Числовые ряды - определения и свойства (1092165)
Текст из файла
Ëåêöèÿ 10. ×èñëîâûå ðÿäû. Îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà165Ëåêöèÿ 10. ×èñëîâûå ðÿäû.Îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâàÎñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ, ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà ÷èñëîâûõ ðÿäîâ,íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ðÿäà.10.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿÎïðåäåëåíèå 10.1. ×èñëîâûì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ ñóììà ÷ëåíîâáåñêîíå÷íîé ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:∞∑u1 + u2 + u3 + · · · + un + . .
. =un .(10.1)n=1×èñëàu 1 , u2 , u3 , . . . , u n , . . .íàçûâàþòñÿ ÷ëåíàìè ðÿäà. Ðÿä ñ÷èòà-åòñÿ çàäàííûì, åñëè èçâåñòåí îáùèé ÷ëåí ðÿäàíîìåðàunêàê ôóíêöèÿ åãîn: un = f (n).Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ðÿäîâ:11)+ 12 + 13 + · · · + n1 + . . . ,1n−12) 2 + 6 + 18 + · · · + 2 · 3+ ...,n−13) 1 − 1 + 1 − 1 + · · · + (−1)+ ...,πππ4) cos+ cos 2 + cos 3 + · · · + cos πn +1...,unununun= n1 ;= 2 · 3n−1 ;= (−1)n−1 ;= cos πn .Ñóììà Sn ïåðâûõ n ÷ëåíîâ ðÿäà íàçûâàåòñÿn-é ÷àñòè÷íîé ñóììîé ðÿäà:Îïðåäåëåíèå 10.2.Sn = u1 + u2 + u3 + · · · + un =n∑uk .(10.2)k=1Èíîãäà, èññëåäóÿ ÷àñòè÷íóþ ñóììó ðÿäà, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä îõàðàêòåðå ïîâåäåíèÿ ñàìîãî ðÿäà.Ïðèìåð 10.1.Èññëåäîâàòü ÷àñòè÷íóþ ñóììó ðÿäà:1111+++ ··· ++ ....1·2 2·3 3·4n(n + 1)Ð å ø å í è å:Ñîñòàâèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóììSnýòîãî ðÿäà.
Äëÿ ýòîãî ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî îáùèé ÷ëåí ðÿäàìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:111= −.n(n + 1)n n+1166Ëåêöèÿ 10. ×èñëîâûå ðÿäû. Îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâàÏîýòîìó111= =1− ;1·222111 1 1 11S2 =+= − + − =1− ;1·2 2·31 2 2 331111 1 1 1 1 11++= − + − + − =1− .S3 =1·2 2·3 3·41 2 2 3 3 44S1 =Ïîäîáíûì æå îáðàçîì íàéäåì, ÷òî11111+++ ··· ++=1·2 2·3 3·4(n − 1)n n(n + 1)1 1 1 1 1 111111= − + − + − + ··· +− + −=1−.1 2 2 3 3 4n−1 n n n+1n+1Sn =Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì ýòîãî ðÿäà ðàâåí åäèíèöå:(lim Sn = lim 1 −n→∞Ïðèìåð 10.2.n→∞1n+1)= 1 − limn→∞1= 1.n+1Èññëåäîâàòü ÷àñòè÷íóþ ñóììó ðÿäà:2 + 6 + 18 + · · · + 2 · 3n−1 + . .
. .Ð å ø å í è å:Íàéäåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì:S1 = 2, S2 = 2 + 6 = 8,S3 = 2 + 6 + 18 = 26, . . . ,Sn = 2 + 6 + 18 + · · · + 2 · 3n−1 .Ýòè ÷àñòè÷íûå ñóììû ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:S1 = 2 = 3 − 1, S2 = 8 = 32 − 1, S3 = 26 = 33 − 1, . . . , Sn = 3n − 1.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîlim Sn = lim (3n − 1) = ∞.n→∞n→∞Ëåêöèÿ 10.
×èñëîâûå ðÿäû. Îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà167Èññëåäîâàòü ÷àñòè÷íóþ ñóììó ðÿäà:Ïðèìåð 10.3.1 − 1 + 1 − 1 + · · · + (−1)n−1 + . . . .Ð å ø å í è å:Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì èìååò âèäS1 = 1, S2 = 0, S3 = 1, S4 = 0, . . . . ýòîì ïðèìåðå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì íå ñòðåìèòñÿ íèê êàêîìó ïðåäåëó.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ íåêîòîðûõ ðÿäîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ñòðåìèòñÿ ê îïðåäåë¼ííîìó ïðåäåëó, äëÿ äðóãèõ æå ðÿäîâòàêîé ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò.Ðÿä íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë S ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì Snïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèè íîìåðà n, ò.å.Îïðåäåëåíèå 10.3.lim Sn = S.(10.3)n→∞Ïðåäåë S ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóììñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà íàçûâàåòñÿ ñóììîé ðÿäà.Îïðåäåëåíèå 10.4.ÅñëèS ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà u1 +u2 +u3 +· · ·+un +.
. . ,òî ïèøóò:S = u1 + u2 + u3 + · · · + un + . . . =∞∑un .(10.4)n=1Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà íå èìååò ïðåäåëà,òî ðÿä íàçûâàåòñÿ ðàñõîäÿùèìñÿ. Ðàñõîäÿùèéñÿ ðÿä ñóììû íå èìååò.Îäíèì èç ïðîñòåéøèõ, íî î÷åíü ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ ðÿäîâ ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ (ëåêöèÿ 6):b1 + b1 q + b1 q 2 + · · · + b1 q n−1 + . . . ;b1íàçûâàåòñÿ ïåðâûì ÷ëåíîì ïðîãðåññèè, à ìíîæèòåëü(10.5)q çíàìåíà-òåëåì ïðîãðåññèè.Ñóììànïåðâûõ ÷ëåíîâ (n-ÿ ÷àñòè÷íàÿ ñóììà) ïðîãðåññèè, êàêq ̸= 1 ïî ôîðìóëåb1 − b1 q nSn =.1−qnÅñëè |q| < 1, òî q → 0 ïðè n → ∞ èb1b1 q nb1b1 − b1 q n= lim− lim=.lim Sn = limn→∞n→∞n→∞n→∞1−q1−q1−q1−qèçâåñòíî, ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïðè1)168Ëåêöèÿ 10. ×èñëîâûå ðÿäû.
Îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâàÒàêèì îáðàçîì, ïðè |q| < 1 ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ÿâëÿåòñÿbñõîäÿùèìñÿ ðÿäîì, ñóììà êîòîðîãî S = 1 .1−qn2) Åñëè |q| > 1, òî q → ∞ ïðè n → ∞ èb1 − b1 q n= ∞.n→∞1−qlim Sn = limn→∞Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ðÿä ðàñõîäèòñÿ.3) Åñëèq = 1,òî ðÿä (10.5) ïðèíèìàåò âèäb1 + b1 + b1 + · · · + b1 + . . . .Äëÿ íåãîSn = nb14) Åñëèq=è ïðèb1 ̸= 0 lim Sn = ∞,ò.å.
ðÿä ðàñõîäèòñÿ.n→∞−1, òî ðÿä (10.5) ïðèíèìàåò âèäb1 − b1 + b1 − b1 + . . . .Sn = 0 ïðè n ÷¼òíîì è Sn = b1 ïðè n íå÷¼òíîì. Ñëåïðè b1 ̸= 0 lim Sn íå ñóùåñòâóåò è ðÿä ðàñõîäèòñÿ. Èòàê, ýòîì ñëó÷àåäîâàòåëüíî,n→∞ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ ðÿäîì ïðèðàñõîäÿùèìñÿ ïðè|q| > 1.|q| < 1è10.2. Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà ÷èñëîâûõ ðÿäîâÐàññìîòðèì íåñêîëüêî ñâîéñòâ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ, êîòîðûå íàì ïîíàäîáÿòñÿ â äàëüíåéøåì.Òåîðåìà 10.1.Åñëè ðÿäu1 + u2 + u3 + · · · + un + .
. .(10.6)ñõîäèòñÿ è èìååò ñóììó S , òî ðÿäau1 + au2 + au3 + · · · + aun + . . . ,(10.7)ãäå a çàäàííîå ÷èñëî, òàêæå ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà ðàâíà aS .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòüσnåñòün-ÿSnåñòün-ÿ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ðÿäà (10.6), à÷àñòè÷íàÿ ñóììà ðÿäà (10.7). Òîãäàσn = au1 + au2 + au3 + · · · + aun = a(u1 + u2 + u3 + · · · + un ) = aSn .Îòñþäàlim σn = lim aSn = a lim Sn = aS.n→∞n→∞n→∞Òàêèì îáðàçîì, ðÿä (10.7) ñõîäèòñÿ è èìååò ñóììóaS .Ëåêöèÿ 10.
×èñëîâûå ðÿäû. Îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâàÒåîðåìà 10.2.169Åñëè ðÿäûu1 + u2 + u3 + · · · + un + . . . ,(10.8)v1 + v2 + v3 + · · · + vn + . . .ñõîäÿòñÿ è èìåþò ñîîòâåòñòâåííî ñóììó S è S̄ , òî ðÿä(u1 + v1 ) + (u2 + v2 ) + (u3 + v3 ) + · · · + (un + vn ) + . . . ,(10.9)(10.10)ïîëó÷àþùèéñÿ ïî÷ëåííûì ñëîæåíèåì äàííûõ ðÿäîâ, òàêæå ñõîäèòñÿ è èìååò ñóììó S + S̄ .Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èìn-å÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäîâ (10.8),(10.9) è (10.10) ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåçSn , S̄nèσn .Èìååì:σn = (u1 + v1 ) + (u2 + v2 ) + (u3 + v3 ) + · · · + (un + vn ) = Sn + S̄n .Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó, ïîëó÷àåìlim σn = lim (Sn + S̄n ) = lim Sn + lim S̄n = S + S̄.n→∞n→∞n→∞n→∞Èòàê, ðÿä (10.10) ñõîäèòñÿ.
Ðÿä (10.10) íàçûâàåòñÿ ñóììîé ðÿäîâ (10.8)è (10.9).ðÿäÇàìå÷àíèå 10.1.Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ñõîäèòñÿ(u1 − v1 ) + (u2 − v2 ) + (u3 − v3 ) + · · · + (un − vn ) + . . .(10.11)è åãî ñóììà ðàâíà S − S̄ . Ðÿä (10.11) íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ ðÿäîâ(10.8) è (10.9).Ðàññìîòðèì äâà ðÿäàu1 + u2 + u3 + · · · + uk−1 + uk + uk+1 + · · · + un−1 + un + . . .(10.12)èuk+1 + · · · + un−1 + un + . .
. .(10.13)Òåîðåìà 10.3. Åñëè ñõîäèòñÿ äàííûé ðÿä (10.12), òî ñõîäèòñÿè ðÿä (10.13), ïîëó÷åííûé èç ðÿäà (10.12) îòáðàñûâàíèåì êîíå÷íîãî÷èñëà k åãî ïåðâûõ ÷ëåíîâ. Îáðàòíî, åñëè ñõîäèòñÿ ðÿä (10.13), òîñõîäèòñÿ è äàííûé ðÿä (10.12).n ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðÿäà(10.12), ÷åðåç Sk ñóììó k îòáðîøåííûõ ÷ëåíîâ (k < n) è ÷åðåç σn−k ñóììó n − k ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðÿäà (10.13):Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ÷åðåçSnñóììóSn = u1 + u2 + u3 + · · · + uk + uk+1 + · · · + un ,170Ëåêöèÿ 10. ×èñëîâûå ðÿäû. Îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâàSk = u1 + u2 + u3 + · · · + uk , σn−k = uk+1 + uk+2 + · · · + un .Ñëåäîâàòåëüíî,Sn = Sk + σn−k ,Skïðè÷¼ì(10.14) íåêîòîðîå ÷èñëî, íå çàâèñÿùåå îòn.1.
Ïóñòü ðÿä (10.12) ñõîäèòñÿ è èìååò ñóììóS,ò.å.lim Sn = S .n→∞Òîãäà èç ðàâåíñòâà (10.14) ñëåäóåò:lim σn−k = lim (Sn − Sk ) = lim Sn − lim Sk = S − Sk .n→∞n→∞n→∞σn−kÈòàê, ÷àñòè÷íûå ñóììûn→∞ðÿäà (10.13) ïðèn→∞èìåþò ïðåäåë,ò.å. ðÿä (10.13) ñõîäèòñÿ.σ,2. Ïóñòü ðÿä (10.13) ñõîäèòñÿ è èìååò ñóììóò.å.lim σn−k = σ .n→∞Èç ( 10.14) ñëåäóåò:lim Sn = lim (Sk + σn−k ) = Sk + lim σn−k = Sk + σ,n→∞n→∞n→∞ò.å. ðÿä (10.12) ñõîäèòñÿ.Òåîðåìó 10.3 ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàêæå ñëåäóþùèì îáðàçîì.Íà ñõîäèìîñòü ðÿäà íå âëèÿåò îòáðàñûâàíèå ëþáîãî êîíå÷íîãî÷èñëà åãî ïåðâûõ ÷ëåíîâ.10.3. Íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ðÿäàÏðèâåäåì íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà.Òåîðåìà 10.4.
Åñëè ðÿä u1 +u2 +u3 +· · ·+un +. . . ñõîäèòñÿ, òî åãîîáùèé ÷ëåí un ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèèíîìåðà n.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äàí ñõîäÿùèéñÿ ðÿäu1 + u2 + u3 + · · · + un + . . . ,èìåþùèé ñóììóS.Ðàññìîòðèì åãî ÷àñòè÷íûå ñóììûSn = u1 + u2 + u3 + · · · + un−1 + unèSn−1 = u1 + u2 + u3 + · · · + un−1 .Îòñþäàun = Sn − Sn−1 .Ñëåäîâàòåëüíî,lim un = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 .n→∞n→∞n→∞n→∞Ëåêöèÿ 10. ×èñëîâûå ðÿäû.
Îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà171lim Sn = S è lim Sn−1 = S , òàê êàê ïðè n → ∞ è n−1 → ∞. Ïîýòîìón→∞lim un = S − S = 0. Èòàê,n→∞n→∞lim un = 0.(10.15)n→∞Òåîðåìà 10.5. (äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ðàñõîäèìîñòè ðÿäà). Åñëèîáùèé ÷ëåí ðÿäà íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèè åãî íîìåðà n, òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áû ðÿä ñõîäèëñÿ, òî ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìååãî îáùèé ÷ëåí îáÿçàí áûë áû ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ, ÷òî ïðîòèâîðå÷èòóñëîâèþ.Ïðèìåð 10.4.Ð å ø å í è å:Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä.1 2 3n+ + + ··· ++ ...2 3 4n+1Ðÿä ðàñõîäèòñÿ, òàê êàê åãî îáùèé ÷ëåín → ∞:n1lim un = lim= lim= 1.n→∞n→∞ n + 1n→∞ 1 + 1/nun =nn+1íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðèlim un = 0 ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì äëÿ ñõîäèìîñòè ðÿäà,n→∞íî íå äîñòàòî÷íûì.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò ðàñõîäÿùèåñÿ ðÿäû,Óñëîâèålim un = 0.n→∞Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü ðÿääëÿ êîòîðûõ1111√ + √ + √ + ··· + √ + ....n123= 0. Îäíàêî ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òîlim un = lim √1nn→∞n→∞Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ÷àñòè÷íóþ ñóììó ðÿäà1Òàê êàê √1>√1 ,n(10.16)ðÿä ðàñõîäèòñÿ.1111Sn = √ + √ + √ + · · · + √ .n1231111√ > √ , √ > √ , . . .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
