Функция одной переменной (1092164)
Текст из файла
Ëåêöèÿ 3. Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ43ÃËÀÂÀ IIÔóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîéËåêöèÿ 3. Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿÏîíÿòèå ÷èñëîâîé ôóíêöèè. Ñïîñîáû çàäàíèÿ. ×¼òíûå, íå÷¼òíûå, ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè. Îáðàòíûå ôóíêöèè.3.1. Ïîíÿòèå ÷èñëîâîé ôóíêöèèÏóñòü äàíû äâà ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ÷èñåë Õ è Ó. ×èñëîâîé ôóíêöèåé y = f (x) íàçûâàåòñÿ ïðàâèëî, êîòîðîå êàæäîìó ÷èñëó x ∈ X ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííîå ÷èñëî y ∈ Y . Ïåðåìåííóþ x íàçûâàþò íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîéèëè àðãóìåíòîì, ïåðåìåííóþ y çàâèñèìîé ïåðåìåííîé èëè ôóíêöèåé, ìíîæåñòâî Õ íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D(f ), ìíîæåñòâî Y íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ èçìåíåíèÿ èëè ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ôóíêöèè E(f ).Îïðåäåëåíèå 3.1.Íàðÿäó ñ îáîçíà÷åíèÿìè ôóíêöèèâ ÷àñòíîñòèy = f (x) èñïîëüçóþòñÿ è äðóãèå,y = y(x).
Çíà÷åíèå ôóíêöèè äëÿ ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åx0 áóäåì îáîçíà÷àòü y0 = f (x0 ) èëè y0 = y(x0 ). Ñàìàíèÿ àðãóìåíòàôóíêöèÿ, åå àðãóìåíò è çíà÷åíèå ìîãóò áûòü îáîçíà÷åíû è äðóãèìèV = F (u).ïåðåìåííûå x è y ðàññìàòðèâàòüáóêâàìè, íàïðèìåð:Åñëèêàê äåêàðòîâû êîîðäèíàòûòî÷åê íà ïëîñêîñòè, òî ãðàôèêîì ÷èñëîâîé ôóíêöèèåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòèOxyy = f (x) íàçûâàñ êîîðäèíàòàìè(x; f (x)).Îñíîâíûìè ñïîñîáàìè çàäàíèÿ ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèé,ãðàôè÷åñêèé è òàáëè÷íûé.Ïðè àíàëèòè÷åñêîì ñïîñîáå ôóíêöèÿ çàäà¼òñÿ ïîñðåäñòâîì ôîðìóë.Ïðè ýòîì îíà ìîæåò áûòü çàäàíà â äåêàðòîâûõ è ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ â ÿâíîì è íåÿâíîì âèäå, â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå.Åñëè â óðàâíåíèè, îïðåäåëÿþùåì ôóíêöèþ, çíà÷åíèå ôóíêöèèyâûðàæåíî â ÿâíîì âèäå (èçîëèðîâàíî â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ), òî44Ëåêöèÿ 3.
Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ çàäàíà â ÿâíîì âèäå:y = f (x).Ïðèìåð 3.1.(3.1)y = 2x + 1.Äàííàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ â ÿâíîì âèäå, êàæäîìó äåéñòâèòåëü-x ∈ R ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííîå äåéñòâèòåëüíîå÷èñëî y , äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîòîðîãî íåîáõîäèìî çíà÷åíèå x óìíîæèòü íàíîìó ÷èñëó2 è ê ðåçóëüòàòó ïðèáàâèòü 1.Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ äàííîé ôóíêöèèèçìåíåíèÿD(f ) = (−∞; +∞), îáëàñòüE(f ) = (−∞; +∞).Åñëè â óðàâíåíèè, îïðåäåëÿþùåì ôóíêöèþ, çíà÷åíèå ôóíêöèèyíå âûðàæåíî â ÿâíîì âèäå (íå èçîëèðîâàíî â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ),òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ çàäàíà â íåÿâíîì âèäå óðàâíåíèåì âèäà:F (x, y) = 0.(3.2)Çàìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì îñòàåòñÿ òðåáîâàíèå, ÷òîáû êàæäîìó ÷èñëóx èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâîâàëî åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå y èç222ìíîæåñòâà çíà÷åíèé.
Òàê, íàïðèìåð, óðàâíåíèå x + y = R îïðåäå√√2222ëÿåò äâå ôóíêöèè: y =R − x è y = − R − x . Ê ýòîìó ïðèìåðóìû åù¼ âåðí¼ìñÿ.Ïðèìåð 3.2.xy = 1.Ôóíêöèÿ çàäàíà óðàâíåíèåì â íåÿâíîì âèäå. Äëÿ êàæäîãî äåéñòâèòåëüíîãî çíà÷åíèÿx ̸= 0ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå ó,óäîâëåòâîðÿþùåå ýòîìó óðàâíåíèþ. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíê-D(f ) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞),∪ (0; +∞).öèèîáëàñòü èçìåíåíèÿE(f ) = (−∞; 0) ∪Ïðè ãðàôè÷åñêîì ñïîñîáå ôóíêöèÿ çàäà¼òñÿ ñ ïîìîùüþ ãðàôèêà.Íàïðèìåð, ïî ãðàôèêó ôóíêöèè, èçîáðàæ¼ííîìó íà ðèñ. 26, ìîæíîx = 0 ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèåy = 1, çíà÷åíèþ x = 1 ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå y = 2 è ò.ä.óñòàíîâèòü, ÷òî çíà÷åíèþÏðè ïàðàìåòðè÷åñêîì çàäàíèè ôóíêöèè â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ çíà÷åíèå ôóíêöèèyè å¼ àðãóìåíòàxçàäàþòñÿ êàê ôóíêöèè îòòðåòüåé ïåðåìåííîé âåëè÷èíû, òàê íàçûâàåìîãî ïàðàìåòðàæåñòâàtèç ìíî-T:{x = x(t),y = y(t).(3.3)Ëåêöèÿ 3. Ôóíêöèÿ.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ45y32-3-2-11123x0-1-2-3Ðèñ. 26.Ãðàôè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèèÅñëè ýòè ôóíêöèè âû÷èñëèòü ïðè îäíîì è òîì æå çíà÷åíèè ïàðàìåòðàt,M (x; y); êîãäàT , òî÷êà M (x, y)ìû ïîëó÷èì êîîðäèíàòû òî÷êè íà ïëîñêîñòèïåðåìåííàÿtïðîáåãàåò âñå çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâàOxy .îïèñûâàåò íåêîòîðóþ ëèíèþ â ïëîñêîñòèÓðàâíåíèÿ (3.3) íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ýòîéëèíèè. Èíîãäà, èñêëþ÷èâ ïàðàìåòðtèç ñèñòåìû (3.3), ìîæíî ïîëó-÷èòü ÿâíîå èëè íåÿâíîå óðàâíåíèå ôóíêöèè.{Ïðèìåð 3.3.x = R cos t,y = R sin t.(3.4)Åñëè ýòè óðàâíåíèÿ ïî÷ëåííî âîçâåñòè â êâàäðàò è ñëîæèòü, òî âsin2 t + cos2 t = 1 ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå x2 + y 2 = R2 .ñèëó òîæäåñòâàÝòîìó óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿþò êîîðäèíàòû òî÷åê îêðóæíîñòè ñöåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîìëû (2.6) äëÿ òî÷åêM (x; y),R,òàê êàê â ñèëó ôîðìó-êîîðäèíàòû êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò ýòî-ìó óðàâíåíèþ, ðàññòîÿíèå äî íà÷àëà êîîðäèíàòðàâíîO(0; 0)ïîñòîÿííî èR.x2 + y 2 = R2 âûðàçèòüy√2ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè: y =R − x2Åñëè èç óðàâíåíèÿëó÷èì äâåâ ÿâíîì âèäå, ïî√è y = − R2 − x2 .Êàæäàÿ èç ýòèõ ôóíêöèé çàäà¼òñÿ ïàðàìåòðè÷åñêè îäíèìè è òåìèæå óðàâíåíèÿìè, íî îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà äëÿ ýòèõ ôóíêöèéðàçëè÷íû: äëÿ ïåðâîé èç íèõïîëóîêðóæíîñòü), äëÿ âòîðîéïîëóîêðóæíîñòü).06t6ππ 6 t 6 2π(ãðàôèêîì ñëóæèò âåðõíÿÿãðàôèêîì ÿâëÿåòñÿ íèæíÿÿ46Ëåêöèÿ 3.
Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ{Ïðèìåð 3.4.x = a(t − sin t),y = a(1 − cos t).(3.5)Ýòè óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè öèêëîèäû. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëèíèÿ, îïèñûâàåìàÿ ýòèìè óðàâíåíèÿìè (öèêëîèäà), ïîëó÷àåòñÿ êàê òðàåêòîðèÿ ôèêñèðîâàííîé òî÷êèîêðóæíîñòè ðàäèóñîìMa, êàñàâøåéñÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò îñè àáñöèññâ íà÷àëå êîîðäèíàò, êîòîðàÿ êàòèòñÿ áåç ñêîëüæåíèÿ ïî îñè àáñöèññ(ðèñ. 27).
Ïðè ýòîì â íà÷àëüíûé ìîìåíò òî÷êàMñîâïàäàåò ñ íà÷àëîìêîîðäèíàò.y.aMaÐèñ. 27.Ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðàïîëíûé îáîðîò. Òî÷êàx2π a0MÖèêëîèäàt îò 0 äî 2πîêðóæíîñòü ñîâåðøèò îäèíïðè ýòîì îïèøåò îäíó àðêó öèêëîèäû.Ïðè çàäàíèè ôóíêöèè â ÿâíîì âèäå â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ïîëÿðíûé ðàäèóñrâûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîëÿðíûé óãîëφ:r = r(φ).Ïðè ýòîì êàæäîìó çíà÷åíèþñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèår.φèç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñîîòâåò-Ýòî, îäíàêî, íå ãàðàíòèðóåò, ÷òî ïðèïåðåõîäå ê äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì êàæäîìó çíà÷åíèþâåòñòâîâàòü åäèíñòâåííîå çíà÷åíèåÏðèìåð 3.5.(3.6)x áóäåò ñîîò-y.r = a(1 + cos φ).Êðèâàÿ, îïèñûâàåìàÿ ýòèì óðàâíåíèåì â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ,íàçûâàåòñÿ êàðäèîèäîé (ðèñ.
28).Ñîñòàâèâ òàáëèöó äëÿ íåêîòîðûõ çíà÷åíèé ïîëÿðíîãî óãëàr, ïîñòðîèì ïîëó÷èâøóþñÿ êðèâóþπ/2 3π/4π 5π/43π/2 7π/42π√√√2−12−12+1√√√a a 2 0 a 2aa 2 2añîîòâåòñòâóþùèõ èì çíà÷åíèéφ 0π/4√r 2a a √2+12φèËåêöèÿ 3. Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ47Ïðè òàáëè÷íîì ñïîñîáå ôóíêöèÿ çàäà¼òñÿ ïîñðåäñòâîì òàáëèöû.Íàïðèìåð, ñëåäóþùàÿ òàáëèöà óñòàíàâëèâàåò çàêîí, êîòîðûé êàæäîìó èç ïåðå÷èñëåííûõ â ýòîé òàáëèöå çíà÷åíèé àðãóìåíòàñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííîå çíà÷åíèåxyxñòàâèò ây.-2-1-0,501-3-1013x2a0Ðèñ. 28.Êàðäèîèäà√ Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ è îáëàñòü èçìåíåíèÿôóíêöèè y = 2x − 1.Ïðèìåð 3.6.Ð å ø å í è å:Òàê êàê îïåðàöèÿ èçâëå÷åíèÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿîïðåäåëåíà òîëüêî äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ âåëè÷èí, òî äàííàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà òîëüêî äëÿ çíà÷åíèé àðãóìåíòàíåðàâåíñòâó:2x − 1 > 0.x,óäîâëåòâîðÿþùèõÐåøàÿ ýòî íåðàâåíñòâî, ïîëó÷àåì:D(f ) == [0, 5; +∞).
Ïîñêîëüêó àðèôìåòè÷åñêèé êîðåíü íå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíûì, çàêëþ÷àåì, ÷òî îáëàñòü èçìåíåíèÿ E(f ) = [0; +∞).Îòâåò: D(f ) = [0, 5; +∞), E(f ) = [0; +∞).Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ è îáëàñòü èçìåíåíèÿôóíêöèè y = log2 (x2 − 3x + 2).Ïðèìåð 3.7.Ð å ø å í è å: Ïîñêîëüêó îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêîéôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûé èíòåðâàë (0; +∞), çàêëþ÷àåì, ÷òî îá2ëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(f ) = {x|x −3x+2 > 0}. Ðåøèì ýòî íåðàâåíñòâî,äëÿ ÷åãî îïðåäåëèì êîðíè óðàâíåíèÿ:x2 − 3x + 2 = 0 =⇒ x1 = 1, x2 = 2. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèåì2íåðàâåíñòâà x − 3x + 2 > 0 ÿâëÿåòñÿ (−∞; 1) ∪ (2; +∞).48Ëåêöèÿ 3.
Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿÎáëàñòüþ çíà÷åíèé ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ìíîæå-ñòâîR,E(f ) = {y|y ∈ R}.D(f ) = (−∞; 1) ∪ (2; +∞) E(f ) = (−∞; +∞).ïîýòîìóÎòâåò:Ïðèìåð 3.8.Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y =1.(x+1)(x−2)xÿâëÿþòñÿÐ å ø å í è å: Íåäîïóñòèìûìè çíà÷åíèÿìè àðãóìåíòà(x + 1)(x − 2) = 0. Ðåøåíèÿìèÿâëÿþòñÿ x1 = −1, x2 = 2, ñëåäîâàòåëüíîD(f ) = (−∞; −1) ∪ (−1; 2) ∪ (2; +∞).Îòâåò: D(f ) = (−∞; −1) ∪ (−1; 2) ∪ (2; +∞).ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿÏðèìåð 3.9.Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y =Ð å ø å í è å:íåðàâåíñòâóäàííîãî óðàâíåíèÿÄîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà1 − x > 0.2x√ 1.1−x2óäîâëåòâîðÿþòÐåøàÿ ýòî íåðàâåíñòâî, íàõîäèì, ÷òîD(f ) == (−1; 1).Îòâåò:D(f ) = (−1; +1).3.2. Îïåðàöèè íàä ôóíêöèÿìèÏóñòü äàíû äâå ôóíêöèè:y = f (x)èy = g(x)ñ îáëàñòüþ îïðå-D(f ) è D(g) ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü íîâóþy = f (x) + g(x), çíà÷åíèÿ êîòîðîé ïðè êàæäîì x èç îáëàñòèîïðåäåëåíèÿ âû÷èñëÿþòñÿ êàê ñóììà çíà÷åíèé f (x) è g(x).
Îáëàñòüîïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y = f (x) + g(x) åñòü D(f ) ∩ D(g).Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ôóíêöèè y = f (x)g(x), y = f (x) − g(x)f (x)f (x)è y =, ïðè÷¼ì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y =åñòü ìíîæåg(x)g(x)ñòâî D(f ) ∩ D(g) ∩ {x|g(x) ̸= 0}.√Ïðèìåð 3.10. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y =x − 1+1+.x−1äåëåíèÿôóíêöèþÐ å ø å í è å: Ïðåäñòàâèì íàøó ôóíêöèþ â âèäå y = f (x) + g(x),√1ãäå f (x) =x − 1, g(x) = x−1. Íàéäåì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ êàæäîéôóíêöèè.D(f ) : x − 1 > 0 ⇐⇒ D(f ) = [1; +∞),D(g) : x − 1 ̸= 0 ⇐⇒ D(g) = (−∞; 1) ∪ (1; +∞).Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ èñõîäíîé ôóíêöèè åñòü ïåðåñå÷åíèå ýòèõ ìíîæåñòâ.Îòâåò:(1; +∞).Ëåêöèÿ 3.
Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ493.3. Ñëîæíàÿ ôóíêöèÿu = f (x) ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D(f )è îáëàñòüþ èçìåíåíèÿ E(f ), à y = g(u) ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ ñ îáëàñòüþîïðåäåëåíèÿ D(g), E(f ) ⊂ D(g) è îáëàñòüþ èçìåíåíèÿ E(g).Òîãäà êàæäîìó x ∈ D(f ) ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèåy ∈ E(g): êàæäîìó x ∈ D(f ) ôóíêöèÿ u = f (x) ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèååäèíñòâåííîå çíà÷åíèå u ∈ E(f ), êîòîðîìó ôóíêöèÿ y = g(u) ñòàâèòâ ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå y ∈ E(g).
Ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿÏóñòüíàçûâàåòñÿ ñëîæíîé ôóíêöèåé (èëè ñóïåðïîçèöèåé äâóõ ôóíêöèé) èy = g(f (x)). Ôóíêöèÿ u = f (x) íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåéôóíêöèåé, ôóíêöèÿ y = g(u) âíåøíåé.2Íàïðèìåð, åñëè u = x − 3x + 2, è y = log2 u, òî ìîæíî îïðåäåëèòü2ñëîæíóþ ôóíêöèþ y = log2 (x − 3x + 2).îáîçíà÷àåòñÿÇàïèñàòü ñëîæíóþ ôóíêöèþ, ÿâëÿþùóþñÿ ñóïåðïîçèöèåé äâóõ ôóíêöèé : u = 1 − x2 è y = √1u .Ïðèìåð 3.11.Ð å ø å í è å: äàííîì ïðèìåðå f (x) = 1 −g(u) = √1u ⇒ D(g) = (0; +∞),x2 ⇒ D(f ) = R,E(g) = (0; +∞). ÊàêE(f ) = (−∞; 1],âèäèì, E(f )⊂/ D(g).
Îäíàêî, åñëè îïðåäåëèòü âíóòðåííþþ ôóíêöèþ2íà ìíîæåñòâå {x|1 − x > 0} = (−1; 1), ýòî òðåáîâàíèå áóäåò âûïîëíåíî.Îòâåò:y=√ 1ïðè1−x2x ∈ (−1; 1).3.4. ×¼òíûå è íå÷¼òíûå ôóíêöèèÌíîæåñòâî X ⊂ R íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, åñëè −x ∈ X äëÿ ëþáîãî x ∈ X .Íà ÷èñëîâîé îñè ñèììåòðè÷íîå ìíîæåñòâî Õ ðàñïîëîæåíî ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî òî÷êè O.Îïðåäåëåíèå 3.2.×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ ÷¼òíîé, åñëè îáëàñòü å¼ îïðåäåëåíèÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò è f (−x) = f (x) äëÿ âñåõ x ∈ D(f ).Îïðåäåëåíèå 3.3.Ãðàôèê ÷¼òíîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò,ò.ê.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
