Теория пределов и числовые ряды (1092163)
Текст из файла
Ëåêöèÿ 6. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿ101ÃËÀÂÀ IIIÒåîðèÿ ïðåäåëîâ è ÷èñëîâûå ðÿäûËåêöèÿ 6. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿ×èñëîâûåïîñëåäîâàòåëüíîñòè,ïðåäåëïîñëåäîâàòåëüíîñòè,ïðîãðåññèè, ïðåäåë ôóíêöèè, îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû, îãðàíè÷åííûå ôóíêöèè.6.1. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòèÎïðåäåëåíèå 6.1. Ôóíêöèÿ y = f (n), îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N , íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé íàòóðàëüíîãî àðãóìåíòà, èëè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.×ëåíû ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàñïîëàãàþòñÿ â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ àðãóìåíòà:y1 = f (1), y2 = f (2), y3 = f (3), .
. . , yn = f (n), . . . .y1 = f (1) ïåðâûé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, y2 = f (2) âòîðîé,yn = f (n) n-é ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, èëè îáùèé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êðàòêî îáîçíà÷àþò {yn }. Ïðèìåðû÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé:Ïðèìåð 6.1.1, 1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . . èëè {1/n}.Ïðèìåð 6.2.−1, 1, −1, 1, . .
. , (−1)n , . . . èëè {(−1)n }.Ïðèìåð 6.3.1, 3, 5, . . . , 2n − 1, . . . èëè {2n − 1}.Ïðèìåð 6.4.0, 1/2, 2/3, . . . , (n − 1)/n, . . . èëè {(n − 1)/n}.Õàðàêòåð èçìåíåíèÿ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçëè÷åí. Èç ïðåäñòàâëåííûõ ïðèìåðîâ âèäíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîæåò áûòü âîçðàñòàþùåéyn < yn+1(ïðèìåðû 6.3 è 6.4), óáûâàþùåéyn > yn+1(ïðè-ìåð 6.1), îãðàíè÷åííîé ñíèçó (ïðèìåð 6.1), îãðàíè÷åííîé ñâåðõó (ïðèìåð 6.4), íåîãðàíè÷åííîé (ïðèìåð 6.3).
Ïîíÿòèÿ âîçðàñòàþùåé, óáûâàþùåé, îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè áûëè äàíû ðàíåå, â ëåêöèè 3.102Ëåêöèÿ 6. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿ6.2. Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {yn }, åñëè äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ñêîëü óãîäíîìàëîãî ÷èñëà ε íàéäåòñÿ òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî N , ÷òî äëÿ âñåõn > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |yn − b| < ε.Îïðåäåëåíèå 6.2.Ñèìâîëè÷åñêàÿ çàïèñü îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòèlim yn = b :(6.1)n→∞∀(ε > 0) ∃ N ∀(n > N ) ⇒ |yn − b| < ε.εnÏîñêîëüêó íåðàâåíñòâî|yn − b| < εðàâíîñèëüíîb − ε < yn < b + ε,òî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäå-N,÷òî âñåòî÷êè, èçîáðàæàþùèå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ íîìåðàìèn > N,ëîì ÷èñëîb,òî êàêîâî áû íè áûëîε > 0,ïîïàäóò â ïîëîñó, îãðàíè÷åííóþ ïðÿìûìèíàéäåòñÿ òàêîåy = b−ε, y = b+ε (ðèñ.
75).Yb+ εbb- ε0Ðèñ. 75.1234 ... n-2n-1 N nn+1 n+2XÃåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòèËåêöèÿ 6. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿ1036.3. Ïðîãðåññèè×àñòíûì ñëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿþòñÿ ïðîãðåññèè. Îá-an = a1 + d(n − 1). Õàðàêòåðè1ñòè÷åñêîå ñâîéñòâî àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè: an+1 = (an + an+2 ).2Ñóììà k -÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè Sk = a1 + a2 + · · · + ak == 12 (a1 + ak )k = 12 (2a1 + d(k − 1))k .ùèé ÷ëåí àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè:Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ïåðâûé ÷ëåí êîòîðîé îòëè÷åí îò íóëÿ, à êàæäûé ÷ëåí, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ðàâåí ïðåäøåñòâóþùåìó ÷ëåíó, óìíîæåííîìó íà îäíî è òî æå íåq , íàçûâàåìîå çíàìåíàòåëåì ãåîìåòðè÷åñêîé ïðî⇒ b1 = b(b ̸= 0); bn+1 = bn · q(q ̸= 0).n−1Îáùèé ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè: bn = b1 · q.Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè: |bn+1 | =√= bn · bn+2 .b1 (1−q k )Ôîðìóëà ñóììû k ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè: Sk =.1−qÄëÿ áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè |q| < 1 è ñóìbìà S = 1 .1−qðàâíîå íóëþ ÷èñëîãðåññèè6.4.
Ïðåäåë ôóíêöèèÂûøå ìû ðàññìîòðåëè ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòèyn , íî yn = f (n)åñòü ôóíêöèÿ íàòóðàëüíîãî àðãóìåíòà, çíà÷èò, ìû ôàêòè÷åñêè èìååì äåëî ñ ïðåäåëîì ôóíêöèè íàòóðàëüíîãî àðãóìåíòà. Òåïåðü ââåäåìïîíÿòèå ïðåäåëà ôóíêöèè îò íåïðåðûâíîãî àðãóìåíòà.  îòëè÷èå îòïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè çàâèñèò îò→ +∞, x → −∞, x → x0 èäàëüíåéøåì âìåñòî +∞ áóäåìóñëîâèé ñòðåìëåíèÿ àðãóìåíòà ôóíêöèè (xò.ä.). Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå èç íèõ. Â∞.6.4.1.
Ïðåäåë ôóíêöèè ïðè x → ∞. Ïðîñëåäèì õàðàêòåð èçìåíå1íèÿ ôóíêöèè y = f (x) = 2 −ïðè âîçðàñòàíèè çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà õ:xïèñàòü ïðîñòîx12101001000y11.51.91.991.999è ïîñòðîèì å¼ ãðàôèê (ðèñ. 76).M (x, y) òåêóùàÿ òî÷êà ãðàôèêà ôóíêöèè y = 2 − x1 . Òîãäàðàññòîÿíèå M N îò ýòîé òî÷êè äî ïðÿìîé y = 2 ìîæíî îïðåäåëèòü êàê( ) 1 1= 1 .d = |y − 2| = |f (x) − 2| = 2 −− 2 = x−x |x|Ïóñòü104Ëåêöèÿ 6.
Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿy20xÐèñ. 76.Ãðàôèê ôóíêöèèy =2−1xÑîâåðøåííî î÷åâèäíî,÷òî ñ ðîñòîì çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà x ðàññòîÿíèå1d óìåíüøàåòñÿ. Åñëè x > 1ε , òî |f (x) − 2| = |x|< ε, ñëåäîâàòåëüíî,ôóíêöèÿ íåîãðàíè÷åíío ïðèáëèæàåòñÿ ê ÷èñëó 2 èëè ïðè áåñêîíå÷íîâîçðàñòàþùåìx (x → ∞)èìååò ïðåäåëîì ÷èñëî 2.×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèèy = f (x) ïðè x → ∞, åñëè êàêîâî áû íè áûëî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëîε, ìîæíî íàéòè òàêîå ÷èñëî N , ÷òî äëÿ âñåõ x > N âûïîëíÿåòñÿíåðàâåíñòâî6.3.Îïðåäåëåíèå|f (x) − b| < ε.Ñèìâîëè÷åñêàÿ çàïèñü ïðåäåëà ôóíêöèè ïðèx → ∞:lim f (x) = b : ∀(ε > 0) ∃ N ∀(x > N ) ⇒ |f (x) − b| < ε.x→∞ε(6.2)xÑðàâíèâ îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ïðåäåëà ôóíêöèè ïðè x → ∞, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì,÷òî îíè ïîäîáíû. Ïðè ýòîì ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïðåäåëà ôóíêöèè ïðè x → ∞.
Ñëåäîâàòåëüíî, âñåñôîðìóëèðîâàííûå íèæå òåîðåìû î ïðåäåëàõ ôóíêöèè ïðè x → ∞ïåðåíîñÿòñÿ íà ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðè n → ∞.Çàìå÷àíèå 6.1.|f (x) − b| < ε ýêâèâàëåíòíî äâîéb − ε < f (x) < b + ε, ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëàx → ∞ ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü ñ ïîìîùüþ ãðàôèêàÑ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî íåðàâåíñòâîíîìó íåðàâåíñòâóôóíêöèè ïðèôóíêöèè (ðèñ. 77).Ëåêöèÿ 6. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿ105Àíàëîãè÷íî ïðåäåëó ôóíêöèè ïðèïðåäåëà ôóíêöèè ïðèx → −∞.x→∞ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèålim f (x) = b : ∀(ε > 0) ∃ M ∀(x < M ) ⇒ |f (x) − b| < ε.x→−∞ε(6.3)xyb +εbb- εÐèñ. 77.6.4.2.xN0Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ôóíêöèè ïðèx→∞Ïðåäåë ôóíêöèè ïðè x → x0 .×èñëî b ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x)ïðè x → x0 , åñëè êàêîâî áû íè áûëî ε,ìîæíî íàéòè òàêèå ÷èñëà N èM (N < x0 < M ),÷òî äëÿ âñåõ x, ëåæàùèõ â èíòåðâàëå (N ; M ) (çàèñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, òî÷êè x0 ), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîÎïðåäåëåíèå 6.4.|f (x) − b| < ε.Ñèìâîëè÷åñêàÿ çàïèñü ïðåäåëà ôóíêöèè ïðèx → x0 :lim f (x) = b : ∀(ε > 0) ∃ (N < x0 < M )x→x0∀(N < x < M, êðîìå(6.4)εì.á.xx = x0 ) ⇒ |f (x) − b| < ε.Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî ïðåäåëà ëåãêî ïîíÿòü èç ãðàôèêà íàðèñ.
78.Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè ìîæíî äàòü â íåñêîëüêî èíîì âèäå.×èñëî b ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x)ïðè x → x0 , åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ = δ(ε) > 0, òàêîå,÷òî |f (x) − b| < ε ïðè 0 < |x − x0 | < δ.Îïðåäåëåíèå 6.5.106Ëåêöèÿ 6. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿyb +εbb- εÐèñ. 78.xN00xMÃåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ôóíêöèè ïðèlim f (x) = b : ∀(ε > 0)∃(δ > 0)∀(|x − x0 | < δ,x→x0êð.ì.á.x → x0x = x0 ) ⇒⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε×èñëîδδ -îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 x0 . Îáà îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëàîïðåäåëÿåò ñîáîé íåêîòîðóþèíòåðâàë (x−δ, x+δ ), ñîäåðæàùèé òî÷êóôóíêöèè ïðèx → x0(6.4 è 6.5) ðàâíîñèëüíû.6.5. Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëûÐàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿáëèæàåòñÿ êx0x ïðè-ñëåâà.×èñëî b1 íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèèy = f (x) ïðè x → x◦ ñëåâà, åñëè êàêîâî áû íè áûëî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε, íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî N (ìåíüøå x◦ ), ÷òî äëÿ âñåõ x,ëåæàùèõ ìåæäó N è x◦ (N < x < x◦ ), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî|f (x) − b1 | < ε.Îïðåäåëåíèå6.6.Ïðåäåë ôóíêöèè ïðèlim f (x) = b1 .x→x◦ −0ñëåâà.Ñèìâîëx → x◦ ñëåâà îáîçíà÷àþò òàê:x → x◦ − 0 îçíà÷àåò, ÷òî x ñòðåìèòñÿÃåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ôóíêöèè ïðè÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: êàêîâî áû íè áûëîε > 0,x → x◦ − 0êx◦çàêëþ-íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëîËåêöèÿ 6.
Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿ107N (N < x0 ),÷òî äëÿ âñåõ x, çàêëþ÷åííûõ ìåæäó N è x◦ , ãðàôèê ôóíêy = b1 − ε è y = b1 + εöèè ëåæèò â ïîëîñå, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè(ðèñ. 79).lim f (x) = b : ∀(ε > 0)∃(N < x0 )∀(N < x < x0 ) ⇒x→x0 −0Àíàëîãè÷íî ïðåäåëóïðåäåëà ïðèx → x◦⇒ |f (x) − b1 | < εôóíêöèè ïðè x → x◦ñëåâà ââîäèòñÿ ïîíÿòèåñïðàâà.×èñëî b2 íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèèy = f (x) ïðè x → x◦ ñïðàâà, åñëè êàêîâî áû íè áûëî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε, íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî M (áîëüøåå x◦ ), ÷òî äëÿ âñåõ x,ëåæàùèõ ìåæäó x◦ è M (x◦ < x < M ), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî|f (x) − b2 | < ε.Îïðåäåëåíèå6.7.lim f (x) = b : ∀(ε > 0)∃(M > x0 )∀(x0 < x < M ) ⇒ |f (x) − b2 | < εx→x0 +0yb1+ εb1b1 εÐèñ. 79.x0 − 0x0 xN0Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ôóíêöèè ïðè x→Ïðåäåë ôóíêöèè ïðèx → x◦ñïðàâà îáîçíà÷àþò òàê:lim f (x) = b2 .
Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) ïðè x → x◦ ñïðàâà èìååòx→x◦ +0ïðåäåëîì ÷èñëî b2 , òî ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè ëåæèò â ïîëîñå, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìèäëÿ âñåõx,çàêëþ÷åííûõ ìåæäóx◦èMy = b2 − ε(ðèñ. 80).èy = b2 + ε108Ëåêöèÿ 6. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿyb 2+ εb2b2 - εx0Ðèñ.
80.0xMÃåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ôóíêöèè ïðè x→x0 + 0Ïðåäåëû ôóíêöèè ïðèñïðàâà(x → x◦ + 0)x → x◦ñëåâà(x → x◦ − 0)è ïðèx → x◦íàçûâàþò îäíîñòîðîííèìè ïðåäåëàìè.Åñëè îáà îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëà ñóùåñòâóþò è ðàâíû ìåæäó ñîáîéb1 = b2 , òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) èìååò äâóõñòîðîííèé ïðåäåë ïðèx → x◦ , èëè ïðîñòî èìååò ïðåäåë ïðè x → x◦ . (ñì. îïðåäåëåíèå 6.4)Çàìå÷àíèå 6.2.
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ èìååò ïðåäåë, òî îí åäèíñòâåííûé.6.6. Òåîðåìû îá îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèÿõÑëåäóþùèå äâå òåîðåìû óñòàíàâëèâàþò ñâÿçü ìåæäó ïîíÿòèÿìèîãðàíè÷åííîé ôóíêöèè è ôóíêöèè, èìåþùåé ïðåäåë. Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïðåäåëà ôóíêöèè ïðèx → ∞.Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ïðåäåë ïðè x → ∞,òî îíà îãðàíè÷åíà íà íåêîòîðîì áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå (N, ∞).Òåîðåìà 6.1.Äàíî:lim f (x) = b,x→∞Äîêàçàòü, ÷òîò.å. ôóíêöèÿ èìååò ïðåäåë.|f (x)| 6 C ,Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàêf (x) ôóíêöèÿ îãðàíè÷åííàÿ.lim f (x) = b, òî |f (x) − b| < ε ïðè x → ∞ò.å.x→∞(ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè). Ïî ñâîéñòâó àáñîëþòíûõ âåëè÷èí|f (x) − b| > |f (x)| − |b|, à ñëåäîâàòåëüíî,|f (x) − b| > |f (x)| − |b| < ε èëè |f (x)| < |b| + ε = C .Ëåêöèÿ 6.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
