì ðÿä èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ÷ëåíîâ äàííîãîðÿäà1+11111+ 2 + 3 + 4 + 5 + ··· .2 2222Ïîëó÷åííûé ðÿä áåñêîíå÷íî óáûâàþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîq = 12 < 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä ñõîäèòñÿ. Ïîïðèçíàêó ñõîäèìîñòè çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ, åñëè ñõîäèòñÿ ðÿä èçãðåññèÿ ñ îñíîâàíèåììîäóëåé ÷ëåíîâ äàííîãî ðÿäà, òî ñõîäèòñÿ è ñàì çíàêîïåðåìåííûéðÿä, ïðè÷¼ì ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.Ïðèìåð 12.2.Ð å ø å í è å:Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿäà∞∑(−1)n+1.5n+6n=1Çíàêî÷åðåäóþùèåñÿ ðÿäû èññëåäóþòñÿ íà ñõîäè-ìîñòü ïî ïðèçíàêó Ëåéáíèöà, êîòîðûé äëÿ ñõîäèìîñòè ðÿäà òðåáóåòâûïîëíåíèÿ äâóõ óñëîâèé:•1)•2)lim |un | = 0n→∞|un | >lim 1 = 0,n→∞ 5n+6111|un+1 | äëÿ äàííîãî ðÿäà 11> 16> 21>äëÿ äàííîãî ðÿäà··· .Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèÿ ïðèçíàêà Ëåéáíèöà âûïîëíÿþòñÿ è ðÿä ñõîäèòñÿ.
Ñ ó÷¼òîì, òîãî,÷òî ðÿä, ñîñòàâëåííûé èç ìîäóëåé ÷ëåíîâ èñ1õîäíîãî çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿäà un =, ðàñõîäèòñÿ, çíàêî÷åðå5n+6n+1(−1)äóþùèéñÿ ðÿä un =ñõîäèòñÿ óñëîâíî.5n+6Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 12. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûÏðèìåð 12.3.Ð å ø å í è å:197Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿäà∞∑(−1)n−1 · n.10n + 9n=1Äëÿ äàííîãî ðÿäà íå âûïîëíÿåòñÿ ïåðâîå óñëîâèå1nlim |un | = 0.
Äåéñòâèòåëüíî, lim 10n+9= 10̸= 0.n→∞n→∞ïðèçíàêà ËåéáíèöàÑëåäîâàòåëüíî, ðÿä ðàñõîäèòñÿ.Ïðèìåð 12.4.Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿäà∞∑3 · 5 · 7...(2n + 1)(−1)n+1.2 · 5 · 8...(3n − 1)n=1Ð å ø å í è å: Èññëåäóåì ïî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà ðÿä, ñîñòàâëåííûéèç ìîäóëåé ÷ëåíîâ äàííîãî çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿäà.|un+1 |lim= limn→∞ |un |n→∞3·5·7...(2n+1)·(2n+3)2·5·8...(3n−1)·(3n+2)3·5·7...(2n+1)2·5·8...(3n−1)= limn→∞22n + 3= < 1.3n + 23Ïî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà ðÿä èç ìîäóëåé ñõîäèòñÿ. Çíà÷èò, ñõîäèòñÿàáñîëþòíî äàííûé çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ ðÿä.Ïðèìåð 12.5.Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü çíàêîïåðåìåííîãî ðÿäà∞∑sin nα.(ln 10)nn=1Ð å ø å í è å: Ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ n ôóíêöèÿîãðàíè÷åííàÿ| sin nα| 6 1,sin nα ôóíêöèÿïîýòîìó ÷ëåíû äàííîãî ðÿäà áóäóò ìåíü1øå ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷ëåíîâ ðÿäà vn =, êîòîðûé ñõîäèòñÿ ïî(ln 10)nïðèçíàêó Êîøè:√lim n vn = limn→∞n→∞√n111= lim=< 1.nn→∞ ln 10(ln 10)ln 10Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðèçíàêó ñõîäèìîñòè çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ ñõîäèòñÿ èññëåäóåìûé ðÿä, ïðè÷åì ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.198Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 12.
Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûÏðèìåð 12.6.Ñêîëüêî ÷ëåíîâ ðÿäà∞∑n=1(−1)n−1níåîáõîäèìî âçÿòü,÷òîáû âû÷èñëèòü åãî ñóììó ñ òî÷íîñòüþ äî 0,001?Ð å ø å í è å:Ïî ïðèçíàêó Ëåéáíèöà äàííûé çíàêî÷åðåäóþùèé-ñÿ ðÿä ñõîäèòñÿ, ïîýòîìó ïî òåîðåìå îá îöåíêå îñòàòêà ñõîäÿùåãîñÿ△S = |S − Sn | = |rn | 6 |un+1 | 6 0, 00111|un+1 | =6 0, 001 =⇒ n + 1 > 1000 ⇒ n > 999.n+11000çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿäà:Îòâåò: n=999.1−Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòàÈññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü çíàêîïåðåìåííîãî ðÿäà− 514 − 614 + · · · .Ïðèìåð 12.7.124−134+144Ïðèìåð 12.8.∞∑(−1)n+1n=1ln(n+1)n=1Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿäà.Ïðèìåð 12.9.∞∑Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿäà(−1)n+1 ·(n+1).(n3 +1)Ïðèìåð 12.10.äà∞∑n(−1)( 3n+1 )n2n+1n=1∞∑n=1((−1)n+1 1 +Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿ)1.n10Ïðèìåð 12.13.Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿ-∞∑n=1äà.1·4·7...(3n−2)(−1)n 7·9·11...(2n+5).Ïðèìåð 12.12.äàÈññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿÈññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿ-Ïðèìåð 12.11.äàèëè∞∑n=1(−1)n n2n.Ïðèìåð 12.14.Ñêîëüêî ÷ëåíîâ ðÿäà∞∑n=1n(2n+1)·5n÷òîáû âû÷èñëèòü åãî ñóììó ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01?Ïðèìåð 12.15.Îöåíèòü âòîðîé îñòàòîê r2 ðÿäàíóæíî âçÿòü,∞∑n=1cos 5n.5n +1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
