Теория пределов и числовые ряды (1092163), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ y = sin x íåïðåðûâíà äëÿëþáîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà x.Ð å ø å í è å:Íàéäåì ïðèðàùåíèå ôóíêöèè∆y ,èñïîëüçóÿ ôîð-ìóëû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ òîæäåñòâ()∆x∆x∆y = sin(x + ∆x) − sin x = 2 sincos x +=22()()sin ∆x∆x∆x∆x∆x2= 2 sincos x +·= ∆x · cos x +· ∆x.22∆x22 ()sin ∆x2 6 1, òî ïðè ëþáîì x èìååìÒàê êàê lim= 1, à cos x + ∆x∆x2∆x→02(lim ∆y = lim∆x→0= lim∆x→0sin ∆x2∆x2∆x→0sin ∆x2∆x2)()∆x· ∆x =cos x +2)(∆x· lim ∆x = 1 · cos x · 0 = 0.· lim cos x +∆x→0∆x→02Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿy = sin xíåïðåðûâíà ïðè−∞ < x < ∞.Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 9. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèèÏðèìåð 8.5.153Èññëåäîâàòü íà íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèþ{x − 1, åñëè 0 6 x 6 3,f (x) =3 − x, åñëè 3 < x 6 4.Ð å ø å í è å:Ýòà ôóíêöèÿ (ðèñ.

89) îïðåäåëåíà âî âñåõ òî÷êàõñåãìåíòà [0,4] è å¼ çíà÷åíèå ïðèx = 3 ⇒ y = 2.x→3:Ôóíêöèÿ òåðïèòðàçðûâ, òàê êàê îíà íå èìååò ïðåäåëà ïðèlim f (x) = 2,x→3−0Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êàx=3lim f (x) = 0.x→3+0 òî÷êà ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà. Ïðè ýòîì[0, 4] ôóíêöèÿ f (x) íåïðå(x = 4).â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ èññëåäóåìîãî ñåãìåíòàðûâíà ñïðàâà(x = 0)è íåïðåðûâíà ñëåâày204 x13-1Ðèñ. 89.Ïðèìåð 8.6.Ãðàôèê ôóíêöèè ïðèìåðà 8.5Èññëåäîâàòü íà íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèþ y =x2 −25.x−5x = 5 ôóíêöèÿ íå îïðåäåëåíà, ò.ê., âûïîëíèâíåîïðåäåëåííîñòü âèäà 0/0.

Ëåãêî äîêàçàòü,Ð å ø å í è å:  òî÷êåïîäñòàíîâêó, ïîëó÷àåì÷òîlim y = lim y = 10.x→5−0Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êàÏðèìåð 8.7.x=5x→5+0 òî÷êà óñòðàíèìîãî ðàçðûâà.Èññëåäîâàòü íà íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèþ y =Ð å ø å í è å:  òî÷êå1.x2x = 0 ôóíêöèÿ (ðèñ.

90) òåðïèò ðàçðûâ, òàêêàê îíà íå îïðåäåëåíà â ýòîé òî÷êå. Ïðåäåëû ôóíêöèè ñëåâà è ñïðàâàîò òî÷êèx = 0ðàâíû∞.Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êàôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà âòîðîãî ðîäà.x = 0äëÿ äàííîé154Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 9. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèèy0Ðèñ. 90.Ãðàôèê ôóíêöèèxy=1x2Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòàÏðèìåð 8.8.x=e.Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ y =ln x íåïðåðûâíà â òî÷êåÏîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ y = cos x íåïðåðûâíà äëÿëþáîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà x.Ïðèìåð 8.9.Ïðèìåð 8.10.Èññëåäîâàòü íà íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèþ y =Ïðèìåð 8.11.Èññëåäîâàòü íà íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèþy=x−1.(x+1)(x2 −4)Ïðèìåð 8.12.Èññëåäîâàòü íà íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèþÏðèìåð 8.13.Èññëåäîâàòü íà íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèþy = tg x1 .y=x3 −6x2 +11x−6.x2 −3x+2Ïðèìåð 8.14.Ïðèìåð 8.15.Èññëåäîâàòü íà íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèþ y =Âû÷èñëèòü limπ ln tg x.x→ 4x.|x|1.x2 +x+1.

Характеристики

Список файлов лекций