Числовые ряды - определения и свойства (1092165), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ïðè p = 11 1 11+ + + ··· + + ...,1 2 3n(11.3)ïîëó÷àåòñÿ ðÿä(11.4)êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêèì. Ðÿä (11.3) íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûì ãàðìîíè÷åñêèì ðÿäîì.178Ëåêöèÿ 11. Çíàêîïîñòîÿííûå ðÿäûÃåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ãàðìîíè÷åñêèé è îáîáùåííûé ãàðìî-íè÷åñêèé ðÿäû î÷åíü ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ ïðè èññëåäîâàíèè ðÿäîâ ñïîìîùüþ ïðèçíàêîâ ñðàâíåíèÿ â êà÷åñòâå ýòàëîííûõ ðÿäîâ.Ïðèìåð 11.1.Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä1111+ 3 + 4 + ··· ++ ....2234(n + 1)n+1Ð å ø å í è å:(11.5)Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíûé ðÿä1111+++···++ ....22 23 242n+1(11.6)(11.6) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ ñî çíàìåíàòåëåì q = 1/2 < 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäèòñÿ.
Òàê êàê ÷ëåíû ðÿäà(11.5) íå ïðåâîñõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷ëåíîâ ðÿäà (11.6), òî ïî ïåðâîìó ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ ðÿä (11.5) òàêæå ñõîäèòñÿ.ÐÿäÏðèìåð 11.2.Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä1111√+ ....+√+√+ ··· + √ln 2ln 3ln 4ln(n + 1)Ð å ø å í è å:(11.7)Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíûé ðÿä1111√ + √ + √ + ··· + √+ ...,n+1234êîòîðûé ðàñõîäèòñÿ. Òàê êàê êàæäûé ÷ëåí ðÿäàâåòñòâóþùåãî ÷ëåíà ðÿäàln n < n,(11.7)(11.8)áîëüøå ñîîò-(11.8):√ln n <√11n, √>√ ,nln nòî â ñèëó âòîðîãî ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ ðÿä(11.7)òàêæå ðàñõîäèòñÿ.Âî ìíîãèõ ïðèìåðàõ îêàçûâàåòñÿ öåëåñîîáðàçíûì èñïîëüçîâàòüåù¼ îäèí ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ.(Ïðèçíàê ¾ïîäîáèÿ¿ ðÿäîâ) Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé è îòëè÷íûé îò íóëÿ ïðåäåë lim UVnn = k , òî îáà èññëåäóåìûõn→∞ðÿäà îäíîâðåìåííî ñõîäÿòñÿ èëè îäíîâðåìåííî ðàñõîäÿòñÿ, ò.å. âåäóò ñåáÿ ïðè n → ∞ ïîäîáíûì îáðàçîì. Òàêèå ðÿäû íàçîâåì ¾ïîäîáíûìè¿.Òåîðåìà 11.3.Ëåêöèÿ 11.
Çíàêîïîñòîÿííûå ðÿäûÏðèìåð 11.3.179Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä:∞∑un = 1 +n=11 11+ + ··· ++ ....3 52n − 1Ð å ø å í è å: Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíûé ðÿä ñvn = n1 , î êîòîðîì èçâåñòíî, ÷òî îí ðàñõîäèòñÿ.un= limn→∞ vnn→∞lim12n−11n=(11.9)n-ûì÷ëåíîì1̸= 0.2Íà îñíîâàíèè ïðèçíàêà ¾ïîäîáèÿ¿ îáà ðÿäà âåäóò ñåáÿ îäèíàêîâî è,ñëåäîâàòåëüíî, â äàííîì ñëó÷àå ðàñõîäÿòñÿ, ò.å. ðÿä (11.9) ðàñõîäèòñÿ.Ïðèìåíåíèå ïðèçíàêîâ ñðàâíåíèÿ ïðè èññëåäîâàíèè ðÿäîâ ÷àñòîáûâàåò çàòðóäíèòåëüíî èç-çà íåîáõîäèìîñòè ñîñòàâëÿòü âñïîìîãàòåëüíûé ðÿä.
Ïîýòîìó ÷àñòî ïðèìåíÿþòñÿ äðóãèå äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè,êîòîðûå ïîçâîëÿþò ïî âèäó ñàìîãî ðÿäà ñóäèòü î åãî ñõîäèìîñòè èëèðàñõîäèìîñòè.Òåîðåìà 11.4.òåëüíîãî ðÿäà(Ïðèçíàê Äàëàìáåðà 2). Åñëè äëÿ çíàêîïîëîæè-u1 + u2 + u3 + · · · + un + . . .(11.10)ñóùåñòâóåò ïðåäåë îòíîøåíèÿ ïîñëåäóþùåãî ÷ëåíà ê ïðåäûäóùåìóïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèè íîìåðà ÷ëåíà n, ò.å.un+1lim= ρ,(11.11)n→∞ unòî ïðè ρ < 1 ðÿä ñõîäèòñÿ, à ïðè ρ > 1 ðÿä ðàñõîäèòñÿ.ρ < 1. Ïîêàæåì, ÷òî ðÿä ñõîäèòñÿ. Äåé= ρ, òî íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ìîæíî ïîäîáðàòü òàêîåíàòóðàëüíîå ÷èñëî N , çàâèñÿùåå îò ε, ÷òî äëÿ âñåõ ÷ëåíîâðÿäà, íî un+1ìåð êîòîðûõ n > N , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî − ρ < ε. ÎòñþäàunÄîêàçàòåëüñòâî.
à) Ïóñòüun+1ñòâèòåëüíî, òàê êàê limn→∞ unñëåäóåò, ÷òî−ε <un+1− ρ < +ε,unèëèρ−ε<un+1< ρ + ε.unρ + ε = q , ïîëó÷èì uun+1< q . Òàê êàê ρ ïî ïðåäïîëîæåíèþnìåíüøå åäèíèöû, à ε ïðîèçâîëüíî ìàëî, òî ε ìîæíî âûáðàòü íàñòîëüêîÏîëàãàÿ2Æ. Äàëàìáåð(17171783) ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê.180Ëåêöèÿ 11. Çíàêîïîñòîÿííûå ðÿäûìàëûì, ÷òîáûq = ρ + ε < 1. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ n > NuN +1uN +2uN +3< q,< q,< q, .
. . ,uNuN +1uN +2èìååì:ò.å.uN +1 < uN q, uN +2 < uN +1 q < uN q 2 , uN +3 < uN +2 q < uN q 3 , . . . .Ðàññìîòðèì äâà ðÿäà:uN + uN +1 + uN +2 + uN +3 + . . . ,(11.12)uN + uN q + uN q 2 + uN q 3 + . . . .(11.13)Ðÿä (11.13) ñõîäèòñÿ êàê ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñî çíàìåíàòåëåì|q| < 1.Òàê êàê ÷ëåíû ðÿäà (11.12) íå ïðåâîñõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèõ÷ëåíîâ ðÿäà ( 11.13), òî íà îñíîâàíèè ïåðâîãî ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ ðÿä(11.12) òàêæå ñõîäèòñÿ.Íî ðÿä (11.12) ïîëó÷àåòñÿ èç äàííîãî ðÿäà (11.10) îòáðàñûâàíèåìêîíå÷íîãî ÷èñëà ÷ëåíîâu1 + u2 + u3 + · · · + uN −1 .Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåîðåìå 3 ðÿä (11.10) òàêæå ñõîäèòñÿ.ρ > 1. Ïîêàæåì, ÷òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ.
Äåéñòâèòåëü= ρ > 1. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íà÷èíàÿ ñ äîlim uun+1ná) Ïóñòü òåïåðüíî, â ýòîì ñëó÷àån→∞ñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèéèëèun+1 >n>Nun+1> 1,unun . Òàêèì îáðàçîì, ÷ëåíû ðÿäà âîçðàñòàþò ñ óâåëè÷åíèâûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîlim un ̸= 0, ò.å. âûïîëíåí äîñòàòî÷íûén→∞ïðèçíàê ðàñõîäèìîñòè ðÿäà è, ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä ðàñõîäèòñÿ.åì íîìåðà ÷ëåíàn.ÏîýòîìóÇàìå÷àíèå 11.2.un+1= ∞,n→∞ unun+1> 1 äëÿunÅñëè limòàê êàê è â ýòîì ñëó÷àåñëåäîâàòåëüíî, lim un ̸= 0.òî ðÿä òàêæå ðàñõîäèòñÿ,äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n è,n→∞Ïîä÷åðêí¼ì åù¼ ðàç, ÷òî, åñëè ðàñõîäèìîñòüðÿäà óñòàíîâëåíà ñ ïîìîùüþ ïðèçíàêà Äàëàìáåðà, òî îáùèé ÷ëåíðÿäà íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.Çàìå÷àíèå 11.3.Çàìå÷àíèå 11.4.
Ïðè ρ = 1 ïðèçíàê Äàëàìáåðà íà âîïðîñ î òîì,ñõîäèòñÿ èëè ðàñõîäèòñÿ ðÿä, îòâåòà íå äà¼ò. Êàê ïîêàçûâàþò ïðèìåðû, â ýòîì ñëó÷àå ìîæåò èìåòü ìåñòî êàê ñõîäèìîñòü, òàê èðàñõîäèìîñòü.Ðàññìîòðèì ïðèìåðû èññëåäîâàíèÿ ðÿäîâ íà ñõîäèìîñòü ñ ïîìîùüþ ïðèçíàêà Äàëàìáåðà.Ëåêöèÿ 11. Çíàêîïîñòîÿííûå ðÿäû181Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä13572n − 1+ ....+ 2 + 3 + 4 + ··· +3 3333nÏðèìåð 11.4.Ð å ø å í è å:Íàõîäèì[ 2(n + 1) − 1 2n − 1 ]un+13n (2n + 1)= lim:=lim=n→∞ unn→∞n−to∞ 3n+1 (2n − 1)3n+13n12n + 112 + 1/n1= lim= lim= .3 n→∞ 2n − 13 n→∞ 2 − 1/n3Èòàê, ρ = 1/3 < 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ.ρ = limÏðèìåð 11.5.Ð å ø å í è å:Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä2482n+++ ··· + 4 + ....1 16 81nÍàõîäèì[ 2n+1un+12n ]2n+1 n4= lim:=lim=n→∞ unn→∞ (n + 1)4n−to∞ (n + 1)4 · 2nn4ρ = limn41= 2 lim= 2.4n→∞ (n + 1)n→∞ (1 + 1/n)4= 2 limÒàê êàêρ = 2 > 1,òî äàííûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ.Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä ñ îáùèì ÷ëåíîì> 1, k > 1).Ïðèìåð 11.6.ðÿäà un =an(ankÐ å ø å í è å:Ïðèìåíèì ïðèçíàê Äàëàìáåðà:][ n+1un+1aanan+1 · nklim= lim:=lim= a.n→∞ unn→∞ (n + 1)kn→∞ an · (n + 1)knkannkðàñõîäèòñÿ, ò.å.
ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò áûñòðåå ñòåïåííîéÒàê êàê ïî óñëîâèþa > 1, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ðÿä un =ñ ðîñòîì àðãóìåíòà.Ðàññìîòðèì òåïåðü äâà ïðèìåðà ðÿäîâ, äëÿ êîòîðûõρ = 1,êàæåì, ÷òî îäèí èç ýòèõ ðÿäîâ ñõîäèòñÿ, à äðóãîé ðàñõîäèòñÿ.è ïî-182Ëåêöèÿ 11. Çíàêîïîñòîÿííûå ðÿäûÏðèìåð 11.7.Ð å ø å í è å:Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä1111√ + √ + √ + ... + √ + ....n123Íàõîäèì ïî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà( 1un+11 )= lim √:√=n→∞ unn→∞nn+1√n= lim √= 1.n→∞n+1ρ = limÍà îñíîâàíèè ïðèçíàêà Äàëàìáåðà ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå î ñõîäèìîñòèèëè ðàñõîäèìîñòè ðÿäà ìû íå ìîæåì.
Îäíàêî, êàê áûëî óêàçàíî ðàíåå,1îáîáùåííûé ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä ïðè ρ =< 1 ðàñõîäèòñÿ (11.3).2 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ âîïðîñ î ñõîäèìîñòè èëè ðàñõîäèìîñòè ðÿäà ìîæíî èññëåäîâàòü ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîãî ¾ðàäèêàëüíîãî¿ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè.Òåîðåìà 11.5.(Ðàäèêàëüíûé ïðèçíàê Êîøè 3.) Åñëè äëÿ ðÿäàu1 + u2 + u3 + · · · + un + .
. .√ñóùåñòâóåò lim n un = q , òî ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ïðè q < 1 è ðàñn→∞õîäèòñÿ ïðè q > 1.  ñëó÷àå, êîãäà q = 1, âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ðÿäàîñòàåòñÿ îòêðûòûì.Ïðèìåð 11.8.Ð å ø å í è å:Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä()n∞∞∑∑11un =· 1+.n2nn=1n=1Ïðèìåíèì ïðèçíàê Êîøè.√lim n un = limn→∞n→∞√n()n)][ (11111· 1+= lim· 1+= < 1.nn→∞2n2n2Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðèçíàêó Êîøè äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ.Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñõîäèìîñòè çíàêîïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ ñóùåñòâóåò åù¼ îäèí äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê Êîøè.
Îäíàêî ê åãî èñïîëüçîâàíèþìû ñìîæåì ïðèñòóïèòü òîëüêî ïîñëå èçó÷åíèÿ èíòåãðàëîâ.3Î.Êîøè(17891857) ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê.Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 11. Çíàêîïîñòîÿííûå ðÿäû183Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 11. Çíàêîïîñòîÿííûå ðÿäûÏðèìåð 11.1.Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà∞∑un =n=2Ð å ø å í è å:ln 2 ln 3ln n++ ··· ++ ··· .23n êà÷åñòâå äîñòàòî÷íîãî ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè èñ-ïîëüçóåì ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ. Äëÿ ñðàâíåíèÿ èñïîëüçóåì ãàðìîíè÷å1ñêèé ðÿä ñ vn =. Êàæäûé ÷ëåí ðÿäà un áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùåãîn∞∑11ln n>).
Ïðè n → ∞ ðÿäðàñõîäèòñÿ, ñëåäîâà÷ëåíà ðÿäà vn (nnnn=1òåëüíî, ðàñõîäèòñÿ è çàäàííûé ðÿä.Ïðèìåð 11.2.Ð å ø å í è å:Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà∞∞∑∑1un =.4 · 2n − 3n=0n=0Ñðàâíèì ýòîò ðÿä ñ ðÿäîìñõîäèòüñÿ êàê ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñq∞∑∞∑1, êîòîðûé2nn=0n=0= 12 . Èñïîëüçóÿ ïðèçíàêvn =¾ïîäîáèÿ¿ ðÿäîâ:unlim= limn→∞ vnn→∞14·2n −312n2n11= lim= .3nn→∞ 4 · 2 − 3n→∞ 4 − n42∞∑1= limÒàê êàê ïðåäåë êîíå÷åí è îòëè÷åí îò íóëÿ è ðÿäãåîìåòðè÷åñêàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ∞∞∑∑1un =òàêæå ñõîäèòñÿ.4·2n −3n=0n=0Ïðèìåð 11.3.q åñòü2nn=0= 21 , òî è ðÿäÈññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà∞∞∑∑1un =.22n − 3nn=0n=1∞∑∞∑1, êîòîðûé,n2n=1n=1ñîãëàñíî (11.3), ñõîäèòñÿ.
Èñïîëüçóÿ ïðèçíàê ¾ïîäîáèÿ¿, áóäåì èìåòüÐ å ø å í è å: Ñðàâíèì ýòîò ðÿä ñ ðÿäîìun= limn→∞ vnn→∞lim12n2 −3n1n2=vn =1̸= 0.2184Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 11. Çíàêîïîñòîÿííûå ðÿäûÒàê êàê ïðåäåë êîíå÷åí è îòëè÷åí îò íóëÿ, à ðÿääèòñÿ, òî ñõîäèòñÿ è ðÿä∞∑un =n=1Ïðèìåð 11.4.∞∑n=1∞∑vn =n=1∞∑n=11.2n2 −3nÈññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà∞∞∑∑1um =sin .nn=1n=1∞∑Ð å ø å í è å: Äëÿ ñðàâíåíèÿ âûáèðàåì ðàñõîäÿùèéñÿ ðÿä=∞∑n=11ñõîn2vn =n=11.
Îïÿòü èñïîëüçóåì ïðèçíàê ¾ïîäîáèÿ¿.nsin 1unsin m= lim 1 n = lim= 1 ̸= 0.n→∞ vnn→∞m→ 0 mn∞∞∑∑Ñëåäîâàòåëüíî, äàííûé ðÿäun =sin n1 ðàñõîäèòñÿ.limn=1Ïðèìåð 11.5.Ð å ø å í è å:n=1Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà∞∑2 · 5 · 8 . . . (3n − 1).1 · 5 · 9 . . . (4n − 3)n=1Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñõîäèìîñòè èñïîëüçóåì ïðèçíàên + 1 ÷ëåí ðÿäà2 · 5 · 8 . . . (3n − 1)(3(n + 1) − 1)un+1 ==1 · 5 · 9 . . . (4n − 3)(4(n + 1) − 3)2 · 5 · 8 . .
. (3n − 1) · (3n + 2)3n + 2= un.1 · 5 · 9 . . . (4n − 3) · (4n + 1)4n + 1un+13nÂû÷èñëèì lim= lim 4n+1= 34 < 1. Ñëåäîâàòåëüíî,unÄàëàìáåðà. Çàïèøåìn→∞n→∞çíàêó Äàëàìáåðà äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ.ïî ïðè-Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 11. Çíàêîïîñòîÿííûå ðÿäûÏðèìåð 11.6.185Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà∞∑n!.nen=1Ð å ø å í è å:Èññëåäóåì ðÿä ïî ïðèçíàêó Äàëàìáåðàun+1(n + 1)!/en+1(n + 1)! · en= lim=lim=n→∞n→∞n→∞ unn!/enn! · en+1limn+1= ∞ > 1.n→∞e= limÑëåäîâàòåëüíî, íà îñíîâàíèè ïðèçíàêà Äàëàìáåðà äàííûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ.Ïðèìåð 11.7.Ð å ø å í è å:Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà)n∞ (∑n+1.2n − 1n=1Çäåñü óäîáíî ïðèìåíèòü ïðèçíàê Êîøè.√lim n un = limn→∞n→∞√(nn+12n − 1)nn+11= < 1.n→∞ 2n − 12= limÑëåäîâàòåëüíî, ïî ïðèçíàêó Êîøè äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ.Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòàÏðèìåð 11.8.Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà∞∑1.ln nn=2Ïðèìåð 11.9.Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà∞∑n=0Ïðèìåð 11.10.2n.5n + 1Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà∞∑n=2n21.ln n186Ëåêöèÿ 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
