Множества - Символика и терминология (1092162)
Текст из файла
8Ëåêöèÿ 1. Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿÃËÀÂÀ IÂâåäåíèåËåêöèÿ 1. Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿÏðåäìåò ìàòåìàòèêè. Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè.Êâàíòîðû îáùíîñòè è ñóùåñòâîâàíèÿ. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèÿ. ×èñëîâûå ìíîæåñòâà. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîéëîãèêè.1.1. Ïðåäìåò ìàòåìàòèêèÌàòåìàòèêà ýòî òî÷íàÿ àáñòðàêòíàÿ íàóêà, îïåðèðóþùàÿ ñâîèìè ñïåöèàëüíûìè ïîíÿòèÿìè, ñòðóêòóðàìè è ñèìâîëàìè. Îñíîâíûìèìåòîäàìè â ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ ÿâëÿþòñÿ ñòðîãèå ëîãè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ, à îáúåêòàìè èçó÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè.Íî àáñòðàêòíîñòü ìàòåìàòèêè íå îçíà÷àåò å¼ îòðûâ îò ðåàëüíîé æèçíè. Ðåàëüíûå çàäà÷è îïèñûâàþòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêèõ òåðìèíàõ, êàêïðàâèëî, â áåçðàçìåðíîì âèäå.
Ýòî åñòü òàê íàçûâàåìàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ÿâëåíèÿ. Ïðè ðåøåíèè óæå ïîñòàâëåííîé ìàòåìàòè÷åñêîéçàäà÷è èñïîëüçóþòñÿ àáñòðàêòíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû.Îäíà è òà æå ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ìîæåò îïèñûâàòü ñâîéñòâàðàçëè÷íûõ ðåàëüíûõ ÿâëåíèé. Ñàìî ðåàëüíîå ÿâëåíèå ðàññìàòðèâàåòñÿ âíîâü ïîñëå ðåøåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷è è å¼ àíàëèçà, íà îñíîâàíèè êîòîðîãî ìîãóò áûòü ñäåëàíû âûâîäû íå òîëüêî î ñîñòîÿíèèÿâëåíèÿ, íî è î åãî ðàçâèòèè.  ýòîì ñìûñëå áåç ìàòåìàòèêè íåò íàóêè. Åù¼ âåëèêèé Ëåîíàðäî äà Âèí÷è ïèñàë: ¾Íèêàêîé äîñòîâåðíîñòèíåò â íàóêàõ òàì, ãäå íåëüçÿ ïðèìåíèòü íè îäíó èç ìàòåìàòè÷åñêèõíàóê, è â òîì, ÷òî íå èìååò ñâÿçè ñ ìàòåìàòèêîé.¿ È åù¼: ¾Íè îäíî ÷åëîâå÷åñêîå èññëåäîâàíèå íå ìîæåò íàçûâàòüñÿ èñòèííîé íàóêîé,åñëè îíî íå ïðîøëî ÷åðåç ìàòåìàòè÷åñêèå äîêàçàòåëüñòâà.¿Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû èãðàþò îãðîìíóþ ðîëü â îáðàçîâàíèè ñîâðåìåííîãî âûñîêîêâàëèôèöèðîâàííîãî ñïåöèàëèñòà â òåõíè÷åñêèõîáëàñòÿõ, ïðåäîñòàâëÿÿ åìó àïïàðàò èññëåäîâàíèÿ, äèñöèïëèíèðóÿ,ïðèó÷àÿ ê ñòðîãèì ëîãè÷åñêèì ðàññóæäåíèÿì.
Ïîñêîëüêó ÿçûê è ìåòîäû ìàòåìàòèêè øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ ïðè ñîâðåìåííîì ïðåïîäàâàíèè âñåõ åñòåñòâåííî-íàó÷íûõ è òåõíè÷åñêèõ äèñöèïëèí, ìàòåìàòèêàËåêöèÿ 1. Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿ9èçó÷àåòñÿ ñ ïåðâîãî ñåìåñòðà â ëþáîì âûñøåì òåõíè÷åñêîì ó÷åáíîìçàâåäåíèè, è íà íå¼ âûäåëÿåòñÿ çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü âðåìåíè ñòóäåíòà.Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ íåêîòîðîé ìàòåìàòè÷åñêîé ñèìâîëèêè è òåðìèíîëîãèè.1.2. Ìíîæåñòâà.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿÏîä ìíîæåñòâîì ïîíèìàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü êàêèõ-ëèáî îáúåêòîâ,íàçûâàåìûõ ýëåìåíòàìè ýòîãî ìíîæåñòâà. Íàïðèìåð, ìîæíî ãîâîðèòüî ìíîæåñòâå ñòóäåíòîâ äàííîãî âóçà, ìíîæåñòâå ó÷åáíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå, ìíîæåñòâå òðåóãîëüíèêîâ, ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåëè ò.ä. Ìíîæåñòâà, ñîäåðæàùèå êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, íàçûâàþòñÿêîíå÷íûìè (ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ, ìíîæåñòâî ó÷åáíèêîâ). Ìíîæåñòâàñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ áåñêîíå÷íûìè (ìíîæåñòâî òðåóãîëüíèêîâ, ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë).Ìíîæåñòâî îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ çàãëàâíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìèA, B , C , . . .,a, b, c, . .
..x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À¿ çàïèñûâàåòñÿ òàê : x ∈ A, à ïðîòèâîïîëîæíîå óòâåðæäåíèå ¾ýëåìåíò x íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À¿ çàïèñûâàåòñÿ òàê : x ∈/ A.à èõ ýëåìåíòû ìàëûìèÓòâåðæäåíèå ¾ýëåìåíòÎïðåäåëåíèå 1.1. Åñëè âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà À ïðèíàäëåæàò òàêæå ìíîæåñòâó Â, òî ãîâîðÿò, ÷òî ¾À ñîäåðæèòñÿ â ¿èëè: ¾À ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ¿, è çàïèñûâàþò òàê: A ⊂ B.Äâà ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè (ñîâïàäàþùèìè), åñëè îíè ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ: A = B .Îïðåäåëåíèå 1.2.Ïðèìåð 1.1. Ñôîðìóëèðóéòå ñëîâàìè óòâåðæäåíèå:A = B ⇐⇒ A ⊂ B è B ⊂ A è äîêàæèòå åãî.Êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ìîæíî çàäàòü ïåðå÷èñëåíèåì åãî ýëåìåíòîâ.Òàê, çàïèñü À = {1;2;3} îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî À ñîñòîèò èç òð¼õ÷èñåë 1,2,3.
Ïðè ýòîì ïîðÿäîê ïåðå÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ íå èãðàåò ðîëè:{1;2;3} = {3;2;1}.Áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ìîæíî çàäàòü, íàïèñàâ óñëîâèå, êîòîðîåâûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ äàííîãî ìíîæåñòâà è íå âûïîëíÿåòñÿäëÿ äðóãèõ. ÇàïèñüB = {x | 1 < x < 2}îçíà÷àåò ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë, áîëüøèõ îäíîãî, íî ìåíüøèõ äâóõ.10Ëåêöèÿ 1.
Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿÌíîæåñòâî óäîáíî ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæàòü â âèäå ¾äèàãðàììÝéëåðà¿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð íà ïëîñêîñòè, âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êîòîðûõ îòðàæàåò îòíîøåíèå ìåæäó ìíîæåñòâàìè. Òàê, íàïðèìåð, åñëè÷àñòüþCA ⊂ BèB ⊂ C,òîAèçîáðàæàåòñÿ ÷àñòüþB,àB(ðèñ. 1). Ñ ïîìîùüþ äèàãðàììû Ýéëåðà íà ðèñ. 1 íàãëÿä-íî âèäíî ñâîéñòâî òðàíçèòèâíîñòè îïåðàöèè âêëþ÷åíèÿ ìíîæåñòâ:A ⊂ B ⊂ C =⇒ A ⊂ C.CABÐèñ. 1.Äèàãðàììà ÝéëåðàÌíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ïóñòûì, åñëè îíîíå ñîäåðæèò íè îäíîãî ýëåìåíòà.
Ïóñòîå ìíîæåñòâî îáîçíà÷àåòñÿñèìâîëîì ⊘.Îïðåäåëåíèå 1.3.Òàê, íàïðèìåð, ìíîæåñòâî îòðèöàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ïóñòî.1.3. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìèÏåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ À è  íàçûâàåòñÿìíîæåñòâî Ñ, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýëåìåíòîâ, îäíîâðåìåííî âõîäÿùèõ è â À, è â Â. Ýòî çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: A ∩ B = C .Îïðåäåëåíèå 1.4.Èëëþñòðàöèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ìíîæåñòâ ñ ïîìîùüþ äèàãðàììÝéëåðà ïðèâåäåíà íà ðèñ. 2, ãäå ìíîæåñòâî Ñ çàøòðèõîâàíî.Ïðèìåð 1.2. Åñëè ìíîæåñòâî A åñòü èíòåðâàë (1;5) à ìíîæåñòâî B åñòü èíòåðâàë (2;7), òî ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ A è B åñòüèíòåðâàë (2;5).Ñâîéñòâà îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâ:1.A∩B =B∩A(êîììóòàòèâíîñòü).Ëåêöèÿ 1.
Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿ111100000000111100001111000000001111A 1111000011110000111100001111Ðèñ. 2.2.3.4.5.11BÏåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ A è BA ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ CA ⊂ B =⇒ A ∩ B = A.A ∩ A = A.A∩⊘=⊘(àññîöèàòèâíîñòü).Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ è íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî , ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýëåìåíòîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò õîòÿ áû îäíîìó èç äàííûõ ìíîæåñòâ èëè À, èëè Â, èëè À è îäíîâðåìåííî.
Ýòî îáîçíà÷àåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: A ∪ B = C .Îïðåäåëåíèå 1.5.11111000000000001111110000011111000000111111000001111100000011111100000111110000001111110000011111000000111111000001111100000011111100000111110000001111110000011111000000111111000001111100000011111100000111110000001111110000011111000000111111AÐèñ. 3.BÎáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ A è BÈëëþñòðàöèÿ îáúåäèíåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì äèàãðàìì Ýéëåðà ïðèâåäåíà íà ðèñ. 3, ãäå ìíîæåñòâîCçàøòðèõîâàíî.Åñëè ìíîæåñòâî A åñòü îòðåçîê [1; 3], ìíîæåñòâîB åñòü îòðåçîê [2; 5], òî A ∪ B åñòü îòðåçîê B = [1; 5].Ïðèìåð 1.3.Ñâîéñòâà îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâ:1)2)3)4)5)6)A ∪ B = B ∪ A (êîììóòàòèâíîñòü).A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ B ∪ C (àññîöèàòèâíîñòü).A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (äèñòðèáóòèâíîñòü).A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B.A ∪ A = A.A ∪ ⊘ = A.12Ëåêöèÿ 1.
Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿÎïðåäåëåíèå 1.6. Ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî C, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó A, íî íå ïðèíàäëåæàùèõ B. Ðàçíîñòü A è B îáîçíà÷àåòñÿ A\Bè èçîáðàæåíà øòðèõîâêîé íà ðèñ. 4.111111100000000000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111AÐèñ. 4.BÐàçíîñòü ìíîæåñòâ A è BÎïåðàöèÿ âû÷èòàíèÿ ìíîæåñòâ íå êîììóòàòèâíà :Ïðèìåð 1.4.= [10; 20).A \ B ̸= B \ A.Åñëè A = (1; 10), B = (3; 20), òî A\B = (1; 3], B\A=1.4.
Êâàíòîðû îáùíîñòè è ñóùåñòâîâàíèÿÏðè èçëîæåíèè ìàòåðèàëà ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü çíàêâàåìûé êâàíòîðîì îáùíîñòè, è çíàê∀x∃,∀,íàçû-íàçûâàåìûé êâàíòîðîì ñóùå-x¿, ¾äëÿ âñåõ x¿, ¾äëÿêàæäîãî x¿, ¾êàêîå áû íè áûëî x¿. Çàïèñü ∀x > 0 îçíà÷àåò: ¾äëÿ âñåõïîëîæèòåëüíûõ x¿. Çàïèñü ∀x ∈ M ÷èòàåòñÿ: ¾äëÿ âñåõ x, ïðèíàäëåñòâîâàíèÿ. Ñèìâîëæàùèõ ìíîæåñòâó Ì¿.îçíà÷àåò:¾äëÿ ëþáîãî∃x îçíà÷àåò: ¾ñóùåñòâóåò òàêîå õ, ÷òî . .
.¿, ¾ïî êðàéíåé ìåðå äëÿ îäíîãî x...¿, çàïèñü ∃x > 0 ÷èòàåòñÿ: ¾ñóùåñòâóåò òàêîåïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî x, ÷òî...¿, çàïèñü ∃x1 , x2 ∈ M îçíà÷àåò: ¾ñóùåñòâóþò òàêèå x1 , x2 ýëåìåíòû ìíîæåñòâà Ì, ÷òî . . .¿.Íàì òàêæå íåîäíîêðàòíî ïðèäåòñÿ èñïîëüçîâàòü ñèìâîëû ⇒ è ⇔.Çàïèñü ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ A =⇒ B îçíà÷àåò, ÷òî åñëè âåðíîóòâåðæäåíèå A, òî âåðíî è óòâåðæäåíèå B , òî-åñòü, èç A ñëåäóåò B .Çàïèñü ëîãè÷åñêîé ðàâíîñèëüíîñòè ⇐⇒ îçíà÷àåò, ÷òî èç A ñëåäóåòB è íàîáîðîò, èç B ñëåäóåò A.Òàê, íàïðèìåð, çàïèñü: ∀ε > 0 ∃N ∀x > N =⇒ |f (x) − b| < ε÷èòàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ¾äëÿ ëþáîãî ε áîëüøå 0 ñóùåñòâóåò Nòàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ x, áîëüøèõ N, áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî|f (x) − b| < ε¿.Îáîçíà÷åíèåËåêöèÿ 1.
Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿ131.5. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèåËþáàÿ òåîðåìà ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà â âèäå: åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèåA,òî âåðíî óòâåðæäåíèåB.Áóäåì íàçûâàòü ýòî ïðÿìîéòåîðåìîé è ñõåìàòè÷åñêè çàïèøåì â âèäå:Òåîðåìà 1.1.A =⇒ B.ÓñëîâèåAñòîèò ïîñëå ñëîâà ¾åñëè¿, óòâåðæäåíèåBíàïèñàíî ïî-ñëå ñëîâà ¾òî¿.Îïðåäåëåíèå 1.7. A íàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ âûïîëíåíèÿ B .  ñâîþ î÷åðåäü, B ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì äëÿâûïîëíåíèÿ A.Äëÿ ëó÷øåãî óñâîåíèÿ ââåä¼ííûõ ïîíÿòèé ðàññìîòðèì î÷åâèäíîñïðàâåäëèâîåóòâåðæäåíèå íå èç îáëàñòè ìàòåìàòèêè.Òåîðåìà 1.2.Åñëè ÷åëîâåê çäîðîâ, òî ó íåãî åñòü ãîëîâà.Çäåñü çäîðîâüå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì íàëè÷èÿ ó ÷åëîâåêà ãîëîâû.
Íàîáîðîò, íàëè÷èå ãîëîâû ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì çäîðîâüÿ. Ïîäóìàéòå, áóäåò ëè ýòî óñëîâèå äîñòàòî÷íûì äëÿ òîãî,÷òîáû ÷åëîâåê áûë çäîðîâ? Ðåàëüíî ëè âîîáùå ñôîðìóëèðîâàòü äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî ÷åëîâåê çäîðîâ?Îáîçíà÷èìĀóòâåðæäåíèå, çàêëþ÷àþùååñÿ â îòðèöàíèè óòâåð-æäåíèÿ À(÷èòàåòñÿ ¾íå À¿). Åñëè ñïðàâåäëèâà ïðÿìàÿ òåîðåìà 1.1,òî ìåòîäîì ¾îò ïðîòèâíîãî¿ ëåãêî ìîæíî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòüñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ¾ïðîòèâîïîëîæíàÿ êîáðàòíîé òåîðåìà¿:Òåîðåìà 1.3.B̄ =⇒ Ā.A =⇒ B, íóæíî äîêàçàòü, ÷òî B̄ =⇒ ĀÏðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: B̄ =⇒ A, íî â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 1.1A =⇒ B . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå (B̄ =⇒ B) äîêàçûâàåò òåîðåìó.Äîêàçàòåëüñòâî ÈìååìÀíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñïðàâåäëèâà òåîðåìà 1.3, òîâåðíà òåîðåìà 1.1, ò.å. ýòè óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû.Äëÿ òåîðåìû 1.2 ïðîòèâîïîëîæíûì ê îáðàòíîìó áóäåò óòâåðæäåíèå: ¾Åñëè ó ÷åëîâåêà íåò ãîëîâû, òî îí íå çäîðîâ¿.Ïðîâåäèòå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ìåòîäîì ¾îò ïðîòèâíîãî¿.14Ëåêöèÿ 1.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
