Дискретные случайные величины (1092156)
Текст из файла
Ëåêöèÿ 90. Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÇàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. Äèñïåðñèÿ90.1. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿÊðîìå ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé è âåðîÿòíîñòåé èõ ïîÿâëåíèÿ, â òåîðèèâåðîÿòíîñòåé íàñ îáû÷íî èíòåðåñóþò íåêîòîðûå âåëè÷èíû, ñâÿçàííûåñî ñëó÷àéíûìè ñîáûòèÿìè è íàçûâàåìûå ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.Òàê, â àçàðòíûõ èãðàõ, êðîìå âåðîÿòíîñòåé âûèãðûøà, îáû÷íî èíòåðåñóþòñÿ ðàçìåðîì âûèãðûøà.Ïîëíîñòüþ êîððåêòíîå ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè îïðåäåëåíèåñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðèâåäåíî â ïðèëîæåíèè 6. Çäåñü ìû ââåäåìîïðåäåëåíèå, äîñòàòî÷íîå äëÿ ðåøåíèÿ áîëüøèíñòâà ïðèêëàäíûõ çàäà÷.Îïðåäåëåíèå 90.1. Ñëó÷àéíîé íàçûâàþò âåëè÷èíó, êîòîðàÿ âðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ïðèíèìàåò òî èëè èíîå çíà÷åíèå â çàâèñèìîñòè îò èñõîäà èñïûòàíèÿ.Ïðèìåð 90.1. ×èñëî ðîäèâøèõñÿ äåâî÷åê ñðåäè 10 ìëàäåíöåâ åñòüñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðèíèìàþùåå çíà÷åíèÿ 0, 1, 2, .
. . , 10.Èçìåðåííàÿ âåëè÷èíà ðîñòà ÷åëîâåêà åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîãî (a; b). Íàïðèìåð, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî, èçìåðåííàÿ â ìåòðàõ, ýòà âåëè÷èíà íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå (0,3; 3).Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû áóäåì èçîáðàæàòü ãðå÷åñêèìè áóêâàìè: ξ(êñè), ζ (äçåòà), η (ýòà), θ (òåòà) è ò.ä., à èõ âîçìîæíûå çíà÷åíèÿñòðî÷íûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè: x, y , z è ò.ä.12Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÎïðåäåëåíèå 90.2. Äèñêðåòíîé íàçûâàþò ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó,êîòîðàÿ ïðèíèìàåò îòäåëüíûå çíà÷åíèÿ èç êîíå÷íîãî èëè áåñêîíå÷íîãî ñ÷¼òíîãî ìíîæåñòâà.Ò.å. âñå ýòè çíà÷åíèÿ ìîæíî ¾ïåðåñ÷èòàòü¿ ïîñòàâèòü èì â ñîîòâåòñòâèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Òàê, â ïðèìåðå 90.1 ÷èñëî ðîäèâøèõñÿäåâî÷åê äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, à èçìåðåííûé ðîñò íå ÿâëÿåòñÿ òàêîâîé.Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìçàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ òàáëèöåé, â êîòîðîé ïåðå÷èñëåíû âñå çíà÷åíèÿ, ïðèíèìàåìûå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé è ñîîòâåòñòâóþùèå èì âåðîÿòíîñòè (ñì.
òàáë. 90.1.)Òàáëèöà 90.1Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿξ x1 x2 . . .xnp p1 p2 . . .pn òàáëèöå 90.1 äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , ïðèíèìàþùåé n çíà÷åíèé x1 , . . . , xn , ïåðå÷èñëåíû âåðîÿòíîñòè pi = P {ξ = xi }.Ïîñêîëüêó â äàííîì èñïûòàíèè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ îáÿçàòåëüíîïðèíèìàåò îäíî èç ñâîèõ n çíà÷åíèé, ñîáûòèÿ ξ = x1 , ξ = x2 , . . . , ξ = xnîáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé. Ïðèìåíÿÿòåîðåìó ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ïîëó÷àåì, ÷òî ñóììà èõ âåðîÿòíîñòåéðàâíà âåðîÿòíîñòè äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ, ò.å. 1:p1 + .
. . + pn = 1.Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû3Ïðèìåð 90.2. Ïðè áðîñàíèè ìîíåòû èãðîê ïîëó÷àåò 1$ ïðè âûïàäåíèè îðëà è ïëàòèò 1$ ïðè âûïàäåíèè ðåøêè. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàξ , ðàâíàÿ âûèãðûøó â îäíîé èãðå, çàäà¼òñÿ çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ:ξ 1 −1p 0,5 0,5Ïðèìåðíèÿ:90.3. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà çàêîíîì ðàñïðåäåëå-ξ 1 2 5 10p 0,10,3 0,2Íàéòè îòñóòñòâóþùóþ âåðîÿòíîñòü.Ð å ø å í è å: Èç óñëîâèÿ 0,1+p2 +0,3+0,2 = 1 îïðåäåëÿåì: p2 = 0,4.Îòâåò: p2 = 0,4.4Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÈíîãäà óäîáíî èçîáðàçèòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàôè÷åñêè: ïîîñè àáñöèññ îòëîæèòü çíà÷åíèå xi , à ïî îñè îðäèíàò ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè pi .
Ïîëó÷åííûå òî÷êè ñîåäèíÿþò îòðåçêàìè ïðÿìûõ.Ïîëó÷èâøèéñÿ ãðàôèê íàçûâàåòñÿ ìíîãîóãîëüíèêîì âåðîÿòíîñòåé.Íà ðèñ. 1 èçîáðàæ¼í ìíîãîóãîëüíèê âåðîÿòíîñòåé äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èç ïðèìåðà 90.3.Pi0,40,30,20,112Ðèñ. 1.5Ìíîãîóãîëüíèê âåðîÿòíîñòåé10xiËåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû5Êðîìå îäíîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èçó÷àþò òàêæå äâóìåðíûå, òð¼õìåðíûå è ìíîãîìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.Ðàññìîòðèì òî÷êó íà ïëîñêîñòè ñî ñëó÷àéíûìè êîîðäèíàòàìè (ξ; ζ).Âíà÷àëå ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà îáå ñîñòàâëÿþùèå äèñêðåòíûåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ò.å. ìíîæåñòâî èõ çíà÷åíèé êîíå÷íî èëè ñ÷¼òíî.90.3.
Çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ ïåðå÷åíü âîçìîæíûõ çíà÷åíèéýòîé âåëè÷èíû, ò.å. ïàð ÷èñåë (xi ; yj ), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, èèõ âåðîÿòíîñòåé pij = P {ξ = xi ; ζ = yi }.ÎïðåäåëåíèåÇàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàþò â âèäåêîòîðîé óêàçûâàþò âñå çíà÷åíèÿ xi , yi ,ζ è èõ âåðîÿòíîñòè pij .ζy1 . . . yjξ\x1 p11 . . . p1j............òàáëèöû ñ äâîéíûì âõîäîì, âêîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü ξ è.........ymp1m...pi1 . . . pij .
. . pim...............xn pn1 . . . pnj . . . pnmÒàê êàê ñîáûòèÿ {ξ = xi , ζ = yi }, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , mïîïàðíî íåñîâìåñòíû è â ñóììå äàþò äîñòîâåðíîå ñîáûòèå, ñóììà âñåõâåðîÿòíîñòåé ðàâíà 1.Çíàÿ äâóìåðíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, ìîæíî íàéòè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé (íî íå íàîáîðîò). Íàïðèìåð, äëÿξ èìååì:xi...P {ξ = xi } = P {ξ = xi , ζ = y1 } + P {ξ = xi , ζ = y2 } + . .
.m∑pij = pi· .. . . + P {ξ = xi , ζ = ym } =(90.1)j=1Àíàëîãè÷íî äëÿ ζ ïîëó÷èìP {ζ = yi } =n∑pij = p·j .(90.2)i=1Èòàê, ñëîæèâ âåðîÿòíîñòè ïî ñòðîêàì è çàïèñàâ èõ â ïîñëåäíèéñòîëáåö, ìû ïîëó÷èì ðàñïðåäåëåíèå ñîñòàâëÿþùåé ξ . Ñëîæèâ âåðîÿòíîñòè ïî ñòîëáöàì è çàïèñàâ èõ â ïîñëåäíþþ ñòðî÷êó, ìû ïîëó÷èìðàñïðåäåëåíèå ñîñòàâëÿþùåé ζ .6Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû90.2. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåÇàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò äèñêðåòíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó.
Îäíàêî èíîãäà óäîáíåå õàðàêòåðèçîâàòü å¼ ñ ïîìîùüþíåñêîëüêèõ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåòîäíî èç ñâîéñòâ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îäíîé èç òàêèõ ÷èñëîâûõõàðàêòåðèñòèê ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.Îïðåäåëåíèå 90.4. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì M (ξ) äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ñóììà ïðîèçâåäåíèé âñåõ å¼çíà÷åíèé íà ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè:M (ξ) = x1 p1 + x2 p2 + .
. . + xn pn .(90.3)90.1. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ýòî âïîëíå îïðåäåë¼ííîå ÷èñëî.Çàìå÷àíèå90.2. Åñëè y = f (x) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî äëÿäèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , ζ = f (ξ) òàêæå áóäåò ñëó÷àéíîéâåëè÷èíîé è å¼ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:Çàìå÷àíèåM (f (ξ)) = f (x1 ) · p1 + · · · + f (xn ) · pn .Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû7Ïðèìåð 90.4. Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èç ïðèìåðà 90.3 íàéòèìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.Ð å ø å í è å: M (ξ) = 1 · 0,1 + 2 · 0,4 + 5 · 0,3 + 10 · 0,2 = 4,4.Îòâåò: M (ξ) = 4,4.Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòíîãî ñìûñëà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð.90.5.
Èç 10 îöåíîê äàííîãî ñòóäåíòà 7 òðîåê, 2 ÷åòâ¼ðêè è 1 ïÿòåðêà. Êàêîâà ñðåäíÿÿ îöåíêà äàííîãî ñòóäåíòà?ÏðèìåðÐ å ø å í è å: Ïðîñòûå âû÷èñëåíèÿ äàþò ðåçóëüòàò:7·3+2·4+1·5= 3,4.10Çàïèñàâ ýòè âû÷èñëåíèÿ â âèäå7213,4 = 3 ·+4·+5· ,101010ïîëó÷èì, ÷òî ñðåäíÿÿ îöåíêà ðàâíà ñóììå ïðîèçâåäåíèé îöåíîê íà èõîòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó.
Êàê îòìå÷àëîñü, ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà èñïûòàíèé îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ñòàáèëèçèðóåòñÿ âîêðóã âåðîÿòíîñòè.Èç ñêàçàííîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ñóììà ïðîèçâåäåíèé çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íà èõ ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè ðàâíàñðåäíåìó çíà÷åíèþ ýòîé âåëè÷èíû.  ýòîì çàêëþ÷àåòñÿ âåðîÿòíîñòíûé ñìûñë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ: ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåðàâíî ñðåäíåìó çíà÷åíèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.8Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÇàìå÷àíèå 90.3. Ïðîèñõîæäåíèå òåðìèíà ¾ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå¿ îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî íà ðàííåì ýòàïå òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé â îñíîâíîì çàíèìàëàñü àçàðòíûìè èãðàìè è èãðîêà èíòåðåñîâàë ñðåäíèé îæèäàåìûé âûèãðûø.Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.1.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êîíñòàíòû ðàâíî êîíñòàíòå:M (C) = C.Òàê êàê êîíñòàíòà çàäà¼òñÿ ñëåäóþùèì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ:Äîêàçàòåëüñòâî.ξ Cp 1,å¼ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå î÷åâèäíî ðàâíîM (C) = C · 1 = C.Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû92. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü âûíîñèòñÿ çà çíàê ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ:M (C · ξ) = C · M (ξ).Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ òàáëèöåé 90.1, òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàCξ , î÷åâèäíî, çàäà¼òñÿ ñëåäóþùåé òàáëèöåé:Äîêàçàòåëüñòâî.Cξ Cx1 Cx2 . . .
Cxnpp1p2 . . . pnè å¼ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî:M (Cξ) = Cx1 p1 +Cx2 p2 + . . .+Cxn pn = C(x1 p1 + . . .+xn pn ) = CM (ξ).10Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû3. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóììû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíî ñóììå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ýòèõ âåëè÷èí:M (ξ + ζ) = M (ξ) + M (ζ).90.4.
Êàê ñëåäóåò èç ñâîéñòâ 1 è 3,M (ξ + C) = M (ξ) + C.Çàìå÷àíèå90.5. Ñâîéñòâà 2 è 3 ïîçâîëÿþò äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , . . . , ξn è ÷èñåë C1 , . . . , Cn íàïèñàòü:Çàìå÷àíèåM (C1 ξ1 + . . . + Cn ξn ) = C1 M (ξ1 ) + . . . + Cn M (ξn ). ÷àñòíîñòè: M (ξ − ζ) = M (ξ) − M (ζ).Äëÿ òîãî, ÷òîáû èìåòü âîçìîæíîñòü ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùååñâîéñòâî, äàäèì îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìûõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû11Îïðåäåëåíèå 90.5. Äâå äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è ζíàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè âåðîÿòíîñòè pij â çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ äâóìåðíîé äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ; ζ) ðàâíû ïðîèçâåäåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðîÿòíîñòåé îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñîñòàâëÿþùèõ:pij = pi· · p·j .Êàê áóäåò ïîêàçàíî â ëåêöèè 94 (çàìå÷àíèå 94.1) ýòî îçíà÷àåò, ÷òîäëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé èçíèõ íå çàâèñèò îò çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ äðóãîé.Åñëè, íàïðèìåð, äâå íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è ζ èìåþòçàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ, îïðåäåëÿåìûå òàáëèöàìè 90.2 è 90.3, òî èõïðîèçâåäåíèå áóäåò èìåòü ðàñïðåäåëåíèå, çàäàâàåìîå òàáëèöåé 90.4.Òàáëèöà 90.2ξx1x2pp1p2Òàáëèöà 90.3ζy1y2pg1g2Òàáëèöà 90.4ξ · ζ x1 y1 x1 y2 x2 y1 x2 y2p p1 g1 p1 g2 p2 g1 p2 g2Äåéñòâèòåëüíî, â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 90.5, íàïðèìåð, äëÿïåðâîé âåðîÿòíîñòè èç òàáëèöû 90.4 èìååì:P {ξ · ζ = x1 y1 } = P {ξ = x1 , ζ = y1 } = P {ξ = x1 } · P {ζ = y1 } = p1 g1 .12Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÒåïåðü ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ïîñëåäíåå ñâîéñòâî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ:4.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé:M (ξ · ζ) = M (ξ) · M (ζ).Äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, çàäàâàåìûõ òàáëèöàìè 90.2, 90.3, 90.4, ñòóäåíòàì ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîâåñòèñàìîñòîÿòåëüíî.Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ äâóìåðíûõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ n-ìåðíîé äèñêðåòíîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû çàäàþò â âèäå òàáëèöû ñ n âõîäàìè, â êîòîðîéóêàçûâàþò çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé pi1 ,i2 ,··· ,in òîãî, ÷òî n-ìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ1 , ξ2 , · · · , ξn ) ïðèíÿë çíà÷åíèå (xi1 , xi2 , · · · , xin ), ãäåêàæäàÿ êîìïîíåíòà ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèå èç êîíå÷íîãî èëè ñ÷¼òíîãî ìíîæåñòâà.Çíàÿ n-ìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå pi1 ,i2 ,··· ,in ìîæíî ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé pi1 , pi2 , · · · , pin (îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ,íåâåðíî).Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû13Îïðåäåëåíèå 90.6. Íåçàâèñèìûìè íàçûâàþòñÿ n äèñêðåòíûõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, åñëè âåðîÿòíîñòè pi1 ,i2 ,··· ,in ðàâíû ïðîèçâåäåíèþñîîòâåòñòâóþùèõ âåðîÿòíîñòåé îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñîñòàâëÿþùèõ:pi1 ,i2 ,··· ,in = pi1 · pi2 · .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
