Числовые ряды - определения и свойства (1092165), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûÏðèìåð 11.11.Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà∞∑1tg .nn=1Ïðèìåð 11.12.Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà∞∑10nn=1Ïðèìåð 11.13.n!.Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà∞∑n.n/23n=1Ïðèìåð 11.14.Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà)n∞ (∑2n.3n+1n=1Ëåêöèÿ 12. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûÇíàêîïåðåìåííûå ðÿäû, ïðèçíàê Ëåéáíèöà, äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ, àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü, îñòàòîê ðÿäà è åãî îöåíêà.12.1. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûÄî ñèõ ïîð ìû èçó÷àëè òîëüêî ðÿäû, âñå ÷ëåíû êîòîðûõ áûëè îäíîãî çíàêà.
Òåïåðü ìû ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ðÿäîâ, ñîäåðæàùèõêàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå ÷ëåíû. Òàêèå ðÿäû íàçûâàþòñÿ çíàêîïåðåìåííûìè. êà÷åñòâå ïðèìåðà çíàêîïåðåìåííîãî ðÿäà ïðèâåäåì ðÿä111111111n(n−1)/2 1−−++−−++−···+(−1)+... .12 22 32 42 52 62 72 82 92n2Èçó÷åíèå çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ ìû íà÷í¼ì ñ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ òàêíàçûâàåìûõ çíàêî÷åðåäóþùèõñÿ ðÿäîâ, ò. å. ðÿäîâ, â êîòîðûõ çà êàæäûì ïîëîæèòåëüíûì ÷ëåíîì ñëåäóåò îòðèöàòåëüíûé, à çà êàæäûìîòðèöàòåëüíûì ïîëîæèòåëüíûé.Ëåêöèÿ 12. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûÎáîçíà÷àÿ ÷åðåçu 1 , u 2 , .
. . , un , . . .187àáñîëþòíûå âåëè÷èíû ÷ëåíîâðÿäà è ñ÷èòàÿ, ÷òî ïåðâûé ÷ëåí ïîëîæèòåëåí, çàïèøåì çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ ðÿä ñëåäóþùèì îáðàçîì:u1 − u2 + u3 − u4 + · · · + (−1)n−1 un + . . . .(12.1)Äëÿ çíàêî÷åðåäóþùèõñÿ ðÿäîâ èìååò ìåñòî äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê4ñõîäèìîñòè Ëåéáíèöà .12.2. Ïðèçíàê ËåéáíèöàÅñëè â çíàêî÷åðåäóþùåìñÿ ðÿäå (12.1) àáñîëþòíûå âåëè÷èíû ÷ëåíîâ óáûâàþò:Òåîðåìà 12.1.u 1 > u 2 > u 3 > · · · > un > .
. .è îáùèé ÷ëåí ðÿäà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ: lim un = 0, òî ðÿä ñõîäèòñÿ,n→∞ïðè÷¼ì åãî ñóììà ïîëîæèòåëüíà è íå ïðåâîñõîäèò ïåðâîãî ÷ëåíàðÿäà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ÷àñòè÷íóþ ñóììó ÷¼òíîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ ðÿäàS2m = u1 − u2 + u3 − u4 + · · · + u2m−1 − u2m .Ñãðóïïèðóåì ÷ëåíû ïîïàðíî:S2m = (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + · · · + (u2m−1 − u2m ).Òàê êàê ïî óñëîâèþ àáñîëþòíûå âåëè÷èíû ÷ëåíîâ ðÿäà óáûâàþò, òîâñå ðàçíîñòè â ñêîáêàõ ïîëîæèòåëüíû è, ñëåäîâàòåëüíî, ñóììàïîëîæèòåëüíà è âîçðàñòàåò ïðè óâåëè÷åíèèÇàïèøåì òåïåðüS2m ,S2mm.ãðóïïèðóÿ ÷ëåíû èíûì îáðàçîì:u1 − [(u2 − u3 ) + (u4 − u5 ) + · · · + (u2m−2 − u2m−1 ) + u2m ].Ñóììà â êâàäðàòíîé ñêîáêå òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé.
ÏîýòîìóS2m < u1 äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ m. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü÷¼òíûõ ÷àñòè÷íûõ ñóìì S2m âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì m, îñòàâàÿñüïðè ýòîì îãðàíè÷åííîé. Ñëåäîâàòåëüíî, S2m èìååò ïîëîæèòåëüíûéïðåäåë lim S2m = S . Ïðè ýòîì, òàê êàê S2m < u1 , òî ÿñíî, ÷òîm→∞0 < S 6 u1 .Ðàññìîòðèì òåïåðü ñóììó íå÷¼òíîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ:S2m+1 = S2m + u2m+1 .4Ã. Ëåéáíèö(16461716) íåìåöêèé ôèëîñîô, ìàòåìàòèê, ôèçèê, ÿçûêîâåä.188Ëåêöèÿ 12. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûÏðèm→∞èìååì:lim S2m+1 = lim (S2m + u2m+1 ) = lim S2m + lim u2m+1 = S,m→∞m→∞m→∞m→∞lim un = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, lim u2m+1 = 0.n→∞m→∞Òàêèì îáðàçîì, ÷àñòè÷íûå ñóììû êàê ÷¼òíîãî, òàê è íå÷¼òíîãîòàê êàê ïî óñëîâèþ÷èñëà ÷ëåíîâ ðÿäà èìåþò îáùèé ïðåäåëS.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âîîáùålim Sn = S , ò.å.
ðÿä ñõîäèòñÿ. Ïðè ýòîì, êàê âèäíî èç äîêàçàòåëüñòâà,n→∞ñóììà ðÿäà S íå ïðåâîñõîäèò ïåðâîãî ÷ëåíà ðÿäà.Ïðèìåð 12.1.Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä1111−+− · · · + (−1)n−1− ... .2221·22·33·4n(n + 1)2Ð å ø å í è å:Ýòîò ðÿä óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ïðèçíàêà Ëåéá-íèöà:1)1111>>> ··· >> ...;2221·22·33·4n(n + 1)22) lim |un | = lim12n→∞n→∞ n(n+1)Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä ñõîäèòñÿ.= 0.12.3. Äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè çíàêîïåðåìåííûõðÿäîâÏåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ îáùåãî ñëó÷àÿ çíàêîïåðåìåííîãîðÿäà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ðÿäåu1 + u2 + u3 + · · · + un + . . .÷èñëàu1 , u2 , u3 , . . . , un , . . .(12.2)ìîãóò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíûìè, òàê è îò-ðèöàòåëüíûìè.Äëÿ òàêèõ ðÿäîâ èìååò ìåñòî ñëåäóþùèé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè.Òåîðåìà 12.2. (äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè çíàêîïåðåìåííîãî ðÿäà).
Åñëè äëÿ çíàêîïåðåìåííîãî ðÿäà (12.2)u1 + u2 + u3 + · · · + un + . . .ñõîäèòñÿ ðÿä|u1 | + |u2 | + |u3 | + · · · + |un | + . . . ,(12.3)ñîñòàâëåííûé èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí åãî ÷ëåíîâ, òî äàííûé çíàêîïåðåìåííûé ðÿä òàêæå ñõîäèòñÿ.Ëåêöèÿ 12. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäû189Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíûé ðÿä, ñîñòàâëåííûéèç ÷ëåíîâ ðÿäîâ (12.2) è (12.3):u1 + |u1 | u2 + |u2 |un + |un |++ ··· ++ ... .222Èìååì:ïðèïðèun + |un ||un | + |un |== |un |;22un + (−un )un + |un |un < 0 : |un | = −un è== 0.22un > 0 : |un | = unèÒàêèì îáðàçîì, ÷ëåíû ýòîãî âñïîìîãàòåëüíîãî ðÿäà ëèáî ðàâíû ÷ëåíàì ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà (12.3), ëèáî ìåíüøå èõ.
Ïîýòîìó îí ñõîäèòñÿíà îñíîâàíèè ïåðâîãî ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ.Óìíîæèâ âñå ÷ëåíû ñõîäÿùåãîñÿ âñïîìîãàòåëüíîãî ðÿäà íà1, ïî2ëó÷èì ñõîäÿùèéñÿ ðÿä|u1 | |u2 ||un |++ ··· ++ ... .222Ðàññìîòðèì òåïåðü ðÿä, ÿâëÿþùèéñÿ ðàçíîñòüþ ýòèõ ðÿäîâ:() ()()u1 + |u1 | |u1 |u2 + |u2 | |u2 |un + |un | |un |−+−+· · ·+−+. . . .222222Ýòîò ðÿä òàêæå ñõîäèòñÿ.Íî ðÿä (12.2) ïîëó÷àåòñÿ èç ïîñëåäíåãî ðÿäà óìíîæåíèåì âñåõ åãî÷ëåíîâ íà 2:[]un + |un | |un |un2·−=2·= un .222Ñëåäîâàòåëüíî, íà îñíîâàíèè ñâîéñòâ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ èñõîäíûé ðÿä(12.2) òàêæå ñõîäèòñÿ.Ïðèìåð 12.2.Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü çíàêîïåðåìåííûé ðÿä:111111− 2 − 2 + 2 + 2 − 2 − ... .(12.4)2123456Ð å ø å í è å:Ðàññìîòðèì ðÿä, ñîñòàâëåííûé èç àáñîëþòíûõâåëè÷èí ÷ëåíîâ äàííîãî ðÿäà:1111+ 2 + 2 + 2 + ...
.21234Ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ, êàê îáîáùåííûé ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä ñ ïîêàçàòåëåìp = 2 > 1.Ñëåäîâàòåëüíî, íà îñíîâàíèè äîêàçàííîãî ïðèçíàêàñõîäèòñÿ è äàííûé çíàêîïåðåìåííûé ðÿä.190Ëåêöèÿ 12. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäû12.4. Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòüÏðèçíàê ñõîäèìîñòè çíàêîïåðåìåííîãî ðÿäà ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì, íî íå íåîáõîäèìûì. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñóùåñòâóþò çíàêîïåðåìåííûå ðÿäû, êîòîðûå ñõîäÿòñÿ, â òî âðåìÿ êàê ðÿäû, ñîñòàâëåííûå èçàáñîëþòíûõ âåëè÷èí èõ ÷ëåíîâ, ðàñõîäÿòñÿ.Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ðÿä1−1 1 11+ − + · · · + (−1)n−1 · + .
. . ,2 3 4n(12.5)êîòîðûé, î÷åâèäíî, ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó Ëåéáíèöà. Ìåæäó òåì, ðÿä1+1 1 11+ + + ··· + + ...,2 3 4nñîñòàâëåííûé èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ÷ëåíîâ äàííîãî ðÿäà (12.5), ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêèì è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàñõîäèòñÿ.Õîòÿ îáà ðàññìîòðåííûõ âûøå ðÿäà (12.4) è (12.5) ñõîäÿòñÿ, îäíàêîõàðàêòåð èõ ñõîäèìîñòè ðàçëè÷åí.Ðÿä (12.4) ñõîäèòñÿ îäíîâðåìåííî ñ ðÿäîì, ñîñòàâëåííûì èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí åãî ÷ëåíîâ, òîãäà êàê ðÿä, ñîñòàâëåííûé èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ÷ëåíîâ ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà (12.5), ðàñõîäèòñÿ. ñâÿçè ñ ýòèì ââåäåì ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ.Îïðåäåëåíèå 12.1. Çíàêîïåðåìåííûé ðÿä u1 +u2 +u3 +· · ·+un +.
. .íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ñõîäèòñÿ ðÿä |u1 | + |u2 | ++ |u3 | + · · · + |un | + . . . , ñîñòàâëåííûé èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí åãî÷ëåíîâ.Íà îñíîâàíèè äîñòàòî÷íîãî ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè çíàêîïåðåìåííîãî ðÿäà âñÿêèé àáñîëþòíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ.Îïðåäåëåíèå 12.2. Çíàêîïåðåìåííûé ðÿä u1 +u2 +u3 +· · ·+un +. . .íàçûâàåòñÿ óñëîâíî ñõîäÿùèìñÿ, åñëè îí ñõîäèòñÿ, à ðÿä |u1 | + |u2 | ++ |u3 | + · · · + |un | + . . . , ñîñòàâëåííûé èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí åãî÷ëåíîâ, ðàñõîäèòñÿ.Âîçâðàùàÿñü ê ðàññìîòðåííûì âûøå ïðèìåðàì, ìîæåì ñêàçàòü,÷òî ðÿä (12.4) ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ, à ðÿä (12.5) óñëîâíîñõîäÿùèìñÿ.Ñðåäè çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû çàíèìàþò îñîáîå ìåñòî.
Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî íà òàêèå ðÿäû ïåðåíîñÿòñÿ îñíîâíûå ñâîéñòâà êîíå÷íûõ ñóìì. Îñîáîå çíà÷åíèå èìååò ñâîéñòâîËåêöèÿ 12. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäû191ïåðåìåñòèòåëüíîñòè, êîòîðûì îáëàäàþò òîëüêî àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû.Ýòî ñâîéñòâî, êîòîðîå ìû ïðèâîäèì áåç äîêàçàòåëüñòâà, ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ñóììà àáñîëþòíî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà íå ìåíÿåòñÿ îò ëþáîé ïåðåñòàíîâêè åãî ÷ëåíîâ. Àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû ìîæíî ïåðåìíîæàòü.Íàîáîðîò, â íåàáñîëþòíî ñõîäÿùåìñÿ ðÿäå íåëüçÿ ïåðåñòàâëÿòü÷ëåíû, òàê êàê â ñëó÷àå èõ ïåðåñòàíîâêè ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ñóììàðÿäà è äàæå ïîëó÷èòüñÿ ðàñõîäÿùèéñÿ ðÿä.Ãîâîðÿ î ïåðåñòàíîâêå ÷ëåíîâ, ìû ïîäðàçóìåâàåì, ÷òî ìåíÿåì ìåñòàìè áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ÷ëåíîâ, òàê êàê, ïåðåñòàâëÿÿ äâà, òðè,÷åòûðå èëè ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ, ìû, î÷åâèäíî, íå èçìåíèìñóììû ðÿäà.Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà óñëîâíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä (12.5)1 1 1 1 1 1 1 1+ − + − + − + − ...,2 3 4 5 6 7 8 9îáîçíà÷èì ÷åðåç S .1−ñóììó êîòîðîãîÏåðåñòàâèì ÷ëåíû ýòîãî ðÿäà, ïîìåñòèâ ïîñëå êàæäîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷ëåíà äâà îòðèöàòåëüíûõ.
Ïîëó÷èì ðÿä1−Îáîçíà÷èì÷åðåçσn .1 1 1 1 1 1111− + − − + −−+ − ... .2 4 3 6 8 5 10 12 7÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà (12.5) ÷åðåç Sn , à ðÿäà(12.6)(12.6) Òîãäà111 1 17= , S4 = 1 − + − = ,222 3 4121 1 1 1 137S6 = 1 − + − + − = , . . . ;2 3 4 5 6601 111 1 1 1 17σ3 = 1 − − = , σ 6 = 1 − − + − − = ,2 442 4 3 6 824711137σ9 =+ −−=,....24 5 10 12120Ñëåäîâàòåëüíî, σ3 = 0, 5S2 , σ6 = 0, 5S4 , σ9 = 0, 5S6 , . . . è âîîáùå, êàêìîæíî ïîêàçàòü, σ3m = 0, 5S2m . Òàê êàê lim S2m = S , òî lim σ3m =m→∞m→∞= 0, 5 lim S2m = 0, 5S . Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷S2 = 1 −m→∞íûõ ñóìì ðÿäà (12.6) ñ íîìåðàìè, êðàòíûìè òðåì, èìååò ñâîèì ïðåäåëîì0, 5S .192Ëåêöèÿ 12. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäûÄàëåå, íàõîäèìlim σ3m+1m→∞èlim σ3m+2m→∞(= lim σ3m +m→∞(= lim σ3m +m→∞12m + 1)= 0, 5S11−2m + 1 4m + 2)= 0, 5S.lim σn ñóùåñòâóåò ïðè ëþáîì çàêîíå ñòðåìn→∞ê áåñêîíå÷íîñòè.
Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ðÿä (12.6) ñõîäèòñÿ. ÏðèÈòàê, ìû ïîêàçàëè, ÷òîëåíèÿnýòîì åãî ñóììà ñîñòàâëÿåò ïîëîâèíó ñóììû ðÿäà (12.5), èç êîòîðîãîîí ïîëó÷åí ïåðåñòàíîâêîé ÷ëåíîâ.12.5. Îñòàòîê ðÿäà è åãî îöåíêàÐàññìîòðèì ñõîäÿùèéñÿ ðÿäu1 + u2 + u3 + · · · + un + un+1 + un+2 + . . . .(12.7)S ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì Sn = u1 + u2 + u3 + · · · + un ïðè n → ∞, ò.å. S = lim Sn .n→∞Ïîýòîìó äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n èìååì ïðèáëèæ¼ííîå ðàâåíñòâîÊàê èçâåñòíî, åãî ñóììàS ≈ Sn ,òî÷íîñòü êîòîðîãî âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì(12.8)n.Äëÿ îöåíêè òî÷íîñòèïðèáëèæ¼ííîãî ðàâåíñòâà (12.8) ââåäåì ïîíÿòèå îñòàòêà ñõîäÿùåãîñÿðÿäà.Îïðåäåëåíèå 12.3. Ðàçíîñòü ìåæäó ñóììîé ðÿäà S è åãî n-é÷àñòè÷íîé ñóììîé Sn íàçûâàåòñÿ n-ì îñòàòêîì ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà(12.7).Îñòàòîê ðÿäà îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåçrn :rn = S − Sn .(12.9)Êàê âèäíî èç ðàâåíñòâà (12.9), îñòàòîê ðÿäà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéñóììó ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà, ïîëó÷åííîãî èç äàííîãî ðÿäà îòáðàñûâàíèåìnåãî ïåðâûõ ÷ëåíîâ:rn = un+1 + un+2 + · · · + un+k + .
. . .Èç îïðåäåëåíèÿ îñòàòêà ðÿäà ÿñíî, ÷òîlim rn = 0.n→∞Ëåêöèÿ 12. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäû193Äåéñòâèòåëüíî,lim rn = lim (S − Sn ) = S − lim Sn = S − S = 0.n→∞n→∞n→∞Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðè çàìåíå ñóììû ðÿäàñóììîéSn ,Såãî ÷àñòè÷íîéî÷åâèäíî, ðàâíà ìîäóëþ îñòàòêà ðÿäà:∆S = |S − Sn | = |rn |.(12.10)Òàêèì îáðàçîì, åñëè òðåáóåòñÿ íàéòè ñóììó ðÿäà ñ òî÷íîñòüþ äîε > 0,òî íàäî âçÿòü ñóììó òàêîãî ÷èñëàáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî|rn | < ε.nïåðâûõ ÷ëåíîâ ðÿäà, ÷òî-Îäíàêî â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåârn òî÷íî ìû íå óìååì.
Ïîýòîìó âûÿñíèì, êàê íàéòèn, ÷òîáû åãî ìîäóëü íå ïðåâîñõîäèë çàäàííîãî ÷èñëà ε.íàõîäèòü îñòàòîêíîìåð îñòàòêà(îá îöåíêå îñòàòêà çíàêîïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà).Åñëè âñå ÷ëåíû ñõîäÿùåãîñÿ çíàêîïîëîæèòåëüíîãî ðÿäàÒåîðåìà 12.3.u1 + u2 + u3 + · · · + un + . . .(12.11)íå ïðåâîñõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷ëåíîâ äðóãîãî ñõîäÿùåãîñÿ çíàêîïîëîæèòåëüíîãî ðÿäàv1 + v2 + v3 + · · · + vn + . . . ,(12.12)òî n-é îñòàòîê ðÿäà (12.11) íå ïðåâîñõîäèò n-ãî îñòàòêà ðÿäà (12.12).Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì′ðåç rn è rn :n-å îñòàòêè ðÿäîâ (12.11) è (12.12) ÷å-rn = un+1 + un+2 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
